Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

Чтобы еще раз подчеркнуть, что я имею в виду, скажу сле­дующее: сам я часто посещаю математические семинары, на ко­торых не слежу (а иногда и не пытаюсь следить) за подробно­стями представляемых доказательств. Наверное, если бы я сел где-нибудь и обстоятельно изучил эти самые доказательства, я и в самом деле смог бы проследить за мыслью автора — хотя, возможно, это удалось бы мне лишь при наличии дополнитель­ной литературы или устных пояснений, которые восполнили бы возможные пробелы в моем образовании или же в материалах самого семинара. Я знаю, что в действительности я этого делать не стану. У меня почти наверняка не окажется на это ни време­ни, ни достаточного количества внимания, ни, впрочем, особого желания. Но при этом я вполне могу принять представленный на семинаре результат на веру по всевозможным «несущественным» причинам — например, потому что полученный результат правдоподобно «выглядит», или потому что у лектора надежная репутация, или потому что другие слушатели, которых я считаю более сведущими в таких делах, нежели я сам, этот результат оспаривать не стали. Конечно, я могу ошибиться во всех своих умозаключениях, а результат вполне может оказаться ложным — либо истинным, но никоим образом не следующим из представ­ленного доказательства. Все эти тонкости никак не влияют на ту принципиальную позицию, которую я здесь представляю. Ре­зультат может оказаться истинным и адекватно доказанным, и в таком случае я, в принципе, могу проследить за ходом всего доказательства — или же ошибочным, в каковом случае, как уже упоминалось, он нас в данном контексте не интересует (см. § 3.2 и § 3.4). Возможные исключения могут составить лишь те случаи, когда представляемый материал касается каких-либо спорных аспектов теории бесконечных множеств или опирается на какой-то необычный метод рассуждения, который может быть признан сомнительным в соответствии с теми или иными математически­ми воззрениями (что, само по себе, может заинтриговать меня до такой степени, что я впоследствии действительно попытаюсь это доказательство повторить). Как раз такие исключительные ситуации мы обсуждали выше, в комментарии к возражению Q11. Что касается подобных соображений относительно природы математической точки зрения, на практике многие математики могут и не иметь четкого представления о том, каких именно фундаментальных принципов они в действительности придержи­ваются. Однако, как уже было сказано выше, в комментарии к QI1, если математик, у которого нет определенной позиции в отношении того, следует ли принимать, скажем, некую «аксиому Q», желает проявить осмотрительность, то ничто не мешает ему изложить требующие принятия аксиомы Q результаты в следую­щем виде: «Из принятия аксиомы Q следует, что... ». Разумеет­ся, математики, несмотря на всю их пресловутую педантичность, проявляют в подобных вопросах должную осмотрительность да­леко не всегда. Нельзя отрицать и того, что время от времени им удается допускать и вовсе очевидные ошибки. И все же все эти ошибки — если они допущены по недосмотру, а не следуют из тех или иных непоколебимых принципов — являются исправимыми. (Как упоминалось ранее, возможность действительного примене­ния математиками в качестве основы для своих решений необоснованного алгоритма будет подробно рассмотрена в §3.2 и §3.4. Поскольку эта возможность не противоречит выводу , она не является предметом настоящего обсуждения.) В данном слу­чае нас не занимают исправимые ошибки, так как к вопросу о принципиальной достижимости тех или иных результатов они ни­какого отношения не имеют. А вот возможные неопределенно­сти в действительных взглядах математиков, безусловно, требуют дальнейшего обсуждения, которое и приводится ниже.

QI3. У математиков нет абсолютно определен­ных убеждений относительно обоснованности или непротиворечивости используемых ими формальных систем — как нет и однозначного ответа на вопрос о том, «пользователями» каких именно формальных систем они себя полагают. Не подвергаются ли их убеждения постепенному размыванию по мере того, как формальные системы все более удаляются от области феноменов, доступных непосредственному интуитивному или эксперименталь­ному восприятию?

И правда, нечасто встретишь математика, способного по­хвалиться прочно устоявшимися и непоколебимо непротиворе­чивыми убеждениями, когда речь заходит об основах предмета. Кроме того, по мере накопления опыта математик вполне может изменить свои взгляды относительно того, что считать неопро­вержимо истинным, если он вообще склонен считать неопровер­жимо истинным что бы то ни было. Можно ли, например, быть совершенно и полностью уверенным в том, что число 1 отлично от числа 2? Если говорить о некоей абсолютной человеческой уверенности, то не совсем ясно, можно ли подобное понятие как-то однозначно определить. Однако какую-то точку опоры все же выбрать необходимо. Вполне приемлемой точкой опоры может стать принятие в качестве неопровержимо истинной некоторой системы убеждений и принципов, от которой уже можно двигать­ся в своих рассуждениях дальше. Разумеется, нельзя забывать и о том, что многие математики вовсе не имеют определенного мнения относительно того, что именно можно считать неопро­вержимо истинным. Таких математиков я попросил бы какую-никакую опору для себя все же выбрать и просто быть готовы­ми при необходимости впоследствии ее сменить. Как показывает доказательство Гёделя, какую бы позицию математик в этом случае ни занял, ее все равно невозможно полностью уместить в рамки правил любой постижимой формальной системы (а если и возможно, то этот факт невозможно однозначно установить). И дело даже не в том, что та или иная конкретная позиция по­стоянно изменяется; система убеждений, полностью охватыва­емая рамками любой (достаточно обширной) формальной си­стемы F, неизбежно должна также простирается и за пределы доступной F области. Любая позиция, среди неопровержимых убеждений которой имеется и убеждение в обоснованности си­стемы F, должна также включать в себя и убежденность в ис­тинности гёделевского предположения G(F). Убежденность в истинности G(F) не представляет собой изменения позиции; эта убежденность уже подразумевается неявно в исходной позиции, допускающей принятие истинности формальной системы F, пусть даже поначалу это и не очевидно.

Безусловно, всегда существует возможность того, что в вы­воды, получаемые математиком на основании исходных посылок какой-либо конкретной точки зрения, закрадется ошибка. Од­на только возможность возникновения такой ошибки — даже если в действительности никакой ошибки допущено не было — может привести к уменьшению степени убежденности, которую математик питает в отношении своих выводов. Однако такое «по­степенное размывание» нас, вообще говоря, не занимает. По­добно действительным ошибкам, оно «исправимо». Более того, если доказательство было проведено действительно корректно, то чем дольше его изучаешь, тем, как правило, более убедитель­ными представляются полученные в нем выводы. «Постепенное размывание» математик может испытать на практике, но не в принципе, что возвращает нас к обсуждению возражения Q12.

Таким образом, вопрос перед нами встает здесь следующий: имеет ли место постепенное размывание в принципе, т. е. может ли математик счесть, скажем, обоснованность некоторой фор­мальной системы F неопровержимой, тогда как в обоснованности более сильной системы F* он будет лишь «практически уверен». Этот вопрос не представляется мне сколько-нибудь серьезным, коль скоро, каком бы ни была система F, мы вправе настаивать, чтобы она включала в себя обычные логические прави­ла и арифметические операции. Упомянутый выше математик, который верит в обоснованность системы F, должен также ве­рить в ее непротиворечивость, а следовательно, и в истинность гёделевского высказывания G (F). Таким образом, одни только выводы из формал4ьной системы F не могут охватывать всей сово­купности математических убеждений математика, какой бы эта система ни была.

Однако следует ли считать высказывание G(F) неопровер­жимо истинным всякий раз, когда мы признаем неопровержимо обоснованной формальную систему F? Полагаю, утвердительный ответ на этот вопрос не должен вызывать никаких сомнений; и это тем более так, если придерживаться в отношении воспро­изведения математического доказательства той «принципиаль­ной» позиции, которой мы придерживались до сих пор. Един­ственная возникающая в этой связи реальная проблема касает­ся деталей фактического кодирования утверждения «система F непротиворечива» в форме арифметического утверждения (IIi-высказывания). Сама по себе базовая идея неопровержимо оче­видна: если система F является обоснованной, то она, безуслов­но, непротиворечива. (Так как если бы она не была непротиво­речивой, то среди ее утверждений присутствовало бы утвержде­ние «1 = 2», т.е. система была бы необоснованной.) Что касается деталей этого самого кодирования, то здесь нам вновь предстоит иметь дело с различием между «принципиальным» и «практи­ческим» уровнями. Не составит особого труда убедиться в том, что такое кодирование в принципе возможно (хотя сам процесс убеждения может занять некоторое время), однако убедиться в корректном выполнении того или иного конкретного действи­тельного кодирования — дело совсем другое. Детали кодиро­вания, как правило, бывают в известной степени произвольными и в разных изложениях могут весьма значительно отличаться. Возможно, где-то закрадется незначительная ошибка или просто опечатка, которая, в формальном смысле, должна бы сделать недействительным данное конкретное предназначенное для вы­ражения «G(F)» теоретико-числовое предположение, однако в действительности этого не происходит.

Надеюсь, читатель понимает, что возможность возникнове­ния таких ошибок не существенна, когда речь заходит о том, что мы подразумеваем здесь под принятием предположения G (F) в качестве неопровержимой истины. Я, разумеется, говорю о дей­ствительном предположении G (F), а не о возможном случай­ном предположении, непреднамеренно сформулированном бла­годаря опечатке или незначительной ошибке. В этой связи мне вспоминается одна история о великом американском физике Ри­чарде Фейнмане. Фейнман, по-видимому, объяснял одному из студентов какое-то понятие, но оговорился. Когда студент выра­зил недоумение, Фейнман вспылил: «Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!».

Один из возможных способов такого явного кодирования состоит в использовании представленных еще в НРК специфика­ций машин Тьюринга и точном воспроизведении доказательства гёделевского типа, описанного в §2.5 (пример такого кодиро­вания приводится в Приложении А). Впрочем, даже и в этом случае об абсолютной «явности» говорить нельзя, поскольку нам понадобится еще и каким-то явным образом закодировать пра­вила формальной системы F в системе обозначений действий ма­шин Тьюринга; обозначим такой код, скажем, через Ту. (Код tf должен удовлетворять определенному свойству: если некоторому высказыванию Р, выводимому в рамках системы F, ставится в соответствие некоторое число р, то необходимо, скажем, чтобы равенство tf (р) — 1 выполнялось всякий раз, когда высказы­вание Р является теоремой системы F, в противном же случае вычисление Tf(p) не должно завершаться вовсе.) Безусловно, все это открывает широкий простор для формальных ошибок. Помимо возможных трудностей, связанных с практическим по­строением кода Ту на основе системы F и отысканием числа р на основе высказывания Р, отсутствует ясность и в отношении другого вопроса: а не ошибся ли я сам где-нибудь в специфи­кациях машин Тьюринга, — иными словами, можем ли мы быть полностью уверены в корректности приведенного в Приложении А этой книги кода, если вдруг решим использовать для отыска­ния вычисления Ck (k) именно это определение? Лично я думаю, что ошибок там нет, однако в собственной непогрешимости я уверен куда как меньше, нежели в первоначальных построениях Гёделя (пусть и более сложных). Впрочем, всякому дочитавшему до этого места, смею надеяться, уже ясно, что возможные ошибки подобного рода существенной роли здесь не играют. Помните, что говорил Фейнман?

Что же касается собственно моих спецификаций, следует упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною в §2.5 вариант доказательства Гёделя(-Тьюринга) опирается не на непротиворечивость системы F, а на обоснованность алго­ритма А, и являет собой критерий для установления незавершаемости вычислений (т.е. истинности ГЦ-высказываний). Этот вариант подходит нам ничуть не хуже любых других, посколь­ку известно, что из обоснованности алгоритма А следует ис­тинность утверждения о незавершаемости вычисления Ck (k), каковое явное утверждение (тоже П₁-высказывание) мы име­ем полное право использовать вместо высказывания G(F). Бо­лее того, как отмечали выше (см. §2.8), доказательство, вообще говоря, зависит не от непротиворечивости формальной систе­мы F, а от ее -непротиворечивости. Из обоснованности систе­мыF очевидно следует ее непротиворечивость, равно как и -непротиворечивость. Если допустить, что система F обоснована, то ни fi (F), ни G (F) из ее правил (см. §2.8) не следуют, однако оба эти высказывания являются истинными.

Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы «по­степенное размывание» убежденности того или иного матема­тика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности формальной системы F к убеждению в истинности высказыва­ния G(F) (или О (F)), оно будет целиком и полностью обуслов­лено возможностью ошибки в точной формулировке получен­ного им высказывания «G(F)». (To же применимо и к выска­зыванию fi(F).) Все это не имеет непосредственного отноше­ния к настоящему обсуждению — при наличии подлинной (не случайной) формулировки высказывания G (F) никакого размы­вания убежденности происходить не должно. Если формальная система F неопровержимо обоснована, то ее высказывание G (F) столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения  ( , ) остаются неизменными при условии, что под «истин­ностью» подразумевается «неопровержимая истинность».

Q14. Нет никаких сомнений в том, что формальная система ZF — или некоторая стандартная ее модификация (обозначим ее через ZF*)—действительно включает в себя все необходимое для серьезной математической деятельности. Почему бы просто не принять эту систему за основу, смириться с недоказуемостью ее непротиворечивости и продолжить свои математические изыскания?