ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4943
Скачиваний: 5
Ðîçäië
2
92
Міра ку та
АОВ
дорівнює од ному
ра -
діану
(1 рад), як що на колі із цент ром
у вер шині ць о го ку та він вирізає ду -
гу
АВ
, дов жи на якої дорівнює дов жині
радіуса ко
ла (мал. 57); 1 рад
≈
57
°
.
Оскіль ки ко ло радіуса
r
має дов жи ну
2
π
r
, то 360
° =
2
π
рад. Звідси маємо:
180
° = π
рад, 90
° =
рад, 60
° =
рад,
45
° =
рад, 30
° =
рад.
Гра дус на і радіан на міри кутів пов’язані та ки ми за лежнос -
тя ми:
1
° =
радіанів,
n
°
радіанів.
Відповідність між де я ки ми радіан ни ми міра ми кутів ба жа -
но пам’ята ти:
Мал. 57
π
30
°
45
°
60
°
90
°
120
°
135
°
150
°
180
°
210
°
225
°
240
°
270
°
300
°
Ви ко рис то ву ю чи фор му лу 1 рад
=
мож на вста но ви ти
відповідність між мно жи ною дійсних чи сел і мно жи ною кутів
по во ро ту. А оскіль ки кож но му зна чен ню де я ко го ку та
α
від по -
відає єди не зна чен ня sin
α
(соs
α
, tg
α
, ctg
α
), то мож на розг ля да -
ти три го но мет ричні функції не ли ше ку то во го ар гу мен ту, а й
чис ло во го.
Не хай на ко ор ди натній пло щині да но оди нич не ко ло і йо го
по чат ко вий радіус
ОР
(мал. 58,
а
). Кажуть, що точ ка
А
оди-
нич но го ко ла відповідає чис лу
α
, як
що кут
РОА
дорівнює
α
радіанів. При ць о му вва жа ють, що кут
α
збільшуєть ся, як що
радіус
ОА
ру хаєть ся про ти ру ху го дин нико вої стрілки; кут
α
мо же бу ти як зав год но ве ли ким і як зав год но ма лим. Зоб ра -
жені на ма люн ку 58,
а
точ ки
Р
,
K
,
В
,
С
відповіда ють чис лам 0,
,
π
, .
Си ну сом чис ла
α
на зи ваєть ся ор ди на та точ ки оди нич но го ко ла,
яка відповідає чис лу
α
.
Ко си ну сом чис ла
α
на зиваєть ся абс ци са
точ ки оди нич но го ко ла, яка відповідає чис лу
α
(мал. 58,
б
).
Си нус і ко си нус чис ла
α
поз на ча ють відповідно: sіn
α
і соs
α
.
Зі зміною чис ла
α
зміню ють ся та кож і зна чен ня sіn
α
та соs
α
.
То му мож на го во ри ти про функції, за дані рівнос тя ми
у
=
sіn
х
і
у
=
соs
х
.
Розг ля не мо де які влас ти вості цих функцій.
Кож но му дійсно му чис лу
х
відповідає єди на точ ка оди нич -
но го ко ла, а їй – якась пев на ор ди на та й абс ци са. То му об ласть
виз на чен ня кож ної із функцій
у
=
sіn
х
і
у
=
соs
х
– уся мно жи на
R
дійсних чи сел.
Оскіль ки sіn
х
– ор ди на та, а соs
х
– абс ци са де я кої точ ки оди -
нич
но
го ко
ла (йо
го радіус дорівнює 1), то –1
sіn
х
1 i
–1
соs
х
1.
Як що зна чен ня ар гу мен ту
х
збіль шу ва ти від –
до , то sіn
х
збіль шуєть ся від –1 до 1. При збіль шенні
х
від
до
зна чен ня
sіn
х
змен шуєть ся від 1 до –1. При по даль шо му збіль шенні
х
усе пов то рюєть ся. Як змінюєть ся зна чен ня соs
х
зі збільшен -
ням
х
, дослідіть са мостійно.
Оскіль ки чис лу 2
π
відповідає пов ний оберт точ ки одинич но го
ко ла, то чис лам
х
,
х
+ 2
π
,
х
+ 4
π
, ...,
х
+ 2
n
π
, де
n
– ціле чис ло,
на оди нич но му колі відповідає од на й та са ма точ ка. Си ну си
всіх цих чи сел рівні. То му для кож но го ціло го зна чен ня
n
:
sіn (
х
+ 2
n
π
)
=
sіn
х
.
Так са мо
cos (
х
+ 2
n
π
)
=
cos
х
.
Відно шен ня си ну са чис ла до ко си ну са то го са мо го чис ла на -
зи ва ють
тан ген сом
ць о го чис ла, а обер не не відно шен ня – йо го
ко тан ген сом
:
§ 11
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ
93
Мал. 58
а)
б)
Оскіль ки на 0 діли ти не мож на, то tg
α
існує (має чис ло ве
зна чен ня), ко ли соs
α ≠
0, а ctg
α
існує, ко ли sіn
α ≠
0. Зі зміною
чис ла
α
зна чен ня tg
α
і ctg
α
теж зміню ють ся, то му tg
х
і ctg
х
та -
кож функції від ар гу мен ту
х
. Функції sіn
х
, cos
х
, tg
х
і ctg
х
на -
зи ва ють
три го но мет рич ни ми функціями
чис ло во го ар гу менту.
Точні зна чен ня цих функцій при де я ких зна чен нях ар гу мен ту
(0,
,
,
,
і т. п.) мож на виз на ча ти, ко рис ту ю чись оди нич ним
ко лом. Во ни на ве дені в таб лиці.
Ðîçäië
2
94
0
π
sin
0
1
0
соs
1
0
–
–
–
–1
tg
0
1
не
існує –
–1
–
0
сtg
не
існує
1
0
–
–1
–
не
існує
Наб ли жені зна чен ня три го но мет рич них функцій мож на
зна хо ди ти, ко рис туючися спеціаль ни ми таб ли ця ми або мікро -
каль ку ля то ром. При ць о му як що зна чен ня ар гу мен ту
х
за да но
в гра ду сах, то пе ре ми кач Г–Р став лять на поз нач ку Г, як що
х
– абстра кт не чис ло або кут у радіанах, – на поз нач ку Р. На -
п рик лад, зна чен ня sіn 1,2 зна хо дять за та кою прог ра мою: 1,2
; ре зуль тат 0,932039, тоб то sіn 1,2
≈
0,932039.
Вва жа ють, що си нус, ко си нус, тан генс, ко тан генс чис ла
дорівню ють відповідно си ну су, ко си ну су, тан ген су, ко тан ген су
ку та
радіанів.
От же, кож не тверд жен ня про три го но мет ричні
функції чис ла
α
рівноз нач не тверд жен ню про три го но мет ричні
функції ку та
α
радіанів і нав па ки. Зок ре ма, пра вильні фор му ли
соs (–
α
)
=
соs
α
, sіn (–
α
)
=
–sіn
α
,
tg (–
α
)
=
–tg
α
, ctg (–
α
)
=
–ctg
α
.
Оскіль ки об ласть виз на чен ня кож ної три го но мет рич ної
функції си мет рич на віднос но по чат ку ко ор ди нат, то це оз на -
чає, що функція
у
=
соs
х
– пар на, а функції
у
=
sіn
х
,
у
=
tg
х
,
у
=
сtg
х
– не парні.
Зна ки sin
α
і соs
α
такі, як і зна ки ко ор ди нат то чок оди нич -
но го ко ла, що відповіда ють ку ту
α
(див. мал. 53).
Сим во ли sin
α
, соs
α
, tg
α
, ctg
α
ввів у ма те ма ти ку Л. Ей лер.
sin
F
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Що та ке радіан? Скіль ки радіанів має пря мий кут?
2.
Що та ке си нус, ко си нус, тан генс і ко тан генс чис ла? Як во ни поз на -
ча ють ся?
3.
Які зна ки ма ють три го но мет ричні функції в різних чвер тях?
4.
За пишіть об ласть виз на чен ня кож ної з три го но метрич них функ цій.
1.
Ко рис ту ю чись оди нич ним ко лом, знайдіть зна чен ня три?
го нометричних функцій чи сел: 0, ,
π
, ,
2
π
.
Р о з в ’ я з а н н я.
Да ним чис лам на оди нич но му колі від по ві да-
ють точ ки:
P
,
K
,
B
,
C
,
P
(див. мал. 58,
а
). Їх абс ци си дорівню ють
відповідно: 1, 0, –1, 0, 1. От же,
cos 0
=
1, cos
=
0, cos
π =
–1, cos
=
0, cos 2
π =
1.
Ор ди на ти вка за них то чок дорівню ють: 0, 1, 0, –1, 0. От же,
sin 0
=
0, sin
=
1, sin
π =
0, sin
=
–1, sin 2
π =
0;
tg 0
= =
0, tg
=
– не існує, tg
π =
=
0 і т. д.
2.
Чи пра виль но, що при будь?яко му ціло му
n
і дійсно му
α
:
a) tg (2
n
π
+
α
)
=
tg
α
;
б) ctg (2
n
π
+
α
)
=
ctg
α
?
§ 11
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ
95
ЛЕ О НАРД ЕЙ ЛЕР
(1707–1783)
Один з най виз начніших ма те ма тиків світу.
Швейца рець, ба га то років пра цю вав у Росії.
У 16 років склав ек за мен на ступінь магістра
мис тецтв. На пи сав по над 800 те о ре тич них
праць з ма тема ти ки, фізи ки, аст ро номії,
навігації, філо софії, му зи ки – близь ко 80 томів.
Увів су часні поз начен ня
π
,
е
,
і
,
f
(
х
), sіn, соs,
tg, ctg та ін. Йо го ім’ям наз ва но де сят ки най -
важ ливіших те о рем, фор мул, функцій, рівнянь,
інтег ралів та ін.
«Не має на у ки, не зв’яза ної з ма те ма ти кою»
.
Л. Ей лер
«Ей лер повів за со бою нас тупні по коління...»
М.В. Ост рог радсь кий
Р о з в ’ я з а н н я.
Як що
n
– чис
ло
ціле, то чис лам
α
і 2
n
π
+
α
на оди нич -
но
му колі відповідає од
на й та са
ма
точ ка (мал. 59). То му кож на з на ве де -
них рівнос тей пра виль на.
3.
Об числіть
Р о з в ’ я з а н н я.
Відповідні зна чен -
ня си ну са і ко си ну са зна хо ди мо у таб -
лиці (с. 94). Маємо:
426.
Назвіть у радіанах міри кутів: а) квад ра та; б) рівнос то -
рон нь о го три кут ни ка; в) пря мо кут но го рівно бед ре но го три кут -
ни ка; г) пра виль но го шес ти кут ни ка.
427.
Назвіть у гра ду сах кут, радіан на міра яко го дорівнює:
428.
Які із чи сел від’ємні: sin 2, sin 4, sin 5, соs 2, соs 3, соs 6?
Відповідь ар гу мен туй те.
429.
Для яких зна чень
х
ви ко нуєть ся рівність:
а) sin
x
=
0; б) sin
x
=
1; в) sin
x
=
–1; г) соs
x
=
–1?
430.
Чи існу ють такі зна чен ня
х
, для яких соs
х
=
2,5? А tg
х
=
=
2,5?
За пишіть у радіанній мірі ку ти
(431, 432)
.
431.
а) 15
°
; б) 30
°
; в) 45
°
; г) 60
°
; ґ) 90
°
; д) 135
°
; е) 180
°
; є) 270
°
.
432.
а) 40
°
; б) 120
°
; в) 105
°
; г) 150
°
; ґ) 75
°
; д) 32
°
; е) 100
°
; є) 140
°
.
Ви разіть у гра ду сах кут, радіан на міра яко го дорівнює да но -
му числу
(433, 434)
.
433.
а)
; б)
; в) ; г) ; ґ)
; д) 2
π
.
434.
а) 2; б) 3; в) 1,5; г) 0,36; ґ) 5; д) 31,4.
435.
Нак ресліть оди нич не ко ло і поз нач те на нь о му точ ки,
які (наб ли же но) відповіда ють чис лам: 1, 2, 3, 4, –1, –2.
436.
Поз нач те на оди нич но му колі точ ки, які відповідають
чис лам:
π
, , , , ,
2
π
, 3
π
, 4
π
, –
π
, –2
π
, –3
π
.
À
Ðîçäië
2
96
Мал. 59