Файл: Роль установок, мотивации и эмоциональных реакций в протекании когнитивных процессов.pdf

6.2. Логика и практика (технологии) в древних цивилизациях.

Технологии – это то, чему обучается ребенок в процессе своей практической жизнедеятельности в современной жизни: пользоваться электричеством, телефоном, современный мир не мыслим без компьютера, потом от будет изучать профессиональные технологии, выучится и получит водительские права, научится пользоваться электробритвой (а вовсе не каменным топором, как древний человек). И все же в своей основе, исторически изменяясь, технологии сохраняют некий общий принцип, идущий от функции, на выполнение которой они направлены. Иначе обстоит дело с математическими технологиями. Когда исчезает тот аппарат, с помощью которого они были добыты, то «формулы» повисают как бы сами по себе, «с неба», учитель говорит, что «надо делать то-то по этим формулам». Так утверждает себя дедуктивный метод, и остро стоит вопрос, как же включить сюда конкретно-чувственную практику. Этот вопрос остро стоит в философии.

В греческой античности изначально существовал подход к логике как к «Божественной науке» (по Платону, сам Разум, νους проявляет себя в математике, а человек, занимаясь математикой, постигает Божественное). А математика у греков − это геометрия, восходящая к «измерению неба», прежде всего для нужд мореплавания (сначала измерение углов с помощью «гномонов», и т.д.^[5]), так как земледелие, наблюдение и учет сезонных природных циклов были не так актуальны, как в Египте или Вавилоне. Современный философ Р.Рорти иронично упоминает, что греческая математика началась с «измерением земли», но это как раз не так. Измерения земли дали начало не греческим математическим технологиям, а египетским, где существовали совсем другие способы вычисления [11]. Смешение этого факта приводит неточностям аргументации в дискуссиях об общих понятиях. «Измерение неба» привело греков к выводам о неизменности и постоянстве бытия, к удивлению, с которого, по словам древних, началась философия – это удивление перед звездным небом: «как это происходит, что проходят века, а звезды неизменно встают в одно и то же положение!» Это не скептический вопрос эмпиризма «наступит ли завтра», это удивление перед неизменностью, вечностью и совершенством Божественной «механики мира»!

Как мы уже сказали, технологии измерения земли были развиты в Египте, причем, сложные вычисления были связаны с правом наследования участков земли после кончины одного из родственников. Эти участки пересчитывались определенным образом. Можно дать ученику подобную шутливую задачу о вычислении определенной доли площади земельного участка, особенно если он неправильной формы, предложить ему самому найти эвристические способы ее решения.

6.3. Декарт и алгебраические технологии.

«Небесная геометрия» − это первый уровень формализации практических технологий. С гелиоцентрической системой, принятой научным сообществом к середине XVII века, а также с появлением новых, боле совершенных телескопов прежние практические технологии измерений углов утратили актуальность, и описывающие их технологические (геометрические) схемы стали абстрактными моделями , которые Декарт, Лейбниц и Ньютон преобразовали в алгебраические модели, или функции (какие операции можно и нужно совершать исходя из логики алгебраического понятия), вследствие чего эти модели полностью утратили геометрическую наглядность "действия". Алгебраический − это второй уровень формализации. Конечно, если имеется технология второго уровня,

Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Например, все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Этот геометрический «анахронизм» был вскоре отброшен учениками Декарта, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём. Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге ("Диоптрика" 1637), открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам. В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых.

Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Сказанное лишний раз демонстрирует, как «работают» технологии: если они эффективны, то нет нужды выяснять, откуда они вышли. Функция, по сути, есть обобщенная модель технологии, но модель второго уровня, так как оперирует с, в свою очередь, смоделированными объектами. Функция может быть применена к функции и т.д. (как только мы применяем технологию удвоения, дальше следует бесконечность).

6.4. Почему в математике древних греков появилась геометрическая формулировка?

Почему в греческой античности появилась геометрическая формулировка? Что помешало грекам попросту перенять вавилонскую алгебру, вместо того чтобы облекать ее в геометрическую форму? Почему они были до такой степени привержены ко всему осязае­мому и зримому, что, совершенно отвернувшись от чисел, занялись исключительно фигурами?

Бесспорно, основной движущей силой греков являлось чувство восхищения тем, что можно было видеть. Эту мысль можно поддержать и на уроках истории (межпредметные связи), развивая эстетические чувства учащихся, предлагая и на уроках истории и на уроках математики изображенная прекрасных произведений античного искусства.

Но все-таки эстетического наслаждения зримым еще недостаточно для того, чтобы можно было полностью исключить алгебру. Мы должны помнить, что, по надежному свидетельству Евдема, именно пифагорейцы заложили основания геометрической алгебры. Но ведь для пифагорейцев числа были «неколебимым основанием всей вселенной», мир был создан «в подражание числам», а небеса были для них «числовой гармонией». И, как говорит Аристотель («Метафизика», I, 5), эти взгляды сформировались у них именно по той причине, что они занимались математикой. Неужели же эти поклонники чисел решали квадратные уравнения не в числах, но обязательно при помощи отрезков и площадей, только из-за своей влюбленно­сти в зримое? Поверить этому трудно, должна существовать какая-то иная причина для геометризации алгебры.

На самом деле, найти эту причину нетрудно: это было открытие иррациональности, которое, как говорит нам Папп, действительно, было сделано в пифагорейской школе. Диагональ квадрата несоиз­мерима с его стороной. Но ведь это значит, что при выборе сто­роны квадрата в качестве единицы длины диагональ его не может быть измерена; ее длина не может быть выражена не только целым числом, но даже и дробью.

Мы в настоящее время говорим, что длина диагонали выра­жается «иррациональным числом» ]/2, и чувствуем свое превос­ходство над бедными греками, которые «не знали, что такое ирра­циональные числа». Однако греки знали очень хорошо иррацио­нальные отношения. Как мы увидим далее, они имели очень ясное представление об отношении диагонали к стороне квадрата и были в состоянии совершенно безукоризненно доказать, что это отношение не может быть выражено в целых числах. И если они не рассматривали ]/2 как число, то это было результатом не их неве­дения, но только того, что они строго держались своего опреде­ления числа. «Arithmos» обозначает количество, а следовательно, и целое число. Логическая строгость не позволяла им допускать даже дробей, и они заменяли их отношением целых чисел.

Для вавилонян же каждый отрезок и каждая площадь пред­ставляли собой просто-напросто число. Они даже и не задумыва­лись, когда приходилось площадь прямоугольника сложить с его основанием. Когда они не могли точно извлечь квадратный корень, то спокойно удовлетворялись приближением. Инженеры и есте­ствоиспытатели во все времена поступали точно так же. Но для греков имело значение точное знание, «диагональ в самой своей сущности», как выражает это Платон, а не допустимое прибли­женное значение.

Уравнение х² = 2 не может быть разрешено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно вполне разре­шимо в области прямолинейных отрезков: действительно, его ре­шением является диагональ квадрата со стороной, равной еди­нице. Следовательно, для того чтобы получить точное решение квадратного уравнения, нам надлежит из области чисел перейти в область геометрических величин. Геометрическая алгебра приложима также и к иррациональным отрезкам и, тем не менее, является точной наукой. Следовательно, не только наслаждение зримым, но и логическая необходимость заставила пифагорейцев преобразовать их алгебру в геометрическую форму.

6.5. Астролябия

Интересным «практическим делом» для школьников может быть самостоятельное изготовление астролябии, как в 5-м, так и в 6-м классе, в зависимости от изучаемого математического материала. В основном найденные астролябии относятся к XIII веку, а этот период изучается в курсе истории 6-го класса. И в то же время существуют свидетельства, что Евдокс (а по другим источникам – Апполоний) изобрел какой-то астрономический ин­струмент –«арахну» (по-гречески «паука»), который внешне и по способу действий с ним сильно напоминает средневековую астролябию.

Астро­лябия – астрономический инструмент, который был в большом ходу у арабов и персов. Одна из таких астролябий—великолепный образчик персидского ма­стерства, относящийся к 1223 году —изображена на рисунке 7. По­движной диск, немного напоминающий паука, представляет часть этого прибора; в греческих сочинениях об этом инструменте он так и называется «арахной». На арахис мы видим эксцентрический круг, изображающий эклиптику и несущий несколько стрелок-указателей, которые носят имена ярких неподвижных звезд. Весь «паук» есть не что иное, как «стереографическая проекция» части неба, т. е. центральная проекция из южного полюса на экватори­альную плоскость. Можно заставить прибор воспроизводить суточ­ное вращение неподвижных звезд; это достигается вращением «паука» в кольце, которое его окружает.

Под пауком можно видеть вынимающуюся пластинку, на которой выгравированы круги. Один из них изображает горизонт, а дру­гие—параллельные горизонту круги, соответствующие различным высотам. Все эти круги изображены в стереографической проекции; стереографическая проекция круга всегда является тоже кругом. При использовании инструмента на других географических широ­тах эту пластинку необходимо заменить другой.

Астролябия дает возможность решать многие задачи. Так, например, произведя наблюдение высоты звезды или Солнца, поворачивают паука, пока стрелка-указатель с именем этой звезды или точка эклиптики, соответствующая данному положению Солн­ца, не совпадут с кругом наблюденной высоты. Таким образом, можно определить время днем или ночью.

Рис. 4. Персидская астролябия, построенная около 1223 п. э. Мохаммедом ар-Рагппди (сейчас находится в Оксфордском музее истории пауки). Внешнее кольцо разделено на 360 градусов. Диск, просверленный в различных местах («паук»), вращается в этом кольце. Острия «паука» указывают звезды, эксцентрический круг представляет эклиптику. «Паук» может вращаться, подражая суточному вращению небесной сферы. Угол поворота, а следовательно, и соответствующее время могут быть отсчитаны па кольце. Под «пауком» видна пластинка, на которой начерчены круги (их будет 30 только на верхней половице), представляющие горизонт и параллельные круги, соответствующие раз­личным высотам. Эта пластинка не поворачивается при вращении «паука». При на­блюдении высоты звезды (или Солнца) вращают паука, пока изображающая данную звезду стрелка-указатель не ляжет на линию, соответствующую наблюденном высоте. К задней части прибора прикреплен диоптр для наблюдений высоты. Когда прибором не пользуются, его подвешивают вертикально за колечко. Прибор представ­ляет греческое изобретение: он основан на принципе стереографической проекции.

6.6. «Небесная механика».

Этот дополнительный материал может быть интересным для учащихся 6 класса, когда на уроках истории они изучают Средние века и общие представления о религии, игравшей большую роль в средневековом мировоззрении. Во-первых, интересна сама история перехода математического аппарата с геоцентрической модели на гелиоцентрическую, и та роль, которую сыграли в этом вопросе великие астрономы Тихо Браге, Дж. Бруно, И. Кеплер, Г. Галилей, Дж. Борелли и др. Они вели тщательные наблюдения за звездным небом и пытались отобразить движения небесных тел с помощью тех формул, которые были созданы греками (система Птоломея). Тихо Браге - совершенно потрясающий астроном, и хотя в то время еще не был создан телескоп, точность предсказания планет у него была просто фантастическая. Он собрал огромный свод таблиц с данными по положению звезд на небе.