Файл: matametika_bevz_standart.pdf

§  8

СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ

67

Мал. 44

Мал. 45

Об ласть  виз на чен ня  функції 

–  мно жи на  всіх  дійсних

чи сел 

R

. Її графік містить ся в І і ІІІ чвер тях (мал. 45).

Для 

х

0 графіки функцій 

– од на кові.

313.

На ведіть  прик ла ди  сте пе не вих  функцій.

314.

Чи  є  сте пе не вою  функція,  за да на  рівністю 

у

=

х

?

315.

Чи  є  сте пе не вою  функція,  за да на  рівністю 

у

=

–

х

2

?

316.

Які  з  на ве де них  функцій  сте пе неві?

317.

Чи  пра виль но,  що  графік  кож ної  сте пе не вої  функції

про хо дить  че рез  точ ку  (1;  1)?

318.

Чи  мо же  графік  сте пе не вої  функції  про хо ди ти  че рез  по -

ча ток  ко ор ди нат?  Як що  мо же,  то  на ведіть  прик лад.

319.

Чи є сте пе не вою функція 

? А функція 

у

=

(–

х

)

–2

?

320.

Функція 

y

=

f

(

х

)  –  сте пе не ва.  Чи  є  сте пе не вою  функція: 

а) 

y

=

–

f

(

х

);   б) 

y

=

f

(

х

) + 2;   в) 

y

=

f

(

х

) – 7;   г) 

у

=

2

f

(

х

)?

321.

Об 

числіть зна 

чен 

ня функції 

у точ 

ках: 0, 1, 8,

1000.

322.

По бу дуй те  графік  функції 

у

=

х

2

на проміжку:

а) [–3; 3];        б) [–2; 0];        в) [2; 3]. 

À

Ðîçäië 

1

68

323.

Да но  функцію 

у

=

х

3

на проміжку [–2; 1]. По бу дуй те її

графік. Чи є да на функція пар ною або не пар ною?

324.

Відо мо, що функція 

у

=

х

8

при 

х

=

с

має  зна чен ня 

m

.

Знайдіть зна чен ня цієї функції при 

х

=

–

с

.

325.

Функція 

у

=

х

7

при 

х

=

с

має  зна чен ня 

m

. Знайдіть зна -

чен ня цієї функції при 

х

=

–

с

.

326.

До ведіть,  що  графік  кож ної  сте пе не вої  функції 

у

=

х

2

n

про хо дить  че рез  точ ки 

А

(1; 1) і 

В

(–1; 1). 

327.

Чи про 

хо 

дить графік функції 

у

=

х

0,25

че рез  точ ку

М

(16; 8)? А че рез 

М

1

(16; 2)?

328.

Які з то чок на ле жать графіку функції: а) 

у

=

х

2

; б) 

А 

(0,1; 0,01);

В

(0,16; –0,4);

С

(–10; 100);

329.

Співстав те  влас ти вості  функ цій 

у

=

(–

х

)

2

, 

у

=

–

х

2

, 

у

=

х

–2

.

Які  з  них  сте пе неві?  По бу дуй те  ескі зи
їхніх графіків. 

330.

Ко рис ту ю чись  графіком  функ-

ції 

у

=

х

4

(мал. 46), знай  діть:

а) зна чен ня  функції,  як що  зна чен -

ня ар 

гумен 

ту дорівнює: –1,6; –1,1;

–0,9; 0,9; 1,4;

б) зна чен ня  ар гу мен ту,  при  яко му

зна чен ня функції дорівнює: 2; 3; 4;
5; 6.

331.

За графіком функції 

у

=

х

4

(мал. 46) опишіть її влас ти вості: яка
об ласть  виз на чен ня  цієї  функції;  на
яких проміжках во 

на зрос 

тає; на

яких спа 

дає; при яко 

му значенні 

х

функція  має  най мен ше  зна чен ня;  чи
має во 

на найбіль 

ше зна 

чен 

ня; чи є

да на функція пар ною або не пар ною.

332.

За графіком функції 

у

=

х

5

(див. мал. 38) опишіть її власти вості.

333.

По бу дуй те  графік  функції: 

а) 

у

=

х

4

+ 1;    б) 

у

=

х

4

– 1.

334.

Відо 

мо, що графік функції

у 

=

х

α

про хо дить  че рез  точ ку 

. 

Знайдіть  зна чен ня 

α

.

335.

Функцію  за да но  фор му лою 

у

= 

х

α

. Знайдіть 

α

, як 

що графік

функції  про хо дить  че рез  точ ку:

Мал. 46

а) 

A

(7; 49);

б) 

В

(13; 169);

в) 

С

(144; 12);

г) 

D

(81; 9);

ґ) 

M

(–64; –4);

д) 

N

(–216; –6).

336.

При яко му зна ченні 

α

графік функції 

у

=

х

α

про хо дить 

че рез  точ ку 

?

337.

Знайдіть  зна чен ня  функції 

f

(

x

) у точці 

х

0

, як що

338.

Порівняй те  ви ра зи,  як що 

α

> 1:

а) 0,15

α

і  0,34

α

;

б) 0,17

α

і  0,23

α

;      

в) 3,1

α

і  4,52

α

;

г) 2,78

α

і  6,9

α

.

339.

По бу дуй те  схе ма тич но  графік  функції:
а) 

у

=

х

–2

;         б) 

у

=

х

–2,5

;               в) 

у

=

х

–5

.

340.

Розв’яжіть графічно рівнян ня:
а) 

х

4

=

х

;          б) 

х

0,5

=

2 – 

х

;         в) 2

х

5

=

3 – 

х

.

341.

Порівняй те  ви ра зи,  як що  0  < 

q 

< 1:

а) 0,47

q

і  0,51

q

;      б) 0,39

q

і  0,42

q

;      

в) 3,14

q

і  4,73

q

;      г) 9,2

q

і  11,38

q

.

342.

Функцію  за да но  фор му лою 

у

=

х

q

. Знайдіть 

q

, як 

що

графік функції про хо дить че рез точ ку:

а) 

А

(4; 0,5);

б) 

В

(16; 0,25);

в) 

г) ґ)  д) 

343.

Для по да них ниж че функцій вкажіть нулі функції (як -

що такі є) та проміжки зрос тан ня чи спа дан ня:

По бу дуй те  схе ма тич но  графік  функції   

(344, 345)

.

344.

а) 

у

=

х

9

– 2;         б) 

у

=

х

–7

+ 1;         в) 

у

=

х

–20

+ 3.

345.

а) 

у

=

х

–12

– 1;      б) 

у

=

х

–0,9

+ 2;      в) 

у

=

х

–2,5

– 3.

346.

Знайдіть  зна чен ня  функцій 

у точці 

х

=

3, ко ли відо мо, що 

. От ри мані

дані за пишіть у таб ли цю.

Á

§  8

СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ

69

Яка з функцій має в точці 3 найбіль ше зна чен ня, а яка –

най мен ше?

347.

Знайдіть  найбіль ше  і  най мен ше  зна чен ня  функцій 

на проміжку [1; 9].

348.

За пишіть  рівнян ня  сте пе не вої  функції 

у 

=

f

(

х

), як що: 

а) 

f

(–2) 

=

4,  

f

(3) 

=

9;

б) 

f

(–1) 

=

–1,  

f

(2) 

=

8.

349.

Співстав те  влас ти вості  функцій 

За пов ніть

відповідну  таб ли цю.

350.

Об числіть  зна чен ня  ви ра зу:

351.

Якою циф рою закінчуєть ся чис ло 

а

=

123

6

+ 111

12

?

352.

Морсь 

ка во 

да містить 5 % солі. Скіль 

ки кілог 

рамів

прісної во ди тре ба до да ти до 40 кг морсь кої во ди для то го, щоб
вміст солі в ній скла дав 2 %?

Рівнян ня  на зи ваєть ся 

ірраціональ ним

, як що во но містить

змінні під зна ком ко ре ня або в ос нові сте пе ня з дро бо вим по -
каз ни ком.

Прик ла ди  ірраціональ них  рівнянь:

Де які  з  та ких  рівнянь  мож на  розв’язу ва ти  спо со бом  заміни. 

Так, замінив ши в пер шо му рівнянні 

на 

у

,  діста не мо  квад -

рат не  рівнян ня 

у

2

– 5

у

+ 4 

=

0, ко рені яко го 

у

1

=

1, 

у

2

=

4.

От же, 

або 

,  звідcи 

х

1

=

1, 

х

2

=

16.

Рівнян ня 

мож на  по да ти  у  виг ляді  (

х

– 1) + 

–

– 2 

=

0, а потім, замінив ши 

на 

у

,  звес ти  йо го  до  квад рат но го.

§ 9. Ірраціональні рівняння і нерівності

Ðîçäië 

1

70

Не важ ко  розв’яза ти  йо го  і  графічним
спо со бом  (мал.  47).  От ри маємо: 

х

=

2.

Більшість ірраціональ них рівнянь

розв’язу ють підне сенням обох їх час -
тин до сте пе ня з тим са мим на ту раль -
ним  по казни ком. При  ць о му  мо жуть
з’яви ти ся  сто ронні  розв’яз ки,  їх  від -
ки да ють у  ре зуль таті  пе ревірки.

П р и к  л а д. Розв’яжіть рівнян ня

Р о з в ’ я з а н н я.

Підне се мо  обидві

час ти ни  рівнян ня  до  квад ра та:

3

х

2

+ 

х

+ 11 

=

4

х

2

+ 4

х

+ 1, або 

х

2

+ 3

х

– 10 

=

0. 

Ко рені  ут во ре но го  квад рат но го  рівнян ня:  –5  і  2.

Як що 

х

=

–5, то 

як що 

х

=

2, то 

Відповідь. х

=

2.

Ірраціональ ною

на зи ва ють нерівність, яка містить змінну

під  зна ком  ко ре ня  або  в  ос нові  сте пе ня  з  дро бо вим  по каз ником.

П р и к   л а   д и:

Розв’язу ва ти  такі  нерівності  мож на  на  ос нові  влас ти вос тей

відповідних  сте пе не вих  функцій.

a) Оскіль ки функція

зрос тає на всій мно жині невід’ єм9

них чи сел і 

, то нерівність 

рівно сильна по9

двійній нерівності 0 

х

– 1 < 100, звідси 1 

х

< 101, 

х

∈

[1; 101).

б) Функція 

зрос тає на 

R

і То 

му 

х

2

+ 2 

27,

х

2

25, звідси 

х

5 або 

х

–5. От же, 

х

∈

(–

∞

; –5] 

[5; +

∞

).

в) Зна чен ня  ви ра зу 

не  мен ше  за  3.  То му  нерівність

задо вольняє  тіль ки  од не  зна чен ня: 

х

=

0.

ПЕРЕВІРТЕ  СЕБЕ

1.

Що та ке рівнян ня? А нерівність?

2.

Які  рівнян ня  на зи ва ють  ал геб раїчни ми?

3.

Які  рівнян ня  на зи ва ють  ірраціональ ни ми?  А  раціональ ни ми?

4.

Які  нерівності  на зи ва ють  ірраціональ ни ми?  На ведіть  прик ла ди.

5.

Як мож на розв’язу ва ти ірраціональні рівнян ня?

§  9

ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

71

Мал. 47