Файл: Primenenie_metodov_statisticheskogo_analiza_Kucherenko_V_Z.pdf

Обоснование выбора метода.

Для решения задачи выбран метод ква-

дратов (Пирсона), так как каждый из признаков (жесткость воды и ко-
личество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

РЕШЕНИЕ

Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты пред-

ставлены в таблице. Построив вариационные ряды из парных сопос-
тавляемых признаков, обозначить их через 

х

(жесткость воды 

в градусах) и через 

у

(количество кальция в воде в мг/л).

158

Жесткость воды 

Количество кальция в воде

(в градусах)

(в мг/л)

4

28

8

56

11

77

27

191

34

241

37

262

Таблица 35

1

2

3

4

5

6

7

Жесткость Количество 

воды кальция

(в градусах)

в воде

(в мг/л)

4

28

–16

–114

1824

256

12996

8

56

–12

–86

1032

144

7396

11

76

–9

–66

594

81

4356

27

190

+7

+48

336

49

2304

34

240

+14

+98

1372

196

9604

36

262

+16

+120

1920

256

14400

M

x

= 

∑

x /n

M

у

= 

∑

у /n

∑

d

x

×

d

y

= 

∑

d

x

2

∑

d

y

2

=

=7078

= 982

51056

M

x

=120/6

M

у

= 852/6

=20

= 142

d

x

d

y

d

x

××

d

y

d

x

2

d

y

2

1.  Определить средние величины Mx в ряду вариант 

х

и Mу в ряду ва-

риант 

у

по формулам: Mx = 

∑

x /n (графа 1) и Mу = 

∑

у /n (графа 2).

2.  Найти отклонение (dx и dy) каждой варианты от величины вычис-

ленной средней в ряду «х» и в ряду «у» 

dx = x — Mx (графа 3) и dу = у — Mу (графа 4).

3.  Найти произведение отклонений dx

×

dу и суммировать их: 

∑

dx

×

dу

(графа 5).

4.  Каждое отклонение dx и dy возвести в квадрат и суммировать их

значения по ряду «х» и по ряду «у»: 

∑

dx

2 = 982 (графа 6) и 

∑

dу

2 =

51056 (графа 7).

5. Определить произведение 

∑

dx

2

× ∑

dy

2 и из этого произведения 

извлечь квадратный корень   (

∑

dx

2

× ∑

dy

2)=  (982 

×

51 056).

6. Полученные величины 

∑

(dx

×

dy) и     (

∑

dx

2

× ∑

dy

2) подставляем 

в формулу расчета коэффициента корреляции:

rxy= = = 

= 

= 

+0,99.

7. Определить достоверность коэффициента корреляции:

1-й способ.

Найти ошибку коэффициента корреляции (mrxy) и кри-

терий t по формулам:

mrxy = ± 

= ± 

=     0,0025 = ±0,05

t = 

= 20

Критерий t = 20, что соответствует вероятности безошибочного

прогноза р> 99,9%.

2-й способ.

Достоверность коэффициента корреляции оценивается по
таблице «Стандартные коэффициенты корреляции» (см.
приложение 1). При числе степеней свободы (n — 2) = 
6 — 2 = 4 наш расчетный коэффициент корреляции rxy =
+0,99 больше табличного (rтабл. = + 0,79 при р = 99%).

Вывод:

связь между количеством кальция в воде и ее жесткостью

прямая, сильная и достоверная

(rxy = + 0,99, р > 99,9%).

159

√

√

√

∑

d

x

× ∑

d

y

(∑

d

x

2

× ∑

dy

2

) 

√

7078

(

982 

×

51056) 

√

7078

50136992

√

7078

7080,7

√

1 – 0,99

6 – 2

√

0,001

4

√

0,99

0,005

ЗАДАЧА-ЭТАЛОН

на применение рангового метода

Задание: 

методом корреляции рангов установить направление и си-

лу связи между стажем работы в годах и числом травм, если получены
следующие данные:

Обоснования выбора метода: для решения задачи может быть 

выбран только метод ранговой корреляции, так как первый ряд при-
знака «стаж работы в годах» имеет открытые варианты (стаж работы до
1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установле-
ния связи между сопоставляемыми признаками более точный метод —
метод квадратов.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты пред-

ставлены в табл. 36.

160

Стаж работы в годах

Число травм

До 1 года

24

1—2

16

3—4

12

5—6

12

7 и более

6

1

2

3

4

5

6

До 1 года

24

1

5

–4

16

1–2 16

2

4

–2

4

3–4 12

3

2,5

+0,5

0,25

5–6 12

4

2,5

+1,5

2,25

7 и более

6

5

1

+4

16

ΣΣ

d

2

= 38,5

Таблица 36

Стаж 

работы 

в годах

Чис-

ло 

травм

x

y

d

d

2

Порядковые но-

мера (ранги)

Разность 

рангов

Квадрат 

разности рангов

1. Каждый из рядов парных признаков обозначить через 

х

и через 

у

(графы 1—2).

2. Величину варианта каждого из признаков заменить ранговым 

(порядковым) номером. Порядок раздачи рангов в ряду 

х

следую-

щий: минимальному значению признака (стаж до 1 года) присвоен
порядковый номер 1, последующим вариантам этого же ряда при-
знака соответственно в порядке увеличения 2-й, 3-й, 4-й и 5-й по-
рядковые номера — ранги (см. графу 3). Аналогичный порядок со-
блюдается при раздаче рангов второму признаку 

у

(графа 4). 

В тех случаях, когда встречаются несколько одинаковых по величи-
не вариант (например, в задаче-эталоне это 12 и 12 травм при ста-
же 3—4 года и 5—6 лет), порядковый номер обозначить средним чис-
лом из суммы их порядковых номеров: так, одинаковое число травм
при разном стаже работы: 3—4 года и 5—6 лет. Эти данные 
о числе травм (12 травм) при ранжировании должны занимать 2 и 3
места, таким образом среднее число из них равно (2 + 3)/2 = 2,5.

Итак, числу травм «12» и «12» (признак у) следует раздать одина-

ковые ранговые номера — 2,5 (графа 4).
3.  Определить разность рангов d = (х — у) — (графа 5).
4.  Разность рангов возвести в квадрат (d2 ) и получить сумму квадра-

тов разности рангов 

Σ

d2 (графа 6).

5.  Произвести расчет коэффициента ранговой корреляции по форму-

ле:

ρ

ху = 1 – 

,

где n — число сопоставляемых пар вариант в ряду 

х

и в ряду 

у

.

ρ

ху = 1 – 

= 1 – 

=

= 1 – 1,92 = – 0,92

6.  Определить достоверность коэффициента ранговой корреляции. 

1-й способ

. Определить ошибку (m

ρ

xy) коэффициента ранговой корре-

ляции и оценить достоверность его с помощью критерия t:

m

ρ

xy = 

=

=     0,026 = 0,16

t = 

= 5,75

Полученный критерий t = 5,75 соответствует вероятности безоши-

бочного прогноза (р) больше 99,9% 

ρ

xy = — 0,92 ; m

ρ

xy = ±0,16 ; t = 5,75 ; р> 99,9 %

161

6

∑

d

2

n (n

2

–1)

6 

×

38,5

5 (5

2

–1)

325

5 (25 –1)

325

120

√

1 – 0,92

2

n – 2

√

0,08

3

√

0,92

0,16

162

2-й способ.

По таблице «Стандартных коэффициентов корреляции»:

при числе степеней свободы (n — 2) = 5 — 2 = 3 наш рас-
четный коэффициент корреляции 

ρ

xy

= –0,92 больше

табличного 0,878 и меньше 0,933, что соответствует веро-
ятности безошибочного прогноза больше 95% и меньше
98%. Это позволяет считать полученный коэффициент
ранговой корреляции достоверным.

Вывод: 

с вероятностью безошибочного прогноза (р) больше 95% ус-

тановлена 

обратная

, 

сильная

корреляционная связь между стажем рабо-

ты и числом травм, т.е. чем меньше стаж работы, тем больше травм. 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение функциональной и корреляционной связи.
2. Приведите примеры прямой и обратной корреляционной связи.
3.  Укажите размеры коэффициентов корреляции при слабой, средней

и сильной связи между признаками.

4.  В каких случаях применяется ранговый метод вычисления коэффи-

циента корреляции?

5.  В каких случаях применяется метод квадратов?
6. Каковы основные этапы вычисления коэффициента корреляции

ранговым методом?

7.  Каковы основные этапы вычисления коэффициента методом квад-

ратов?

8.  Как определяется достоверность коэффициента корреляции? Ука-

жите способы.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Выберите один или несколько правильных ответов

1. Укажите соответствие между видом связи и следующими примерами:

Виды связи

Примеры

1) функциональная,
2) корреляционная.

а) связь между температурой окружающей

среды и температурой тела человека;

б)  зависимость пройденного расстояния боль-

ным с бронхиальной астмой от скорости
его ходьбы, если продолжительность еже-
дневной прогулки постоянна;

в)  зависимость времени переливания больно-

му 450 мл гемодеза от скорости падения
капель при соблюдении стандартной тех-
нологии процедуры;