.

На основании формулы Эйлера:

, (3.11)

имеем:

Так как hkl - всегда целые числа, то и сумма их есть число целое и синус при любых значениях hkl будет обращаться в нуль, а косинус - принимать значение . Если сумма индексов - число четное, то косинус равен + 1, а величина Е2F, но, если сумма - нечетная, то косинус равен -1, а ЕF(1-1)0.

Таким образом, для объемноцентрированной ячейки отражающими будут только те плоскости, у которых сумма h+k+l есть число четное;

3) Решетка гранецентрированная. На элементарную ячейку приходится 4 атома с координатами базиса , , и .

С учетом упрощений предыдущего случая, формула для расчета суммарной амплитуды примет вид:

.

Если все индексы hkl одновременно четные или нечетные, то все 3 суммы h+k, k+l и h+l будут также четными, а все три конуса - положительными, так, что

.

Если один из индексов четный, а остальные нечетные, или один нечетный, а два четные, то, очевидно, один из конусов будет положительным, а два других - отрицательными, так что

.

Поэтому для отражения лучей от гранецентрированной решетки применимо правило, согласно которого отражающими будут только те плоскости, у которых вое индексы четные или все нечетные.

Все вышеперечисленные правила действуют при условии, что рассеивающая способность атомов базиса одинакова. Но, а если в сложной решетке часть атомов базиса занято другими атомами с иной рассеивающей способностью, то в этом случае сложная решетка ведет себя как примитивная, то есть практически все плоскости будут отражающими, только суммарная амплитуда может быть для некоторых плоскостей очень малой.

Теперь вновь обратимся к рассмотрению случая расчета количества линий на рентгенограмме, но уже с учетом правил погасаний (1 – 3). Для железа в кобальтовом излучении можно записать индексы отражающих плоскостей по табл. 3.1.

	1	2	3	4	5
Приметивная	(100)	(110)	(111)	(200)	(210)
ОЦК	—	(110)	—	(200)	—
ГЦК	—	—	(111)	(200)	—
	6	7	8	9	10
Примет.	(211)	—	(220)	(300)	(310)
ОЦК	(211)	—	(220)	—	(310)
ГЦК	—	—	(220)	—	—

Таблица 3.1 – Индексы отражающих плоскостей железа в кобальтовом излучении.

Из таблицы 3.1 следует, что правила погасания для ОЦК и ГЦК - решеток резко уменьшает количество отражающих плоскостей.

Тепловой фактор интенсивности отраженных рентгеновских лучей учитывает влияние теплового движения атомов на интерференцию волн рассеяния от кристалла. Величина теплового фактора W может быть определена по формуле:

, (3.12)

где - интенсивность линии (hkl) при температуре больше 0К;

- интенсивность линии (hkl) при температуре абсолютного нуля, когда атомы условно не совершают тепловых колебаний.

---

Тепловой фактор интенсивности интерференционных линий при различных температурах рассчитывают по формуле:

(3.13)

где - показатель степени, учитывающий среднеквадратичные смещения атомов при тепловых колебаниях .

С повышением температуры амплитуда колебаний атомов возрастает, атомные плоскости становятся волнистыми, межплоскостные расстояния непрерывно изменяются, а, следовательно, изменяется и разность фаз между лучами, в результате чего максимального усиления лучей при отражении уже не будет. Чем больше несовершенств в кристаллической решетке, тем меньше будет интенсивность интерференционных линий. Как увидим в дальнейшем, этот вывод имеет большое значение для оценки несовершенства строения решетки.

Из формулы 3.13 также видно, что тепловой фактор зависит от угла отражения и длины волны используемого излучения. С увеличением угла отражения и с уменьшением длины волны линии становятся менее интенсивными, фактор W уменьшается.

У веществ с высокой температурой плавления и значительными силами связи (W, Mo и др.) тепловой фактор велик, а рентгенограммы, получаемые с этих металлов, отличаются высоким качеством, отсутствием фона и контрастностью. В то же время у легкоплавких веществ (органические вещества) тепловой фактор оказывается очень малым, что сильно ослабляет линии, делая большинство из них практически неразличимыми.

Угловой фактор учитывает зависимость интенсивности линий от угла отражения. Эта зависимость определяется тем, что падающий пучок рентгеновских лучей отражается от атомных плоскостей кристалла не только под математически точным углом Вульфа-Брэгга, но и в некотором интервале углов .С увеличением угла отражения интенсивность как бы рассредоточивается на интервал углов, линия размывается, а интенсивность попадает.

Исследования показали, что для поликристаллических веществ угловой фактор будет выражаться следующей формулой:

. (3.14)

Если учесть еще фактор частичной поляризации луча и особенности схемы съемки образцов, то используют комплексный угловой фактор PLG . Численно этот фактор может быть вычислен по формуле:

, (3.15)

где Р - поляризационный фактор,

L - фактор Лоренца, чисто - угловой фактор.

G - геометрический фактор (схема съемки).

Обычно используют специальные таблицы для расчета фактора PLG .

Фактор повторяемости P учитывает число эквивалентных плоскостей дающих отражение под одним углом. Например, в кубической решетке расчет угла отражения проводится по известной формуле:

,

где величина , а зависит от , следовательно, если взять семейство плоскостей {200} ,то конкретных плоскостей, которые будут давать одинаковый угол отражения будет - 6. Это следующие плоскости: (200), (020), (002), , , . Действительно, в формуле сумма индексов квадратичная, поэтому одинаковый угол отражения будет как для плоскостей с положительными, так и с отрицательными индексами.

---

Фактор повторяемости - Р зависит от индексов плоскости, вида сингонии, метода исследования. Так, для кубических кристаллов максимальный фактор повторяемости для (hkl) равен 48, а минимальный для (h00) - 6. Для тетрагональной сингонии 16 и 2 соответственно.

Абсорбционный фактор , учитывает изменение интенсивности отраженных лучей вследствие их поглощения в образце. Этот фактор определяется по следующему отношению:

, (3.16)

где - интенсивность отражения от плоскости hkl для реального поглощения излучения;

- интенсивность отражения излучения от плоскости hkl, для идеального вещества , без поглощения.

Абсорбционный фактор зависит от величины коэффициента поглощения исследуемого вещества, формы образца, длины пути прохождения рентгеновского излучения в нем. Так, с увеличением угла отражения уменьшается путь луча в веществе и, следовательно, абсорбционный фактор возрастает. Тепловой же фактор ведет себя полностью наоборот: с ростом угла отражения он уменьшается.

Сводная формула интегральной интенсивности отраженных лучей представляет собой произведение всех факторов:

, (3.17)

где к - коэффициент, объединяющий все постоянные величины (число элементарных ячеек в объеме, длину волны, рассеивающую способность электрона и др.).

Прием перемножения всех конкретных факторов связан с вероятностным характером действия каждого из них, а из теории известно, что вероятность сложного события представляет собой произведение вероятностей частных событий.

4 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА

В этом разделе рассмотрим сущность 3-х основных методов рентгеновского исследования атомно-кристаллического строения вещества.

Первый метод называется по имени его создателя - методом Лауэ. Этот метод используется для решения первой задачи исследования всякого неизвестного вещества: определение элементов симметрии его кристаллической решетки и выбор системы координат. Здесь монокристаллический образец помещается в специальную камеру, где производится съемка на плоскую пленку рентгенограммы в сплошном спектре излучения трубки. По рентгенограмме устанавливается наличие осей симметрии, выбирается система координат для описания кристаллической решетки.

Второй метод носит название метода вращения, то есть метода, основанного на получении рентгенограммы в характеристическом спектре излучения с вращающегося монокристаллического образца. Фотографическая пленка располагается в цилиндрической кассете специальной камеры. Этим методом рассчитывают периоды идентичности атомных рядов, ориентированных вдоль оси вращения образца, измеряют периоды кристаллической решетки исследуемого вещества, определяют тип решетки и находят объем ее элементарной ячейки.

Таким образом, первый и второй методы решают фундаментальную задачу оценки параметров атомно-кристаллического строения вещества. А третий метод - метод Дебая - Шерерра решает все остальные задачи прикладного анализа поликристаллических веществ. Здесь оценивается фазовый состав, измеряются макро и микронапряжения, анализируются текстуры и особенности деформированного и отожженного состояния вещества. Этим методом выполняются 95% всех исследований.

---

Рассмотрим сущность каждого из вышеназванных методов.

0. МЕТОД ЛАУЭ

Если на небольшой кусочек монокристалла (I мм³)направить узкий пучок рентгеновских лучей, а за кристаллом, перпендикулярно к падающему на кристалл лучу, поставить плоскую фотопластинку или пленку, то на ней можно обнаружить после экспонирования и фотообработки темные пятна, так называемые рефлексы-следы пересечения отраженных лучей с пленкой. Однако в том случае, если используется рентгеновский луч монохроматического излучения, на рентгенограмме может не быть ни одного рефлекса, а для луча полихроматического (сплошной спектр) вся рентгенограмма будет «усеяна» рефлексами. В чем же причина такого результата?

Обратимся к схеме съемки (рис. 4.1). Как было указано ранее, монокристалл в камере находится в неподвижном состоянии.

где Тр – рентгеновская трубка;

Щ – щели;

К – кристалл;

Г – гониометрическая головка;

Р – рентгенограмма.

Рисунок 4.1 – Схема съемки по методу Лауэ.

Следовательно, луч, идущий от трубки, падает на атомные плоскости кристалла под некоторым постоянным углом. В том случае, если используется излучение характеристического спектра ( ) эти углы встречи атомных плоскостей с лучом могут не удовлетворять условию Вульфа - Брэгга, поэтому вероятность отражения от них будет достаточно малой. На рентгенограмме не будет рефлексов, или они будут в очень малом количестве. Другое дело, когда используется полихроматическое излучение. Здесь практически любому углу встречи луча с атомной плоскостью всегда найдется такая длина волны, которая удовлетворит условию Вульфа - Брэгга. То есть, в уравнении Вульфа - Брэгга переменной будет длина волны и это определит условие интерференции лучей от монокристалла:

, .

В камере Лауэ (рис. 4.1) монокристалл укреплен в держателе Г, который можно поворачивать, изменяя наклон кристалла по отношению к падающему рентгеновскому лучу. Сам механизм наклона кристалла в держателе осуществляется с помощью так называемой гониометрической головки. Головка имеет специальные шкалы с насечкой делений углов, что дает возможность поворачивать кристалл на известные углы в двух направлениях.

Теперь представим себе, что мы взяли монокристалл, например, каменной соли, (NaCl) и поставили его таким образом, что грань кристалла оказалась перпендикулярной падающему лучу. Для упрощения схемы, уподобим наш монокристалл его элементарной ячейке, как показано на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 – Схема отражения лучей от атомных плоскостей зоны С(Z).

Направим на кристалл узкий пучок рентгеновских лучей сплошного спектра. Будем наблюдать за формированием картины интерференции отраженных лучей от системы плоскостей параллельных одному общему направлению, так называемой оси зоны. Для ориентировки кристалла на рис. 4.2 осью зоны будет направление [001], то есть направление, в котором определяется параметр решетки и существует семейство плоскостей {hkl} параллельных оси Z.

---

Рентгеновские лучи встречаются с этим семейством плоскостей и в спектре излучения для каждой из них находится соответствующая длина волны, удовлетворяющая условию Вульфа - Брэгга. Все рефлексы от этого семейства располагаются по прямой влево от центрального пятна, прошедшего через кристалл луча. Плоскости, имеющие малый угол встречи луча, дадут рефлексы в непосредственной близости от пятна 0, те, у которых угол больше, будут отодвигаться влево.

Семейство плоскостей {hkl} той же зоны С создает рефлексы справа от пятна 0 на линии, являющейся продолжением левой системы рефлексов. Вверх по прямой от пятна 0 будут располагаться рефлексы от семейства {0kl} вниз – { }.

Таким образом, наличие у решетки оси четвертого порядка приведет к образованию симметричной картины рефлексов на рентгенограмме.

В том случае, если ось зоны не перпендикулярна направлению падающего луча, а составляет с ней некоторый угол , то такие же углы образуются и с каждой плоскостью зоны. Эти плоскости образуют своеобразный «веер», который можно мысленно заменить процессом поворота одной плоскости вокруг оси зоны. Тогда от плоскостей «веера» к пленке направится конус лучей, образующий на ней эллипс, как это видно из схемы рис. 4.3.

Рисунок 4.3 – Схема образования зонального конуса от вращающейся плоскости.

Здесь конус отраженных лучей будет направлен от центра 0 - точки, образованной скользящим вдоль плоскости лучом. Исходя из того, что в монокристалле параллельно оси зоны атомные плоскости расположены не непрерывно, то на рентгенограмме (лауэграмме) получается не сплошной эллипс, а система пятен – рефлексов.

Если пятна-рефлексы лежат на пересечении двух эллипсов, то это означает их одновременную принадлежность двум зонам.

На лауэграмме может быть несколько эллипсов, что свидетельствует о наличии в кристаллической решетке осей n-го порядка. Так, например, две взаимно перпендикулярные оси симметрии [101] и [ ] дают на рентгенограмме два эллипса (рис. 4.4).

Рисунок 4.4 – Схема ориентировки осей симметрии 2-го порядка (а) и вид лауэграммы кристалла (б).

Оси симметрии 4-го порядка проявляют себя на рентгенограмме в 4-х пересекающихся эллипсах (рис. 4.5).

Таким образом, по количеству эллипсов на лауэграмме можно судить о наличии в решетке осей симметрии n-го порядка. Поворачивая кристалл в гониометрической головке, можно

Рисунок 4.5 – Схема ориентировки оси 4-го порядка (а) и вид лауэграммы кристалла (б).

определить количество осей симметрии каждого порядка Например, в кубической решетке может быть 3 оси 4-го порядка, 4 оси 3-го и 6 осей 2-го порядка. Эти оси для кубической решетки показаны на рис. 4.6.

Рисунок 4.6 – Расположение осей 4-го, 3-го и 2-го порядков в кубической решетке.

Каждый рефлекс на лауэграмме представляет собой след пересечения отраженного луча от пакета плоскостей (hkl) и фотопленки. Определить индексы плоскостей, давших рефлексы на рентгенограмме, весьма сложно, так как неизвестна длина волны излучения в условии Вульфа-Брэгга - . Тем не менее, провести индицирование рентгенограммы возможно, но для этого необходимы специальные приемы.

---

Смотрите также файлы

• Теория вероятностей в заданиях и решениях.doc

• Инновационный мкенеджмент.doc

• 2011ЭВарМУ Стратан ФН-07заоч.doc

• Микроэкономика 1часть.doc

• Документ Microsoft Word.doc