ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4947
Скачиваний: 5
Нап рик лад, за пис
оз на чав чис ло 1997. Ця ну ме -
рація відрізняєть ся від іонійсь кої тіль ки фор мою літер. Зго дом
у слов’янсь ких ру ко пи сах з’яви лись наз ви ве ли ких чи сел:
ть ма
,
ле гіон
,
ле одр
,
во рон
,
ко ло да
, які відповіда
ли чис
лам:
10
6
, 10
12
, 10
24
, 10
48
і 10
96
. Їх поз на ча ли та ки ми сим во ла ми:
Рахува ли здебіль шо го на паль цях, то му перші чис ла, як і
пальці, на зи ва ли перс та ми. Заг нув ши всі пальці лівої ру ки,
ка за ли «п’ять», оскільки так на зи ва ли кисть ру ки (зга дай те
сло ва «п’ядь», «зап’яс тя»). Заг нув ши ще й пальці пра вої ру ки,
го во ри ли «де сять», бо ко лись «дес но» оз на ча ло пра во руч. Дес -
ни цею іноді й те пер на зи ва ють пра ву ру ку. Пли ву чи від Києва
вго ру, ве ли ку при то ку Дніпра, яку ба чи ли пра во руч, на зи ва ли
Дес ною, а ту, яка тек ла зліва, – Прип’ят тю. Вірогідно, що й
при каз ки «з п’ято го на де ся те» і «п’яте че рез де ся те» ко лись
ма ли різний зміст: «зліва нап ра во» і «вліво че рез пра ве».
Ста ро давні гре ки вміли не тіль ки ра ху ва ти та об чис лю ва ти,
а й зна ли ба га то влас ти вос тей на ту раль них чи сел. Нап рик лад,
Піфа гор та йо го учні розрізня ли чис ла
парні
,
не парні
,
прості
,
скла дені
,
фігурні
,
дос ко налі
,
дружні
то що. Во ни та кож до ве ли,
що ко ли сто ро на квад ра та дорівнює оди ниці дов жи ни, то дов -
жи ну йо го діаго налі не мож на ви ра зи ти раціональ ним чис лом.
Увес ти ірраціональні чис ла во ни не здо га да лися, то му вва жа ли,
що існу ють відрізки, які не ма ють дов жи ни. Хоч Ев докс Кнід -
сь кий і ство рив те орію відно шень, чим, по суті, дав ге о мет рич -
ний вик лад те орії дійсних чи сел, од нак ірраціональні чис ла бу ло
вве дено тіль ки в XVII ст.
Ще дов
ший шлях до
ла
ли від’ємні чис
ла. По
над 2 ти
сячі
років то му во ни з’яви ли ся в Ки таї, їх час то ви ко рис то ву ва ли
індійські ма те ма ти ки, про те за галь не виз нан ня во ни діста ли
тіль ки в XIX ст.
У дав ни ну різні на ро ди ство рю ва ли свої наз ви і спо со би по -
з на чен ня чи сел, то ж існу ють сотні, а мо же, й ти сячі різних
ус них і пи сем них ну ме рацій. А ще ж існу ють різні сис те ми чис -
лен ня: двійко ва, трійко ва, вісімко ва то що. У кожній з них –
свої сим во ли і спо со би поз на чен ня чи сел. Нап рик лад, для
двійко вої сис те ми чис лен ня до сить двох цифр, у ній перші на -
ту ральні чис ла за пи су ють так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,
1000, ...
І дро бові чис ла мож на за пи су ва ти по9різно му: зви чай ни ми,
де сят ко ви ми, міша ни ми, лан цю го ви ми дро ба ми, у стан да рт но -
му виг ляді то що.
ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
77
Ірраціональні чис ла та кож мож на за пи су ва ти по9різно му.
Нап рик лад, за пи си
поз на ча ють од не й те са ме
чис ло.
По нят тя чис ла з роз вит ком людства уточ ню ва лось і роз ши -
рю ва лося. Дро бові чис ла вве ли, оскільки цьо го ви ма га ла прак -
ти ка. Ввес ти від’ємні, ірраціональні та уявні чис ла на у ковців
спо ну ка ла доцільність, ба жан ня за без пе чи ти ви ко нан ня обер -
не них дій.
У мно жині на ту раль них чи сел
N
дія відніман ня не завж ди
мож ли ва. До пов нив ши її ну лем і ціли ми від’ємни ми чис ла ми,
ут во ри ли мно жи ну цілих чи сел
Z
, у якій відніман ня завж ди
мож ли ве. Про те в мно жині
Z
не завж ди мож ли ве ділен ня. До -
пов нив ши її дро бо ви ми чис ла ми (до дат ни ми і від’ємни ми),
діста ли мно жи ну раціональ них чи сел
Q
, у якій ділен ня завж ди
мож ли ве (за ви нят ком ділен ня на 0). У мно жині
Q
не завж ди
мож ли ва дія до бу ван ня ко ренів з до дат них чи сел. До пов нив ши
її ірраціональ ни ми чис ла ми, ут во ри ли мно жи ну дійсних чи сел
R
, у якій завж ди мож ли ва дія до бу ван ня ко ренів з будь9яких
до дат них чи сел.
У мно жині дійсних чи сел
R
дія до бу ван ня ко ренів пар них
сте пенів з від’ємних чи сел не мож ли ва. А для пот реб на у ковців
ба жа но ма ти та ку чис ло ву мно жи ну, у якій і ця дія бу ла б мож -
ли вою. До ве лося роз ши ри ти й мно жи ну дійсних чи сел, ввес ти
комп лексні чис ла. Мірку ва ли приб лиз но так. У мно жині
R
рівнян ня
х
2
=
–1 не має ко ренів. А ба жа но ут во ри ти та ку чис ло -
ву мно жи ну, яка, крім усіх дійсних чи сел, місти ла б і нові – ко -
рені рівнян ня
х
2
=
–1. Поз на чи ли один з них літе рою
і
й наз ва -
ли це чис ло
уяв ною оди ни цею
. Щоб у ство рю ваній мно жині дія
мно жен ня завж ди ви ко ну ва лась, у ній по винні бу ти чис ла ви ду
bі
– до бут ки дійсних чи сел
b
і уяв ної оди ниці. А щоб завж ди
ви ко ну ва лася дія до да ван ня, по винні бу ти та кож чис ла ви ду
а
+
bі
. Ви я ви лося, що мно жи на всіх чи сел ви ду
а
+
bі
– са ме та,
яка потрібна. Во на містить усі дійсні чис ла, і в ній завж ди мож -
на ви ко ну ва ти дії до да ван ня, відніман ня, мно жен ня, ділен ня
(за винятком ділен ня на 0), підне сен ня до сте пе ня, до бу ван ня
ко ренів будь9яких сте пенів з будь9яких чи сел. Та ку мно жи ну
на зи ва ють
мно жи ною комп ле кс них чи сел
, поз на ча ють її літе -
рою
С
.
Комп ле кс ни ми чис ла ми
на зи ва ють чис ла, які мож на по да ти
у виг ляді
а
+
bі
, де
а
і
b
– довільні дійсні чис ла, а
і
– уяв на оди -
ни ця. Як що
b
=
0, то чис ло
а
+
bі
дійсне (мно жи на
R
є підмно -
жи ною мно жи ни
С
). Якщo чис ло
b
0, то
а
+
bі
уяв не.
Мно жи на комп ле кс них чи сел – об’єднан ня двох мно жин:
дійсних і уяв них чи сел.
Уявні чис ла
– це такі комп лексні чис -
ла, які не є дійсни ми.
Ðîçäië
1
78
Чис ла
а
+
bі
і
с
+
dі
вва жа ють ся рівни ми тіль ки тоді, ко ли
а
=
с
і
b
=
d
. По нят тя «біль ше», «мен ше» на уявні чис ла не по -
ши рюєть ся. То му комп лексні чис ла не порівню ють.
Мож на про дов жи ти роз ши рен ня по нят тя чис ла: увес ти по -
нят тя
ква терніонів
та інших
гіпер ко мп ле кс них чи сел
. Із ци ми
чис ло ви ми мно жи на ми оз найом лю ють ся в кур сах ви щої ма те -
ма ти ки.
Ф у н к ц і ї і г р а ф і к и. По нят тя функції з’яви ло ся в ма те ма -
тиці в XVII ст. Йо го вве ден ню спри я ли на сам пе ред ро бо ти Р. Де-
кар та, П. Фер ма, І. Нь ю то на. Термін «функція» зап ро по ну вав
Г. Лейбніц. Потім І. Бер нуллі, А. Лопіталь, К. Га усс, М. Лоба -
чевський та інші ма те ма ти ки уточ ню ва ли і роз ши рю ва ли це
по нят тя.
Ос новні влас ти вості чис ло вих функцій, зок ре ма їх парність,
не парність, періодичність, не пе рервність то що, дослідив у дво -
томній праці «Вступ до аналізу нескінчен но ма лих» Л. Ей лер
(1707–1783). Те пер усь о му світу відомі функція Ей ле ра, ко ло
Ей ле ра, пря ма Ей ле ра, рівнян ня Ей ле ра, чис ла Ей ле ра, фор -
му ли Ей ле ра, підста нов ки Ей ле ра, те о ре ми Ей ле ра і ба га то
інших наз ва них на йо го честь важ ли вих ма те ма тич них по нять,
співвідно
шень, ме
тодів то
що. Більшість своїх праць Ей
лер
ство рив, бу ду чи сліпим і в по хи ло му віці. До речі, йо го син
Хрис то фор, зго дом ге не рал російсь кої армії, був по чес ним
воїном За порізь кої Січі. Атес тат про це підпи сав 1770 р. Пет ро
Кал ни шевсь кий.
Най за гальніше су час не оз на чен ня функції сфор муль о ва но в
пра цях Ніко ля Бур бакі. Це псев донім, під яким ве ли ка гру па
фран цузь ких ма те ма тиків дру ку ва ла свої праці в 1937–1968 рр.,
усь о го по над 40 томів. Жартівли вий «ав то по рт рет» Н. Бур бакі
зоб ра же но на ма люн ку. Про по ну ю чи ма лю нок, ху дож ник за -
з на чив, що схожість з відо ми ми вче ни ми тут мо же бу ти тіль ки
ви пад ко вою.
ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
79
Ðîçäië
1
80
Ініціато ром уве ден ня по нят тя функції у шкіль ний курс ма те -
ма ти ки був відо мий ук раїнсь кий ма те ма тик М.В. Ост рог рад сь кий.
Ще в се ре дині ХІХ ст., май же на 50 років раніше від німець ко -
го ма те ма ти ка Ф. Клей на, він ви с ло вив ідеї, які зго дом ляг ли в
ос но ву міжна род но го ру ху за ре фор му нав чан ня в школі.
МИ ХАЙ ЛО ВА СИЛЬ О ВИЧ ОСТ РОГ РАДСЬ КИЙ
(1801–1862)
Сла вет ний ук раїнсь кий ма те ма тик, ви дат ний
уче ний, ор ганіза тор на у ко вої шко ли при к лад ної
ма те ма ти ки й ме ханіки, та ла но ви тий пе да гог і
прог ре сив ний ре фор ма тор ма те ма тич ної освіти.
На ро див ся в с. Па шен на Ко бе ляць ко го по ві ту на
Пол тав щині. По хо див з відо мо го ук раїн сь ко го ко -
заць коNстар шинсь ко го ро ду, чим завж ди пи шав ся.
Всесвітньо відомі йо го досліджен ня з ма те -
ма тич но го аналізу, ма те ма тич ної фізи ки, те о -
ре тич ної ме ханіки, те орії чи сел, ал геб ри, те орії
ймовірнос тей та варіаційно го чис лен ня.
ЧленNко рес пон дент Па ризь кої ака демії на ук, Російсь кої, Ту рин -
ської, Римсь кої, Аме ри кансь кої ака демій, по чес ний док тор Київ -
сько го, Мос ковсь ко го та ба гать ох інших універ си тетів.
У 2001 р. ЮНЕС КО внес ла М. Ост рог радсь ко го до пе реліку ви дат -
них ма те ма тиків світу.
П о н я т т я с т е п е н я з на ту раль ним по каз ни ком бу ло відо мо
ще вче ним Ва ви ло на і Греції. Про те у ши ро кий вжи ток во но
увійшло тіль ки після вве ден ня ко ренів. Євро пейські ма те ма ти -
ки в ХIII ст. поз на ча ли ко рені сло вом Radix. Пізніше пос ту пово
зап ро вад жу ва лися різні симво ли. Нап рик лад, замість те періш-
нь о го
пи са ли
R
2
12,
і т. п.
Ще пізніше з’яви ли ся зна ки ко ренів
При ць о му над
підкоре не вим ви ра зом ста ви ли рис ку, нап рик лад
. Р. Де карт
(1596–1650) пер ший по чав спо лу ча ти цю рис ку із зна ком ко ре -
ня. Су часні поз на чен ня ко ре ня ут вер ди ли ся тіль ки в XVIII ст.
Сте пені з дро бо ви ми по каз ни ка ми ввів у XIV ст. фран цузь кий
ма те ма тик Н. Орем; сте пені з нуль о вим по каз ни ком ви ко рис то ву -
ва ли в XV ст. са мар ка ндсь кий уче ний аль9Каші й фран цузь кий
уче ний Н. Шю ке. Ос танній розг ля дав та кож сте пені з від’ємни -
ми по каз ни ка ми. Сис те ма тич но їх ви ко рис то ву вав І. Нь ю тон.
Він пи сав: «Як ал геб раїсти замість
АА
,
ААА
і т. д. пи шуть
А
2
,
А
3
, ..., так і я замість
... пи шу
а
–1
,
а
–2
,
а
–3
і т. д.».
Графіки простіших сте пе не вих функцій, на сам пе ред
у
=
х
2
і
у
=
х
3
, бу ду ва ли Де карт, Фер ма та інші фран цузькі ма те ма ти ки
для графічно го розв’язу ван ня рівнянь.
81
Го лов не в розділі 1
Числа бувають натуральні, цілі, раціональні, дійсні і
комплексні. Їх множини позначають відповідно буквами:
N
,
Z
,
Q
,
R
,
C
. Кожна з цих множин є частиною (підмножиною)
наступної:
N
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
⊂
C
.
У множині раціональних чисел
Q
завжди виконуються дії
додавання, віднімання, множення і ділення (за винятком
ділення на нуль).
Обчислення, за умови, що деякі значення виражені у
відсотках, називають
відсотковими розрахунками
. Відсоток
(процент) – це сота частина.
1 %
=
0,01; 10 %
=
0,1; 100 %
=
1.
Задачі на відсотки
y
=
f
(
x
) – функція,
D
– її об ласть виз на чен ня,
E
– об ласть зна -
чен ь. Як що
D
і
E
– мно жи ни чис лові, то
y
=
f
(
x
) – функція чис -
ло ва.
Як що об ласть виз на чен ня чис ло вої функції – мно жи на, си -
мет рич на віднос но 0 і:
1)
f
(–
x
)
=
f
(
x
), то функція
y
=
f
(
x
) пар на;
2)
f
(–
x
)
=
–
f
(
x
), то функція
y
=
f
(
x
) не пар на.
Ко ре нем n
9
го сте пе ня
із чис ла
a
на зи ва ють чис ло,
n
9й сте -
пінь яко го дорівнює
a
. Невід’ємний корінь
n
9го сте пе ня із чис -
ла
a
на зи ва ють
ариф ме тич ним зна чен ням ко ре ня n
9
го сте пе 6
ня
із чис ла
a
. Йо го поз на ча ють сим во лом
.
П р и к л а д.
, оскіль ки
, оскіль ки 0,1
5
=
0,00001.
Об чис лен ня зна чен ня ко ренів
n
9го сте пе ня із чи сел на зи ва -
ють
до бу ван ням ко ренів
із цих чи сел.
Знаходження
Формула
1
p
відсотків від числа
a
a
⋅
0,01
p
2 Числа,
p
відсотків якого дорівнюють
b
b
:
(0,01
p
)
3 Відсоткового відношення
(
a
:
b
)
⋅
100 %
4 Простих відсотків
5 Складних відсотків