ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4961
Скачиваний: 5
Влас ти вості ко ренів
n
9го сте пе ня:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
.
Сте пені з дро бо ви ми по каз ни ка ми
: .
Влас ти вості. Як що
r
і
s
– чис ла раціональні, то:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
.
Сте пе не ва функція y
=
x
α
,
x
∈
(0; +
∞
),
α ∈
Q
.
Влас ти вості: функція мо но тон на, ні пар на, ні не пар на.
При
α
> 0 функція зрос та ю ча, при
α
< 0 – спад на.
Графік функції про хо дить че рез точ ку
М
(1; 1).
y
=
x
α
,
α
> 0
y
=
x
α
,
α
< 0
Ðîçäië
1
82
M
M
Рівняння називають
ірраціональним
, якщо воно містить
змінну під знаком кореня або в основі степеня з дробовим
показником. Найзагальніший спосіб розв’язування ірраціо
-
нальних рівнянь – піднесення обох його частин до однакових
степенів з наступним відкиданням сторонніх розв’язків.
Багато ірраціональних рівнянь зручно розв’язувати за допо
-
могою заміни змінної.
83
Розумова праця на уроках
математики – пробний
камінь мислення.
В. О. Сухомлинський
84
У житті ми час то сти каємо ся з про це са ми, які відбу ва ються
з пев ною періодичністю. Скажімо, на зміну зимі при хо дить вес -
на, на зміну весні – літо, на зміну літу – осінь, на зміну осені –
зи ма, зно ву вес на, і все пов то рюєть ся з ро ку в рік. Так са мо
зміню ють ся ра нок, день, вечір і ніч. Періодичні про це си відбу ва -
ють ся в ба гать ох ме ханізмах (рух порш ня, ма ят ни ка) і в жи вих
ор ганізмах (пуль сація сер ця, ди хан ня).
Ма ти спра ву з про це са ми, які
пе ріо-
дич но пов то рю ють ся
, до во дить ся ба -
гать ом фахівцям. Мо де лю ва ти такі
про це си най з ручніше за до по мо гою си -
ну са, ко си ну са, тан ген са і ко тан ген са.
Де що про ці функції ви вже знаєте з
уроків ге о метрії.
Си нус (ко си нус) гост ро го або ту по го
ку та
α
– це ор ди на та (абс ци са) точ ки
оди нич но го півко ла, яка відповідає куту
α
(мал. 48).
Зверніть ува гу: в ге о метрії розг ля да ють sin
α
, соs
α
, tg
α
, ctg
α
за умо ви, що
α
– кут три кут ни ка або опук ло го мно гокут ни ка,
тоб то ко ли 0
°
<
α
< 180
°
. Досліджу ю чи ж періодичні про це си,
під
α
ро зу міють кут по во ро ту (обер тан ня). А він мо же бу ти і як
зав год но ве ли ким, і від’ємним. По во ро ти в нап рямі ру ху го -
дин ни ко вої стрілки до мо ви ли ся вва жа ти від’ємни ми, а в про -
ти леж но му нап рямі – до дат ни ми. Нап рик лад, по верну ти кор бу
на –540
°
, на 720
°
– це оз на чає по вер ну ти її, як по ка за но на
малюн ках 49,
а
і
б
.
§ 10. Синус, косинус, тангенс і котангенс кута
Мал. 48
а)
б)
Мал. 49
Од но му, двом, трь ом, ...,
n
обер там відповіда ють ку ти 360
°
,
720
°
, 1080
°
, ..., 360
° ⋅
n
.
Уве де мо по нят тя си ну са, ко си ну са, тан ген са і ко тан ген са
будь?яко го ку та. Зро би мо це за до по мо гою
оди нич но го ко ла
.
§ 10
СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС КУТА
85
Як що цент ром ко ла є по ча ток ко ор ди нат, а йо го радіус дорів -
нює 1, то та ке ко ло на зи ва ють
оди нич ним ко лом
.
Не хай на ко ор ди натній пло щині да но оди нич не ко ло і йо го
по чат ко вий радіус
ОР
(мал. 50). Кажуть, що точ ка
А
оди нично -
го ко ла відповідає ку ту
α
, як що
∠
РОА
= α
. Зоб ра жені на ма люн -
ку 50 точ ки
Р
,
А
,
В
,
С
,
D
,
Е
,
F
відповіда ють ку там 0
°
, 60
°
, 90
°
,
135
°
, 180
°
, 270
°
, 300
°
(у межах від 0
°
до 360
°
).
Си ну сом ку та
на зи ваєть ся ор ди на та точ ки оди нич но го
ко ла, яка відповідає ку ту
.
Ко си ну сом ку та
на зи ваєть ся абс ци са точ ки оди нич но го
ко ла, яка відповідає ку ту
(мал. 51).
Тан ген сом ку та
на зи ваєть ся відно шен ня си ну са ку та
до йо го ко си ну са.
Ко тан ген сом ку та
на зи ваєть ся відно шен ня ко си ну са ку -
та
до йо го си ну са.
Си нус, ко си нус, тан генс і ко тан генс ку та
α
поз на ча ють від -
по відно сим во ла ми sіn
α
, соs
α
, tg
α
, сtg
α
.
П р и к л а д и.
1.
Ку ту 135
°
на оди нич но му колі відповідає точ ка
С
із абс ци?
сою
і ор ди на тою
(мал. 50). То му
соs 135
° =
, sin 135
° =
,
tg 135
° =
–1, ctg 135
° =
–1.
2.
Ку ту –90
°
на оди нич но му колі відповідає точ ка
Е
(0; –1).
То му
соs (–90
°
)
=
0, sіn (–90
°
)
=
–1,
ctg (–90
°
)
=
0, tg (–90
°
) не існує.
Тан генс ку та
α
має зна чен ня (тоб то існує) тоді і тіль ки тоді,
ко ли соs
α
0, ад же діли ти на 0 не мож на. Ко тан генс ку та
α
має
зна чен ня тіль ки за умо ви, що sin
α
0.
Мал. 50
Мал. 51
Зна чен ня sіn
α
, соs
α
, tg
α
, ctg
α
де я ких кутів
α
на ве де но в
таб лиці.
Ðîçäië
2
86
0
°
30
°
45
°
60
°
90
°
sin
0
1
соs
1
0
tg
0
1
–
сtg
–
1
0
Наб ли жені зна чен ня три го но мет рич них функцій мож на
зна хо ди ти за до по мо гою мікро каль ку ля то ра або спеціаль них
таб лиць (див. до да тки на с. 261).
Кож но му зна чен ню ку та
α
відповідає єди не зна чен ня sіn
α
(див. мал. 51). Зна чен ня sіn
α
за ле жить від зна чен ня
α
. То му
sin
α
– функція від
α
. Функціями від
α
є та кож соs
α
, tg
α
, ctg
α
.
Де тальніше ми розг ля не мо їх далі, а тут звер не мо ува гу тіль ки
на най важ ливіші влас ти вості цих функцій.
На га даємо, що sin
α
– це ор ди на та
точ ки
А
оди нич но го ко ла, яка від -
повідає ку ту
α
(мал. 52). Як що
АН
–
пер пен ди куляр, опу ще ний з точ ки
А
на вісь
х
, то дов жи на відрізка
АН
–
си нус
ку та
α
, а
ОН
–
ко си нус
ку та
α
.
Як що точ ка
А
зна ходить ся у І або II
ко ор ди натній чверті, то sin
α =
АН
;
як що точ ка
А
– у III або IV чверті, то
sin
α =
–
АН
. Кажуть, що у І і II чвер -
тях си нус ку та
α
до дат ний, а в III і IV
чвер тях – від’ємний.
Зна ки три го но мет рич них функцій
кутів різних ко ор ди нат них чвер тей по ка за но на ма люн ку 53.
Як що кут
α
збіль шуєть ся від 0
°
до 90
°
, то зна чен ня sin
α
збільшуєть ся від 0 до 1. Як що
α
збіль шуєть ся від 90
°
до 180
°
, то
зна чен ня sin
α
змен шуєть ся від 1 до 0. Як що
α
збіль шуєть ся від
180
°
до 270
°
, то зна чен ня sin
α
змен шуєть ся від 0 до –1. Як що
α
збіль шуєть ся від 270
°
до 360
°
, то зна чен ня sin
α
збіль шуєть ся
від –1 до 0. От же, для будь?яко го значен ня
α
:
–1
sin
α
1 і –1
соs
α
1.
Як що кут
α
про дов жу ва ти збіль шу ва ти, то всі ці влас ти вості
пов то рять ся, тоб то завж ди
sin
α =
sin (
α
+ 360
°
)
=
sin (
α
– 360
°
)
=
sin (
α
+ 720
°
)
=
...
Мал. 52