Файл: matametika_bevz_standart.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (5,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.11.2019

Просмотров: 4944

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 10

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС КУТА

Уза галі, яким би не був кут

і ціле чис ло

, то:

sin (

+ 360

° ⋅

)

sin

, соs (

+ 360

° ⋅

)

соs

tg (

+ 360

° ⋅

)

, ctg (

+ 360

° ⋅

)

ctg

Ці співвідно шен ня да ють мож ливість звес ти зна ход жен ня

зна чень си ну са, ко си ну са, тан ген са й ко тан ген са будь?яко го ку -
та до зна ход жен ня їх зна чень для невід’ємно го ку та, мен шо го
від 360

. Не хай, нап рик лад, тре ба об чис ли ти соs 1860

. Поді -

лив ши 1860 на 360, діста не мо част ку 5 і ос та чу 60. От же,

соs 1860

° =

соs (360

° ⋅

5 + 60

)

соs 60

° =

0,5.

Як вид но з ма люн ка 54, ко си ну си

кутів 60

і –60

од на кові, оскіль ки

точ ки

симет ричні віднос но

осі

. То му соs (–60

)

соs 60

. І вза -

галі, ко си ну си кутів

і –

завж ди

од на кові. То му, який би не був кут

завж ди соs (–

)

соs

Відрізки

АН

ма ють од на -

кові дов жи ни, але розміщені по різні
бо ки від осі

, то му їхні зна ки різні.

От же, sіn (–

)

–sіn

для кож но го

зна чен ня

Та ким чи ном, пра вильні то тож -

ності:

соs (–

)

соs

, sіn (–

)

–sіn

tg (–

)

–tg

, ctg (–

)

–ctg

Ко рис ту ю чися ни ми, мож на порів ня но лег ко об чис лю ва ти

зна чен ня три го нометрич них функцій від’ємних кутів.

П р и к л а д и :
1. sіn (–30

)

–sіn 30

° =

–0,5;

2. соs (–405

)

соs 405

° =

соs (45

+ 360

)

соs 45

° =

Си нус, ко си нус, тан генс і ко тан генс ра зом на зи ва ють

три го -

но метрич ни ми функціями

. Ця наз ва по хо дить від наз ви дав ньої

на у ки

три го но метрії

. Раніше три го но метрію най час тіше ви ко ри -

с то ву ва ли для розв’язу ван ня три кут ників, а з їх до по мо гою –
розв’язу ван ня ба гать ох ге о мет рич них і ге о де зич них за дач.

Мал. 53

Мал. 54

У XX ст. такі  за дачі  нав чи ли ся  розв’язу ва ти  інши ми  спо со ба ми  й
за со ба ми,  навіть  простіше  й  точніше,  то му  те пер  три го но метрія
втра ти ла по пе ред ню цінність і її не відно сять до су час них на ук.
Але  по нят тя  си нус,  ко си нус,  тан генс  і  ко тан генс  у  різних  на у -
ках  про дов жу ють  відігра ва ти  важ ли ву  роль.  Особ ли во,  ко ли
йдеть ся про різні обер тальні ру хи, періодичні про це си і яви ща.

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

Що та ке си нус ку та

? Яко го зна чен ня він мо же на бу ва ти?

Яких зна чень у ви разі sin

мо же на бу ва ти

Сфор му люй те оз на чен ня ко си ну са ку та.

За яких умов ко си нус ку та до дат ний? А ко ли – від’ємний?

Що та ке тан генс ку та? А ко тан генс?

При яких зна чен нях

йо го тан генс не існує? А ко тан генс?

Як змінюєть ся си нус ку та, як що кут збіль шуєть ся:
а) від 0

до 90

; б) від 90

до 180

Як змінюєть ся ко си нус ку та, як що кут збіль шуєть ся:
а) від 0

до 90

; б) від 90

до 180

Як змінюєть ся тан генс ку та, як що кут збіль шуєть ся:
а) від 0

до 90

; б) від 90

до 180

Об числіть:

– 2sіn 90

° ⋅

соs 60

+ 0,5tg 45

Р о з в ’ я з а н н я.

Відповідні зна чен ня си ну са й ко си ну са зна -

хо ди мо в таб лиці (див. с. 86). Маєм о:

– 2sіn 90

° ⋅

соs 60

+ 0,5tg 45

° =

Що біль ше: sіn 20

чи соs 20

Р о з в ’ я з а н н я.

Як що

∠

МОН

, то

∠

ОМН

(мал. 55). Оскіль ки в трикутни ку про ти
біль шо го ку та ле жить біль ша сто ро на,
то

ОН

МН

. От же, соs 20

> sіn 20

Ко рис ту ю чися мікро каль ку ля то -

ром, об числіть ctg 42

′

Р о з в ’ я з а н н я.

13 60 42

1,1022016.

Відповідь.

ctg 42

′ ≈

1,1022.

Ðîçäië

Мал. 55

§ 10

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС КУТА

384.

Див ля чися на пря мо кут ний три -

кут ник

АВС

(мал. 56), укажіть зна

чен

ня

си ну са, ко си ну са, тан ген са й ко тан ген са
ку тів

385.

Чи мо же абс ци са або ор ди на та точ -

ки оди нич но го ко ла дорівню ва ти 2?

386.

Чи мо

же си

нус або ко

си

нус ку

та

дорівню ва ти 2? А –2?

387.

Чи мо же си нус ку та, мен шо го від

180

, бу ти чис лом від’ємним? А ко си нус?

388.

Тан

генс яко

го ку

та дорівнює 1?

А –1?

389.

Укажіть зна чен ня си ну са, ко си ну са,

тан ген са й ко тан ген са пря мо го ку та і ку та 45

390.

Якій чверті на ле жить кут: 100

, 150

, 200

, 250

, 300

350

391.

На скіль ки гра дусів по вер таєть ся го дин на стрілка про -

тя гом півдо би? А хви лин на стрілка?

392.

Нак ресліть оди нич не ко ло і поз нач те на нь о му точ ки,

які відповіда ють ку там: 30

, 90

, 120

, 180

, 270

, 360

, –30

–300

393.

Обчисліть зна чен ня кож ної три го но мет рич ної функції

кутів, за да них у № 392.

394.

Ку ту

на оди нич но му колі відповідає точ ка

Укажіть зна чен ня sin

, соs

, tg

, ctg

395.

Ку ту

на оди нич но му колі відповідає точ ка з абс ци сою

0,6. Укажіть зна чен ня sin

, соs

, tg

, ctg

396.

Як змінюєть ся sin

і соs

, як що

збіль шуєть ся від 0

до 360

397.

Щo біль ше:
а) sin 20

чи sin 50

;

б) соs 40

чи соs 10

;

в) sin 20

чи sin 160

;

г) соs 10

чи соs 100

398.

Об числіть:
а) sin 30

+ соs 30

;

б) соs 60

– sіn 45

;

в) sin 45

° ⋅

соs 45

;

г) 2 sin 60

° ⋅

соs 60

399.

Знайдіть зна чен ня си ну са, ко си ну са, тан ген са, ко тан ген-

са ку та правиль но го: а) трикут ни ка; б) чо ти ри кут ни ка; в) шес ти-
кут ни ка.

400.

Замість зіроч ки пос тав те знак > або <:

а) соs 5

* соs 7

; б) sіn 82

* sіn 79

; в) sіn 178

* sіn 108

;

Мал. 56

г) соs 113

* соs 115

; ґ) tg 29

* tg 32

; д) tg 97

* tg 107

401.

Об числіть зна чен ня ви ра зу:
а) sіn 45

– соs 60

° ⋅

соs 90

+ sіn 120

;

б) sіn 30

° ⋅

соs 150

– соs 60

° ⋅

tg 120

402.

Виз нач те знак до бут ку:

а) sіn 120

° ⋅

соs 155

° ⋅

tg 85

; б) sіn 320

° ⋅

соs 55

° ⋅

ctg 185

;

в) ctg 124

° ⋅

соs 115

° ⋅

tg 35

; г) ctg 125

° ⋅

соs 77

° ⋅

tg 305

403.

Об числіть зна чен ня три го но мет рич них функцій за до -

по мо гою таб лиць і пе ревірте ре зуль тат, ви ко рис то ву ю чи каль -
ку ля тор:

а) sіn 12

, sіn 33

, sіn 72

, sіn 50

;

б) соs 12

, соs 33

, соs 72

, соs 50

;

в) tg 12

, tg 33

, tg 72

, tg 50

;

г) ctg 12

, ctg 33

, ctg 72

, ctg 50

Виз нач те знак до бут ку

(404, 405)

404.

а) соs 30

° ⋅

sіn 715

° ⋅

соs 125

° ⋅

tg 35

;

б) sіn 137

° ⋅

соs 150

° ⋅

tg 22

° ⋅

соs 735

405.

a) tg 143

° ⋅

sіn 565

° ⋅

tg 87

° ⋅

соs 126

;

б) соs 932

° ⋅

sіn 132

° ⋅

соs 135

° ⋅

tg 92

406.

Об числіть зна чен ня ви ра зу:
а) sіn 30

° ⋅

соs 60

– соs

120

+ sіn 135

° ⋅

соs 90

;

б) tg 30

° ⋅

tg 60

– tg

135

+ соs 150

Знайдіть зна чен ня ви разів

(407, 408)

407.

а) соs

+ 3sіn

, як що

α =

;

б) sіn

+ sіn 2

+ sіn 3

, як що

β =

408.

a) sіn

+ 2соs

+ 3tg

, як що

γ =

;

б) sіn

+ соs (

–

), як що

α =

β =

409.

Яке найбіль ше і най мен ше зна чен ня мо же ма ти ви раз:

а) 3sіn

;

б) – соs

;

в) 1 + sіn

;

г) sіn

– 1?

410.

Чи мо же си нус або ко си нус ку та дорівню ва ти:

а) б)

в)

г)

411.

Ко рис ту ю чися мікро каль ку ля то ром, об числіть:
а) sіn 17

;

б) cos 35,7

;

в) sin 110

;

г) tg 39,8

;

ґ) 3соs 25

;

д) 10tg 38

;

e) 2 + соs 49

; є) 3 + sіn 47

412.

Об числіть:
а) ctg 37,8

; б) 2,7ctg 63,7

; в) 2 : sіn 36,3

413.

Ко рис ту ю чися таб ли цею (до дат ки на с. 261), знайдіть:
a) 1 + sіn 25

; б) sіn 20

– соs 70

; в) 2sіn 15

соs 15

414.

Знайдіть міру гост ро го ку та

, як що:

а) sin

0,5; б) 2 cos

Ðîçäië

415.

Знайдіть sіn

і соs

, як що:

а) tg

α =

1; б)

α =

–1.

416.

Знайдіть sіn

і tg

, як що соs

α =

0,5 (кут

гост рий).

417.

Знайдіть, ко рис ту ю чись оди нич ним ко лом:

sіn 0

, sіn 90

, соs 90

, sіn 180

, соs 180

, sіn 270

, соs 270

418.

Що біль ше:
а) sіn 10

чи соs 10

; б) соs 45

чи sіn 45

419.

Який з кутів біль ший –

чи

, як що:

а) sіn

α =

0,75, sіn

β =

0,93; б) соs

α =

0,5, соs

β =

0,6?

420.

Яких зна чень при різних зна чен нях

мо же на бу ва ти

ви раз:

sіn

, 1 – sіn

, sіn 2

, 2sіn

421.

Яких зна чень мо же на бу ва ти ви раз:
tg

, tg

, tg 2

, 2tg

, 1 + tg

422.

Нак ресліть на мілімет ро во му па пері чверть ко ла раді -

уса 10 см, поділіть йо го на 30 рівних час тин і складіть табли цю
наб ли же них зна чень си ну са й ко си ну са кутів 3

, 6

, ... , 90

423.

Знайдіть дов

жи

ну ко

ла й пло

щу кру

га, радіус яких

дорівнює:

а) 2 м; б) 12 см; в) 2,5 дм.

424.

З а д а ч а С у н ь ? Ц з и . Знайдіть чис ло, яке від ділен ня

на 3 має в ос тачі 2, а від ділен ня на 5 має в ос тачі 3, на решті від
ділен ня на 7 – ос та ча 2.

425.

По бу дуй те графік функції:
а)

–2

; б)

–2

+ 1; в)

–1

; г)

–1

– 2.

Досі ми розг ля да ли три го но мет ричні функції кутів. При ць о -

му ви рази

+ sіn

, соs

не ма ли змісту. Оскіль ки не мож на до

гра дус ної міри ку та до дава ти чис ло. Не має змісту й квад рат
міри  ку та.  А  розв’язу ван ня  ба гать ох  за дач  при во дить  до  ана -
лізу  подібних  ви разів.  То му  ма те ма ти ки  час то  мають  спра ву  з
ви ра за ми  sіn

, соs

, tg

, ctg

, де

– не міра ку та, а абстра к т -

не чис ло. Що ж ро зуміють під си ну сом, ко си ну сом, тан ген сом і
ко тан ген сом дійсно го чис ла?

Спо чат ку зга даємо де що про вимірю ван ня кутів. Ку ти мож -

на вимірю ва ти

гра ду са ми

та їх мен ши ми част ка ми:

міну та ми

се кун да ми