Файл: Primenenie_metodov_statisticheskogo_analiza_Kucherenko_V_Z.pdf

4.  Решить ситуационные задачи.
5. Выполнить задание в курсовой работе, сделать соответствующие

выводы.

БЛОК ИНФОРМАЦИИ

168

1. Определение 

регрессии

2. Определение 

коэффициента ре-
грессии 

3. Формула 

коэффициента 
регрессии

Регрессия

— это функция, позволяющая по

средней величине одного признака определить
среднюю величину другого признака, корреля-
ционно связанного с первым.
С этой целью применяется коэффициент рег-
рессии и целый ряд других параметров.
Например, можно рассчитать число простуд-
ных заболеваний в среднем при определенных
значениях среднемесячной температуры возду-
ха в осенне-зимний период.

Коэффициент регрессии 

— абсолютная величи-

на, на которую в среднем изменяется величина
одного признака при изменении другого, свя-
занного с ним признака, на установленную еди-
ницу измерения.

Ry/x = rxy

×

(

σ

y/

σ

x), 

где Ry/x — коэффициент регрессии;
rxy

— коэффициент корреляции между при-

знаками х и у;
(

σ

y и 

σ

x) — среднеквадратические отклонения

признаков х и у.
В нашем примере rxy  = — 0,96 (коэффициент
корреляции между изменениями среднемесяч-
ной температуры в осенне-зимний период — х 
и средним числом инфекционно-простудных 
заболеваний — у);

σ

x = 4,6 (среднеквадратическое отклонение

температуры воздуха в осенне-зимний период;

σ

y = 8,65 (среднеквадратическое отклонение

числа инфекционно-простудных заболеваний).

Таким образом, Ry/x = –0,96 х (4,6/8,65) =

1,8, т.е. при изменении среднемесячной темпе-
ратуры воздуха (х) среднее число инфекционно-
простудных заболеваний (у) в осенне-зимний
период будет изменяться в 1,8 случаев.

169

4. Уравнение 

регрессии

5. Назначение 

уравнения 
регрессии

6. Сигма регрессии

(формула)

y = My + Ry/x (x – Mx), 

где: y —средняя величина признака, которую

следует определять при изменении сред-
ней величины другого признака (x);

x — известная средняя величина другого

признака;

Ry/x — коэффициент регрессии;

Mx , My — известные средние величины при-

знаков х и у.

Например, среднее число инфекционно-про-
студных заболеваний (у) можно определить без
специальных измерений при любом среднем
значении среднемесячной температуры возду-
ха (х). Так, если х = –9, Ry/x = 1,8 заболева-
ний, Mx = –7, My = 20 заболеваний, то 
y = 20+1,8 

×

(9–7) = 20+3,6= 23,6 заболеваний.

Данное уравнение применяется в случае пря-
молинейной связи между двумя признаками 
(х и у).

Уравнение регрессии используется для постро-
ения линии регрессии. Последняя позволяет
без специальных измерений определить любую
среднюю величину (у) одного признака, если
меняется величина (х) другого признака.
По этим данным строится график — 

линия 

регрессии

, по которой можно определить сред-

нее число простудных заболеваний при любом
значении среднемесячной температуры в пре-
делах между расчетными значениями числа
простудных заболеваний.

σ

Ry/x = 

σ

у 1 – rxy

2 , 

где 

σ

Ry/x — сигма (среднеквадратическое от-

клонение) регрессии;

σ

у

— среднеквадратическое отклонение

признака у;

rху

— коэффициент корреляции между при-

знаками х и у.

Так, если 

σ

у — среднеквадратическое откло-

нение числа простудных заболеваний = 8,65,

√

170

7. Назначение 

сигмы 
регрессии

8. Данные, 

необходимые 
для расчета 
и графического
изображения
шкалы регрессии.

9. Последователь-

ность расчетов 
и графического
изображения
шкалы 
регрессии

а rху — коэффициент корреляции между чис-
лом простудных заболеваний (у) и среднеме-
сячной температурой воздуха в осенне-зимний
период (х) равен — 0,96, то

σ

Ry/x = 8,65 

×

1 – (–0,96)2 = 

= 8,65 

×

1 – 0,92 = 8,65 

×

0,08 =

= 8,65 

×

0,28 = 2,42

Дает характеристику меры разнообразия ре-
зультативного признака (у).
Например, характеризует разнообразие числа
простудных заболеваний при определенном
значении среднемесячной температуры возду-
ха в осеннне-зимний период. Так, среднее
число простудных заболеваний при температу-
ре воздуха х

1

= –6° может колебаться в преде-

лах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
При х

2

= –9° среднее число простудных забо-

леваний может колебаться в пределах от 21,18
заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.
Сигма регрессии используется при построении
шкалы регрессии, которая отображает откло-
нение величин результативного признака от
среднего его значения, отложенного на линии
регрессии.

а) коэффициент регрессии — Ry/x ;
б) уравнение регрессии — y = My + Ry/x (x –
Mx);
в) сигма регрессии — 

σ

Ry/x .

а) определить коэффициент регрессии по

формуле (см. п. 3 блока информации).

Например, следует определить, насколько 
в среднем будет меняться масса тела (в опреде-
ленном возрасте в зависимости от пола), если
средний рост изменится на 1 см.

√

√

√

171

10. Практическое ис-

пользование
шкалы 
регрессии

б) по формуле уравнения регрессии (см. п. 4

блока информации) определить, какой 
будет в среднем, например, масса тела (у

1

,

у

2

, у

3

* (для определенного значения роста

(х

1

, х

2

, х

3

).

При этом средние значения массы тела 

и роста (Mx, и My) для определенного возрас-
та и пола известны.
в)  вычислить сигму регрессии, зная соответст-

вующие величины 

σ

у и rху и подставляя их

значения в формулу (см. п. 6 блока инфор-
мации).

г)  на основании известных значений х

1

, х

2

, х

3

и соответствующих им средних значений у

1

,

у

2

, у

3

, а также наименьших (у — 

σ

Ry/x) 

и наибольших (у + 

σ

Ry/x) значений (у) 

построить шкалу регрессии.

Для графического изображения шкалы рег-

рессии на графике сначала отмечаются значе-
ния х

1

, х

2

, х

3

(ось ординат), т.е. строится линия

регрессии, например, зависимости массы тела
(у) от роста (х).

Затем в соответствующих точках у

1

, у

2

, у

3

отмечаются числовые значения сигмы регрес-
сии, т.е. на графике находят наименьшее 
и наибольшее значения у

1

, у

2

, у

3

.

Разрабатываются нормативные шкалы 
и стандарты, в частности, по физическому
развитию. По стандартной шкале можно дать
индивидуальную оценку развития детей 
и подростков.

При этом физическое развитие оценивает-

ся как 

гармоничное

, если, например, при оп-

ределенном росте масса тела ребенка нахо-
дится в пределах одной сигмы регрессии 
к средней расчетной единице массы тела —
(у) для данного роста (х) 

(у ± 1 

σσ

Ry/x)

.

*

Величину “у” следует рассчитывать не менее чем для трех известных зна-

чений “х”.

172

ЗАДАЧА-ЭТАЛОН

По результатам статистического исследования физического разви-

тия мальчиков 5 лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а
средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между
ростом и массой тела составляет + 0,9, средние квадратические откло-
нения представлены в таблице.

Требуется:

1)  рассчитать коэффициент регрессии;
2)  по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса

тела мальчиков 5 лет при росте, равном х

1

= 100 см, х

2

= 110 см,

х

3

= 120 см;

3)  рассчитать сигму регрессии, построить шкалу регрессии и предста-

вить результаты ее решения в графическом виде;

4) сделать соответствующие выводы.

Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной

таблице. Этапы расчетов представлены в табл. 37.

Физическое развитие считается 

дисгармонич-

ным

по массе тела, если масса тела ребенка для

определенного роста находится в пределах вто-
рой сигмы регрессии  

(у ± 2 

σσ

Ry/x)

.

Физическое развитие будет резко дисгармо-
ничным как за счет избыточной, так и за счет
недостаточной массы тела, если масса тела для
определенного роста находится в пределах тре-
тьей сигмы регрессии 

(у ± 3 

σσ

Ry/x

).

Рост, см 109 ± 4,4 +0,9 0,16

100

17,56 ± 0,35

17,21

17,91

(х)

Масса 

тела, кг

(у)

Таблица 37

Условия задачи

Результаты решения задачи

уравнение 

регрессии

М

σσ

r

ху

σσ

R

y/x

у — 

σσ

Ry/x

у + 

σσ

Ry/x

R

y/x

x, см y, кг

сигма

рег-

рессии

шкала регрессии

(ожидаемая масса

тела, кг)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

19 ±0,8 

110 19,16 

18,81

19,51

120 20,76 

20,41

21,11