Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

Читатели, которые знакомы с понятием канторовых транс­финитных ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел. Тем же, кто от по­добных вещей далек, не стоит беспокоиться из-за незнания точ­ного значения этих символов. Достаточно сказать, что описан­ную процедуру «гёделизации» можно продолжить и далее: мы получим формальные системы F_w<, F^s, ..., после чего придем к еще более обширной системе F_w«/, затем процесс продол­жается до еще больших ординалов, например, ш^ш" и т. д. — до тех пор, пока мы все еще способны на каждом последую­щем этапе понять, каким образом систематизировать все мно­жество гёделизации, которые мы получили на данный момент. В этом и заключается основная проблема: для упомянутых на­ми «усилий, трудов и напряжений» требуется соответствую­щее понимание того, как должно систематизировать предыду­щие гёделизации. Эта систематизация выполнима при условии, что достигаемый к каждому последующему моменту этап бу­дет помечаться так называемым рекурсивным ординалом, что, в сущности, означает, что должен существовать определенный алгоритм, способный такую процедуру генерировать. Однако ал­горитмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и которая позволила бы выполнить описанную систе­матизацию для всех рекурсивных ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует. Нам снова придется прибегать к пониманию.

Вышеприведенная процедура была впервые предложена Аланом Тьюрингом в его докторской диссертации (а опубликова­на в [367])'⁸); там же Тьюринг показал, что любое истинное Щ-высказывание можно, в некотором смысле, доказать с помощью многократной гёделизации, подобной описанной нами. (См. так­же [116].) Впрочем, воспользоваться этим для получения меха­нической процедуры установления истинности ГЦ -высказываний нам не удастся по той простой причине, что механически система­тизировать гёделизацию невозможно. Более того, невозможность «автоматизации» процедуры гёделизации как раз и выводится из результата Тьюринга. А в §2.5 мы уже показали, что об­щее установление истинности (либо ложности) ГЦ-высказываний невозможно произвести с помощью каких бы то ни было алго­ритмических процедур. Так что, в поисках систематической про­цедуры, не доступной тем вычислительным соображениям, ко­торые мы рассматривали до настоящего момента, многократная гёделизация нам ничем помочь не сможет. Таким образом, для вывода £f возражение Q19 угрозы не представляет.

••(;->Ж

Q20. Реальная ценность математического понимания состоит, безусловно, не в том, что благодаря ему мы способны выполнять невычислимые действия, а в том, что оно позволяет нам заменить невероятно сложные вычисления сравнительно простым пониманием? Иными словами, разве не правда, что, используя разум, мы, скорее, «срезаем углы» в смысле теории сложности, а вовсе не «выскакиваем» за пределы вычислимого?

Я вполне готов поверить в то, что на практике интуиция математика гораздо чаще используется для «обхода» вычисли­тельной сложности, чем невычислимости. Как-никак математи­ки по природе своей склонны к лени, а потому зачастую стара­ются изыскать всяческие способы избежать вычислений (пусть даже им придется в итоге выполнить значительно более слож­ную мыслительную работу, нежели потребовало бы собственно вычисление). Часто случается так, что попытки заставить ком­пьютеры бездумно штамповать теоремы даже умеренно слож­ных формальных систем быстро загоняют эти самые компьюте­ры в ловушку фактически безнадежной вычислительной слож­ности, тогда как математик-человек, вооруженный пониманием смысла, лежащего в основе правил такой системы, без особо­го труда получит в рамках этой системы множество интересных результатов⁽⁹⁾.

Причина того, что в своих доказательствах я рассматривал не сложность, а невычислимость, заключается в том, что только с помощью последней мне удалось сформулировать необходимые для доказательства сильные утверждения. Не исключено, что в работе большинства математиков вопросы невычислимости иг­рают весьма незначительную роль, если вообще играют. Однако суть не в этом. Я глубоко убежден, что понимание (в частности, математическое) представляет собой нечто, недоступное вычис­лению, а одной из немногих возможностей вообще подступиться ко всем этим вопросам является как раз доказательство Гёделя (—Тьюринга). Никто не отрицает, что наши математические инту­иция и понимание нередко используются для получения результатов, достижимых, в принципе, и вычислительным путем, — но и здесь слепое, не отягощенное пониманием, вычисление может оказаться неэффективным настолько, что попросту не будет работать (см. §3.26). Однако рассмотрение всех таких случаев представляется мне неизмеримо более сложным подходом, неже­ли обращение к общей невычислимости.

Как бы то ни было, высказанные в возражении Q20 сообра­жения, пусть и справедливые, все же ни в коей мере не противо­речат выводу Sf.

Примечания

1. Кому-то, возможно, покажется, что это совершенно «очевидно» и уж никак не может служить предметом спора среди математиков! Проблема, однако, существует, и возникает она в связи с понятием «существования» применительно к большим бесконечным множе­ствам. (См., например, [349], [328], [265].) На примере парадокса Рассела мы уже убедились, что в таких вопросах необходимо про­являть особую осторожность. Согласно одной точке зрения, множество не считается необходи­мо существующим, если нет четкого правила (не обязательно вы­числимого), устанавливающего, какие элементы в это множество следует включать, а какие — нет. Как раз этого правила аксиома выбора нам и не предоставляет, поскольку в ней нет правила, опре­деляющего, какой элемент следует взять из каждого множества со­вокупности. (Некоторые из следствий аксиомы выбора интуитивно не понятны и почти парадоксальны. Вероятно, в этом и состоит одна из причин возникновения разногласий по данному вопросу. Более того, я не совсем уверен, какой позиции придерживаюсь в этом отношении я сам!)

2. В заключительной главе своей книги, написанной в 1966 году, Коэн подчеркивает, что, хотя он и показал, что континуум-гипотеза яв­ляется НЕРАЗРЕШИМОЙ в рамках процедур системы ZF, вопрос о том, является ли она действительно истинной, был оставлен им без внимания, — и выдвигает некоторые предположения отно­сительно того, каким образом этот вопрос можно действительно решить\ То есть Коэн, со всей очевидностью, не считает, что выбор между принятием или непринятием континуум-гипотезы есть пред­мет абсолютно произвольный. Это расходится с нередко выска­зываемым относительно следствий из результатов Гёделя—Коэна мнением, суть которого сводится к тому, что существуют многочис­ленные «альтернативные теории множеств», для математики в рав­ной степени «справедливые». Такие замечания свидетельствуют о том, что Коэн, подобно Гёделю, является подлинным платонистом, для которого вопросы математической истины ни в коем случае не произвольны, но абсолютны. Очень похожих взглядов придержи­ваюсь и я, см. §8.7.

3. См., например, [201], [37].

4. См., например, различные комментарии, приведенные в Behavioral and Brain Sciences, 13 (1990), 643-705.

5. Терминология была предложена Хофштадтером в [201]. Согласно «другой» теореме Гёделя — так называемой теореме о полноте, — подобные нестандартные модели существуют всегда.

6. Вообще говоря, это зависит от того, какие именно утверждения считать частью так называемой «евклидовой геометрии». Если пользоваться обычной терминологией логиков, то система «евклидовой геометрии» включает только утверждения некоторого частного вида, причем оказывается, что истинность или ложность этих утвер­ждений можно определить с помощью алгоритмической процедуры, отсюда и утверждение, что евклидову геометрию можно описать с помощью формальной системы. Однако в других интерпретациях обычная «арифметика» тоже могла бы считаться частью «евклидовой геометрии», что допустило бы классы утверждений, которые невозможно разрешить алгоритмическим путем. То же самое про­изошло бы, если бы мы рассмотрели задачу о замощении плоскости полиомино как составляющую евклидовой геометрии, что, казалось бы, вполне естественно. В этом смысле описать геометрию Евклида формально ничуть не проще, чем арифметику!

7. См. комментарий М.Дэвиса в [73].

8. См. также [230], [231] и [162].

9. О некоторых проблемах, с которыми сталкивались компьютерные системы, пытавшиеся самостоятельно «делать математику», можно прочесть у Д. Фридмана [123]. Отметим, что в общем случае такие системы не слишком преуспели. Они по-прежнему остро нуждают­ся в помощи человека.