Файл: Правовая статистика - пособие.pdf

5.2 Виды средних величин

81

¯

X

= ∑

nf

∑ f

,

где n — варианты и f — веса. Это и есть формула средней арифметической взвешенной.

Для правильного вычисления необходимо знать вес (частоту) возрастных при-

знаков, т. е. сколько человек каждой возрастной группы находится в изучаемой
совокупности.

Средние арифметические находят самое широкое применение при анализе пра-

вонарушений, результатов деятельности по социальному контролю над ними.

Средняя гармоническая

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Средняя гармоническая — отношение числа вариантов признака
к сумме обратных значений.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Она исчисляется по формуле:

¯

X

гapм

=

n

∑

1

x

,

где x — отдельные варианты, n — их число.

Средняя гармоническая применяется для анализа хозяйственной деятельности.

Средняя геометрическая

Вычисляется для установления средних показателей темпов роста рядов дина-

мики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Средняя геометрическая используется, как правило, в тех случа-
ях, когда индивидуальные значения признака представлены в виде
относительных цепных показателей динамики (темпов роста), по-
строенных на основе отношения каждого уровня в ряду динамики
к предыдущему уровню.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В правовой статистике этот вид средней применяется при изучении динами-

ки преступности, раскрываемости преступлений, судимости, числа правонаруши-
телей, заключенных, оправданных, динамики общего числа гражданских дел, удо-
влетворенных и неудовлетворенных исков, а также изменяющихся во времени пра-
вовых и других юридически значимых явлений и процессов.

Однако в чистом виде динамика правовых явлений (преступности, ее отдель-

ных видов и других юридически значимых явлений) в геометрической прогрессии,
т. е. когда каждый последующий уровень ряда приблизительно равен предыдуще-
му, умноженному на некоторое постоянное число, называемое знаменателем про-
грессии, наблюдается достаточно редко.

82

Глава 5. Средние величины и их применение

Средняя геометрическая исчисляется путем извлечения корня степени n из

произведений отдельных значений признака:

¯

X

g

=

n

√

Π

x

,

где X

g

— средняя геометрическая, n — число значений признака,

Π — знак перемно-

жения.

На практике вычисление средней геометрической производится с помощью

логарифмов по преобразованной формуле.

Мода и медиана

Структурные средние являются особым видом средних величин, их значение

имеет какой-либо определенный средний вариант в вариационном ряду. Струк-
турные средние применяются для изучения структуры распределения значений
признака и являются, в отличие от степенных средних, конкретными характери-
стиками. К этому виду средних относятся мода и медиана.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Мода (Mo) — значение признака (вариант), встречающееся с наи-
большей вероятностью в совокупности или в вариационном ря-
ду [1].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Другими словами, мода — это вариант, который чаще всего встречается в кон-

кретной совокупности.

К моде (Мо) прибегают для выявления величины признака, имеющей наиболь-

шее распространение (цена на рынке, по которой было совершено наибольшее
число продаж данного товара, номер обуви, пользующийся спросом у покупате-
лей). Мода чаще всего используется в совокупностях большой численности.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Медиана (Me) — вариант, который находится в середине ранжи-
рованного (упорядоченного) ряда, расположенного в определенном
порядке — по возрастанию или по убыванию вариантов.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Медиана делит вариационный ряд на две равные части: со значениями призна-

ка меньше медианы и со значениями признака больше медианы. По обе стороны
от медианы находится одинаковое число единиц совокупности [1].

Если всем единицам ранжированного ряда несгруппированных данных при-

дать порядковые номера, то нахождение медианы сведется к определению поряд-
кового номера медианы, который рассчитывается по формуле:

N

Me

=

n

+ 1

2

,

где n — число членов ряда.

5.3 Способы расчета показателей вариации

83

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для нахождения медианы в интервальном ранжированном ря-
ду необходимо сначала определить медианный интервал. Меди-
анный интервал определяется по кумулятивной частоте (накоп-
ленная сумма частот), которая является последовательной суммой
всех предыдущих частот, начиная с первого интервала с наимень-
шим значением признака. Общая сумма накопленных частот равна
общей сумме частот ряда (общему числу всех значений признака).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Медианный интервал определяется тем, что его кумулятивная частота равна

или превышает полусумму всех частот ряда.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Выводы

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Значения моды и медианы обычно отличаются от значения средней, совпадая

только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Меди-
ана, в отличие от средней, не зависит от крайних или характерных для совокуп-
ности значений признака. На практике мода и медиана, как правило, являются до-
полнительными характеристиками совокупности к средней арифметической. При
использовании вместе они дополняют друг друга, позволяя оценить асимметрию
ряда распределения.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Способы расчета показателей вариации

Средние величины дают обобщающую характеристику варьирующего призна-

ка совокупности, но не показывают, насколько однородна изучаемая совокупность,
как располагаются возле средней индивидуальные значения (варианты) признака.

Различия в значениях признака у разных единиц совокупности за один и тот

же период (момент) времени называется в правовой статистике вариацией.

В целях установления показательности и типичности средней рассчитываются

показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней,
или другими словами, показатели вариации. К показателям вариации относятся:
размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратиче-
ское отклонение, коэффициент вариации.

Самый простой показатель вариации признака — размах вариации (R). Он рас-

считывается как разность между максимальным и минимальным значениями при-
знака:

R

= X

max

− X

min

.

Однако размах вариации отражает только крайние отклонения признака и не

указывает, насколько велики отклонения от среднего значения всех вариантов в ва-
риационном ряду. Более точной характеристикой вариации признака является сред-
нее линейное отклонение.

84

Глава 5. Средние величины и их применение

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой сумму взве-
шенных по частоте отклонений отдельных значений признака (по
абсолютной величине) от их средней арифметической:

¯d

=

∑ ∣x − ¯x∣ f

∑ f

,

где f — веса (частота повторения одинаковых значений признака);
∑ f — сумма частот вариационного ряда.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для несгруппированных данных формула будет иметь следующий вид:

¯d

=

∑ ∣x − ¯x∣

n

,

где n — число членов ряда.

Причем отклонение вариантов от их средней арифметической всегда берется

по модулю (иначе в числителе всегда будет ноль).

Более точными характеристиками вариации признаков являются дисперсия

и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия признака (

σ

2

) — средний квадрат отклонений отдельных значений

признака от их средней величины. В зависимости от того, как представлены ис-
ходные данные, применяются следующие формулы:

σ

2

=

∑(x − ¯x)

2

n

для несгруппированных данных,

σ

2

=

∑(x − ¯x)

2

f

∑ f

для сгруппированных данных.

Среднее квадратическое отклонение (

σ) равно корню квадратному из диспер-

сии и показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения призна-
ка от их средней величины.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат наилучшим спосо-

бом проверки однородности совокупности. Чем меньше их значение, тем однород-
нее совокупность и тем типичнее характеризующая ее средняя величина. Так как
среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что
и значения признака, то на практике оно лучше поддается интерпретации.

Применение дисперсии и среднего квадратического отклонения получило до-

статочно широкое распространение в правовой статистике. Они используются для
обоснования ошибки репрезентативности (ошибки выборки) при проведении вы-
борочного наблюдения, широко применяемого в социально-правовых обследова-
ниях.

Контрольные вопросы по главе 5

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для сравнения вариаций различных признаков (таких как вариа-
ции стажа работы следователей и их следственной нагрузки, воз-
раста преступников и их срока наказания и т. д.), а также для
сравнения вариации одного и того же признака в различных со-
вокупностях (например, возраста преступников в различных реги-
онах) применяют относительный показатель вариации — коэффи-
циент вариации (V ).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

=

σ

x

⋅ 100%,

где

σ — среднее квадратическое отклонение; x — средняя арифметическая.

Коэффициент вариации используется не только для сравнительной оценки, но

и для характеристики однородности совокупности по варьирующему признаку. Со-
вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по главе 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1) Что представляет собой средняя величина?

2) Что представляет собой средняя гармоническая?

3) Напишите формулу, по которой исчисляется средняя геометрическая.

4) Что такое мода?

5) Для чего служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение?