ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4950
Скачиваний: 5
555.
Виз нач те ампліту ду, фа зу, по чат ко ву фа зу і ку то ву швид-
кість гар монічно го ко ли ван ня, за да но го фор му лою:
556.
Знайдіть період функцій:
a)
у
=
sin 6
x
; б)
у
=
cos 0,5
x
; в)
у
=
3sin 5
x
; г)
у
=
0,5cos (
x
+ 1).
557.
Знайдіть різни цю між найбіль шим і най мен шим зна -
чен ня ми функції:
558.
На ма люн ку 87 зоб ра же но графік функції «дро бо ва час -
ти на чис ла». Чи періодич на ця функція? Як що так, то який її
най мен ший до дат ний період? Чи є да ний графік гар монікою?
559.
На ма люн ку 88 зоб ра же но графік функції
у
=
|sin
x
|. Чи
періодична ця функція? Чи відповідає во на гар монічно му ко -
ли ван ню?
À
553.
На ма люн ку 85 зоб ра же но графік функції, яка ви ра жає
за лежність кіль кості со няч них плям від ча су. Чи є ця функція
періодич ною?
554.
Хід порш ня в циліндрі дви гу на дорівнює 12 см (мал. 86).
Знайдіть ампліту ду йо го ко ли ван ня.
Ðîçäië
2
122
Мал. 85
Мал. 86
§ 15
ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ І ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ
123
Знайдіть період гар монічно го ко ли ван ня
(560, 561)
.
560.
а)
у
=
sin 6
x
;
б)
у
=
соs 2
x
;
в)
у
=
соs 0,5
x
.
561.
а)
у
=
соs 3
x
;
б)
у
=
sin 1,5
x
;
в)
у
=
sіn 4
x
.
По бу дуй те графік гар монічно го ко ли ван ня
(562–565)
.
562.
а)
у
=
2sіn
x
;
б)
у
=
–2sіn
x
;
в)
у
=
0,5sіn
x
.
563.
а)
у
=
2соs
x
;
б)
у
=
–2соs
x
;
в)
у
=
0,5соs
x
.
564.
565.
Знайдіть період функції
(566–568)
.
566.
а)
у
=
7sin 2
x
;
б)
у
=
2 соs 6
x
;
в)
у
=
0,2 sin (
x
+
π
).
567.
а)
у
=
5 sin 0,1
x
; б)
у
=
соs (2
x
+3);
в)
у
=
6 sіn (2 + 3
x
).
568.
а)
у
=
tg 2
x
;
б)
у
=
3tg 0,25
x
;
в)
у
=
ctg(3
x
– 0,5
π
).
По бу дуй те графік функції
(569–573)
.
569.
570.
Á
Мал. 87
Мал. 88
571.
572.
573*.
574.
Побудуйте графік періодичної функції з періодом
T
=
2,
якщо на проміжку [–1; 1] її можна задати формулою:
а)
y
=
x
2
; б)
y
=
x
2
– 1.
575.
Побудуйте графік періодичної функції з періодом
T
=
4,
якщо на проміжку [–2; 2] її можна задати формулою:
а)
y
= |
x
|
; б)
y
=
1 –
|
x
|
.
576.
Див ля чись на графіки гар монічних ко ли вань (мал. 89),
на пишіть відповідні їм функції.
Ðîçäië
2
124
Мал. 89
577.
Елект рич ний струм, який жи вить місь ку освітлю валь -
ну ме ре жу, є змінним стру мом. Йо го си ла
I
постійно змінюєть -
ся, здійснюючи гар монічне ко ли ван ня
де
I
0
– мак си маль не зна чен ня си ли стру му;
Т
– період ко ли ван -
ня;
ϕ
– по чат ко ва фа за.
В які мо мен ти ча су си ла стру му до ся гає мінімаль но го або
мак си маль но го зна чен ня і ко ли йо го зна чен ня дорів нює ну лю?
Спростіть ви раз
(578, 579)
.
578.
а) (1 – cos
2
α
+ sin
2
α
) ctg
2
α
;
б) 1 – sіn
β
соs
β
tg
β
+ sin
2
α
.
579.
580.
Чи є чис ло 143 чле ном ариф ме тич ної прог ресії 3, 8,
13, ...? Як що так, то знайдіть но мер ць о го чле на прог ресії.
Те о ре ма.
Які б не бу ли ку ти або чис ла
і ,
завж ди
соs (
+ )
=
соs
соs
+ sіn
sin .
Д о в е д е н н я. Не хай
α
і
β
– довільні
ку
ти. На оди
нично
му колі їм від
по
-
віда ють точ ки
А
(соs
α
; sіn
α
) і
В
(соs
β
;
sin
β
) (мал. 90). Ви ра зи мо квад рат від -
стані між точ ка ми
А
і
В
дво ма спо со ба -
ми. Як що
∠
АОВ
= α
–
β
, де 0 <
α
–
β
<
π
,
то за те о ре мою ко си нусів
АВ
2
=
ОА
2
+
ОВ
2
– 2
⋅
ОА
×
×
ОВ
соs (
α
–
β
)
=
2 – 2 соs (
α
–
β
).
Згідно з те
о
ре
мою про квад
рат
відстані між дво ма точ ка ми
АВ
2
=
(соs
α
– соs
β
)
2
+ (sіn
α
– sin
β
)
2
=
=
соs
2
α
– 2 соs
α
соs
β
+ соs
2
β
+ sіn
2
α
– 2 sіn
α
sin
β
+ sin
2
β =
2 –
– 2(соs
α
соs
β
+ sіn
α
sin
β
).
От же, 2 – 2 соs (
α
–
β
)
=
2 – 2(соs
α
соs
β
+ sіn
α
sin
β
), звідси
соs (
α
–
β
)
=
соs
α
соs
β
+ sіn
α
sin
β
.
Ми розг ля ну ли ви па док, ко ли
∠
АОВ
= α
–
β
, де 0 <
α
–
β
<
π
.
В інших ви пад ках кут
АОВ
мо же дорівню ва ти
α
–
β
+ 2
π
n
або
β
–
α
+ 2
π
n
, де
n
∈
N
(мал. 91). Ко си нус кож но го з та ких кутів
дорівнює соs (
α
–
β
). То му те о ре ма, що до во дить ся, правиль на
для будь?яких кутів
α
і
β
, а от же, і для довіль них дійсних чи -
сел
α
і
β
.
На ос нові до ве де ної те о ре ми і фор мул зве ден ня мож на ви вес ти
подібні фор му ли для пе рет во рен ня ви разів соs(
α
+
β
) і sіn(
α ± β
).
соs (
α
+
β
)
=
соs (
α
– (–
β
))
=
соs
α
соs (–
β
) + sin
α
sіn (–
β
)
=
=
соs
α
соs
β
– sіn
α
sіn
β
.
§ 16. Формули додавання
§ 16
ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ
125
Мал. 90
sіn (
α
–
β
)
=
sіn (
α
+ (–
β
))
=
sіn
α
соs (–
β
) + соs
α
sіn (–
β
)
=
=
sіn
α
соs
β
– соs
α
sіn
β
.
До ве де мо ще фор му ли для пе рет во рен ня ви разів tg (
α ± β
).
От же, маємо 6 фор мул:
sin (
) sіn
соs
соs
sіn ,
соs(
) соs
соs
sіn
sіn ,
Це –
фор му ли до да ван ня
. Чо ти ри перші з них пра вильні для
будь?яких кутів або чи сел
α
і
β
, дві ос танні – для будь?яких до -
пус ти мих зна чень
α
і
β
(ко ли всі тан ген си у фор мулі ма ють зна -
чен ня).
Ðîçäië
2
126
Мал. 91
а)
б)