Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

Полагаю, такая точка зрения весьма и весьма распростра­нена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не слишком углубляется в фундаментальные основы или филосо­фию своего предмета. Подобное отношение вполне естественно для людей, главной заботой которых является просто хорошее выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в действительности такие люди крайне редко выражают свои результаты в рамках строгих правил формальных систем, по­добных ZF). Согласно этой точке зрения, математика имеет де­ло лишь с тем, что можно доказать или опровергнуть в рам­ках некоей конкретной формальной системы — такой, напри­мер, как ZF (или какая-либо ее модификация ZF*). С высоты такой позиции математическая деятельность и в самом деле на­поминает своего рода «игру». Назовем ее ZF-игрой (или ZF*-игрой), причем играть в эту игру следует в соответствии с пра­вилами, установленными в рамках данной системы. Такой подход характерен для формалиста, подлинный же формалист мыслит исключительно в терминах ИСТИННОГО и ЛОЖНОГО, которые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их повсе­дневном смысле. Если формальная система обоснованна, то все, что является ИСТИННЫМ, и будет истинным, а все, что ЛОЖ­НО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказывания, формализуемые в рамках данной системы, которые, будучи ис­тинными, не являются ИСТИННЫМИ, и другие, которые, буду­чи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными словами, в обо­их случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗРЕШИМЫМИ. Если система ZF непротиворечива, то в ZF-игре гёделевское высказывание G (ZF) и его отрицание ~ G (ZF) принадле­жат, соответственно, к этим двум категориям. (Более того, ока­жись система ZF противоречивой, то и высказывание G(ZF), и его отрицание ~ G(ZF) были бы истинными и ложными одновременно!)

ZF-игра, судя по всему, представляет собой исключитель­но разумный подход, позволяющий реализовать большую часть того, что нас интересует в обычной математике. Однако по при­чинам, которые обозначены выше, я совершенно не в состоянии понять, каким же образом из нее может «произрасти» реаль­ная точка зрения в отношении чьих бы то ни было математи­ческих убеждений. Ибо если кто-то считает, что с помощью «практикуемой» им математики он устанавливает исключительно подлинные математические истины — скажем, истинность IIi-высказываний, — то он должен верить и в то, что используемая им система обоснована; а если он верит в ее обоснованность, то он должен также верить в ее непротиворечивость, то есть в то, что IIi-высказывание, утверждающее истинность G (F), дей­ствительно истинно, несмотря на то, что оно НЕРАЗРЕШИ­МО. Таким образом, математические убеждения человека долж­ны включать в себя нечто, что в рамках ZF-игры невыводимо. С другой стороны, если человек не верит в обоснованность фор­мальной системы ZF, то он не может верить и в подлинную ис­тинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZF-игры. В обоих случаях сама по себе ZF-игра не в состоянии снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается математической истинности. (Это равным образом применимо к любой формальной системе ZF*.)

Q15. Выбранная нами формальная система F может и не оказаться непротиворечивой — по крайней ме­ре, мы не можем быть вполне уверены в ее непро­тиворечивости; по какому же, в таком случае, праву мы утверждаем, что высказывание G (F) «очевидно» истинно?

Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен в предыдущих обсуждениях, я полагаю, что суть того рассмот­рения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения, подобные Q15, чаще всего оказываются среди нападок на наше с Лукасом приложение теоремы Гёделя. Суть же в том, что мы вовсе не утверждаем, что высказывание G(F) непременно ис­тинно для любой формальной системы F, мы утверждаем лишь, что высказывание G (F) настолько же достоверно, насколько до­стоверна любая другая истина, получаемая применением правил самой системы F. (Вообще говоря, высказывание G (F) оказыва­ется более достоверным, нежели утверждения, получаемые дей­ствительным применением правил F, так как система F, даже будучи непротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!) Если мы верим в истинность любого утверждения Р, выводимого исключительно с помощью правил системы F, то мы должны верить и в истинность G (F), по крайней мере, в той же степени, в какой мы верим в истинность Р. Таким образом, ни одна по­стижимая формальная система F — или эквивалентный ей алго­ритм F — не может послужить абсолютно полной основой для подлинного математического познания или формирования убе­ждений. Как отмечалось в комментариях к Q5 и Q6, наше дока­зательство построено как reductio ad absurdum: мы выдвигаем предположение, что система F действительно является абсолют­ной основой для формирования убеждений; а затем показываем, что такое предположение приводит к противоречию, т. е. является неверным.

Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства какую-то конкретную систему F, хотя уверенности в том, что она обоснована, а потому непротиворечива, это нам не добавит. Впрочем, при наличии действительных сомнений в обоснован­ности системы F любой получаемый в рамках F результат Р сле­дует формулировать в виде

«высказывание Р выводимо в рамках системы F»

(или, что то же самое, «высказывание Р ИСТИННО»), избегая утверждений вида «высказывание Р истинно». Такое утвержде­ние в математическом смысле вполне приемлемо и может быть либо действительно истинным, либо действительно ложным. Со­вершенно законным образом мы можем свести все наши мате­матические высказывания к утверждениям такого рода, однако и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсо­лютных математических истинах. При случае мы можем прийти к убеждению, будто мы установили, что какое-то утверждение вышеприведенного вида является в действительности ложным, т. е. получить следующий результат:

«высказывание Р невыводимо в рамках системы F».

Такие утверждения имеют вид: «такое-то вычисление не завер­шается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию Р, алгоритм F не завершается»), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами di-высказываний. Вопрос: какие сред­ства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верим и применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть эквивалент­на всего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечи­вости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

Q16. Заключение об истинности высказывания G(F) для непротиворечивой формальной системы F мы делаем, исходя из допущения, что те символы системы F, которые, как мы полагаем, служат для представления натуральных чисел, действително представляют натуральные числа. Окажись на их месте другие числа — скажем, некие экзотические «сверхнатуральные» числа, — мы вполне могли бы обнаружить, что высказывание G(F) ложно. Откуда мы знаем, что в нашей системе F мы имеем дело с натуральными, а не со сверхнатуральными числами?

В самом деле, конечного аксиоматического способа убедить­ся в том, что «числа», о которых идет речь, и есть те самые подразумеваемые натуральные числа, а не какие-то посторон­ние «сверхнатуральные», не существует^⁵'. Однако, в некотором смысле, в этом и состоит вся суть гёделевского рассуждения. Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы F мы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа, одних лишь правил системы F будет недостаточно, чтобы определить, является ли высказывание G (F) действительно истинным или же ложным. Полагая систему F непротиворечивой, мы знаем, что в высказывании G (F) подразумевается все же наличие некоего истинного смысла. Это, однако, происходит лишь в том случае, если символы, составляющие в действительности формальное выражение, обозначаемое «G (F)», имеют подразумеваемые зна­чения. Если эти символы интерпретировать как-либо иначе, то полученная в результате интерпретация «G(F)>> вполне может оказаться ложной.

Для того чтобы разобраться, откуда берутся все эти дву­смысленности, рассмотрим новые формальные системы F* и F**, где F* получается путем присоединения к аксиомам системы F высказывания G (F), a F** — путем аналогичного присоединения высказывания ~ G (F). Если система F обоснована, то обе систе­мы F* и F** непротиворечивы (т. к. высказывание G(F) истинно, а ~ G (F) из правил системы F) вывести невозможно. При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) интерпретации символов F из обоснованности системы F следует, что система F* обоснована, а система F** — нет. Впрочем, одним из харак­терных свойств непротиворечивых формальных систем являет­ся возможность отыскания так называемых нестандартных реинтерпретаций символов таким образом, что высказывания, которые являются ложными в стандартной интерпретации, ока­зываются истинными в нестандартной; соответственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными могут быть систе­мы F и F**, а система F* обоснованной не будет. Можно вообра­зить, что такая реинтерпретация может повлиять на смысл логи­ческих символов (таких как «~» и «&», которые в стандартной интерпретации означают, соответственно, «не» и «и»), однако в данном случае нас занимают символы, обозначающие неопре­деленные числа («от», «у», «z», «ж'», «х"» и т.д.), и значения применяемых к ним логических кванторов (V, 3). В стандартной интерпретации символы «Vx» и «Эх» означают, соответственно, «для всех натуральных чисел х» и «существует такое натураль­ное число х, что»; в нестандартной же интерпретации эти симво­лы могут относится не к натуральным числам, а к числам какого-то иного вида с иными свойствами упорядочения (такие числа действительно можно назвать «сверхнатуральными», или даже «ультранатуральными», как это сделал Хофштадтер [200]).

Дело, однако, в том, что мы-то знаем, что такое на самом деле представляют собой натуральные числа, и для нас не со­ставит никакого труда отличить от каких-то непонятных сверхна­туральных чисел. Натуральные числа суть самые обыденные ве­щи, обозначаемые, как правило, символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, — С этой концепцией мы знакомимся еще в детском возрасте и легко отличим ее от надуманной концепции сверхнатурального числа (см. § 1.21). Есть что-то таинственное в том, что мы, по­хоже, и впрямь обладаем каким-то инстинктивным пониманием действительного смысла понятия натурального числа. Все, что мы получаем в этом смысле в детском (или уже взрослом) возра­сте, сводится к сравнительно небольшому количеству описаний понятий «нуля», «единицы», «двух», «трех» и т.д. («три апель­сина», «один банан» и т.п.), однако при этом, несмотря на всю неадекватность такого описания, мы как-то умудряемся постичь всю концепцию в целом. В некотором платоническом смысле на­туральные числа видятся своего рода категориями, обладающи­ми абсолютным концептуальным существованием, от нас никак не зависящим. И все же, несмотря на «человеконезависимость» натуральных чисел, мы оказываемся способны установить ин­теллектуальную связь с действительной концепцией натуральных чисел, опираясь лишь на неоднозначные и, на первый взгляд, неадекватные описания. С другой стороны, не существует ко­нечного набора аксиом, с помощью которого можно было бы провести четкую границу между множеством натуральных чисел и альтернативным ему множеством так называемых «сверхнату­ральных» чисел.

Более того, такое специфическое свойство всей совокупно­сти натуральных чисел, как их бесконечное количество, мы так­же можем каким-то образом воспринимать непосредственно, то­гда как система, действие которой ограничено точными конечны­ми правилами, не способна отличить данную конкретную беско­нечность натуральных чисел от других возможных («сверхнату­ральных») вариантов. Мы же легко понимаем бесконечность, ха­рактеризующую натуральные числа, пусть и обозначаем ее про­сто точками «...» —

«0, 1,2,3,4,5,6,...»,

либо сокращением «и т. д.»—

«ноль, один, два, три и т. д.».

Нам не нужно объяснять на языке каких-то точных правил, что именно представляет собой натуральное число. В этом смысле можно считать, что нам повезло, так как такое объяснение дать невозможно. Как только нам приблизительно укажут верное на­правление, мы тут же обнаруживаем, что уже откуда-то знаем, что это за штука такая — натуральное число!

Возможно, некоторые читатели знакомы с аксиомами Пеано для арифметики натуральных чисел (об арифметике Пеано я вкратце упоминал в §2.7), и, возможно, теперь эти читатели находятся в некотором недоумении: почему же аксиомы Пеано не да­ют адекватного определения натуральных чисел. Согласно опре­делению Пеано, мы начинаем ряд натуральных чисел с символа О и затем добавляем слева особый «оператор следования», обо­значаемый S и осуществляющий простое прибавление единицы к числу, над которым совершается действие, т. е. I определяется как SO, 2 как S1 или SSO и т. д. В качестве правил мы располагаем следующими утверждениями: если Sa=Sb, то а=Ь; и ни при ка­ком х число 0 нельзя записать в виде Sx (последнее утверждение служит для характеристики числа 0). Кроме того, имеется «прин­цип индукции», согласно которому некое свойство чисел (ска­жем, Р) должно быть истинным в отношении всех чисел п, если оно удовлетворяет двум условиям: (i) если истинно Р(п), то для всех п истинно также и Р (Sn); (ii) P (0) истинно. Сложности на­чинаются, когда дело доходит до логических операций, символы которых V и 3 в стандартной интерпретации означают, соответ­ственно, «для всех натуральных чисел...» и «существует такое натуральное число..., что». В нестандартной интерпретации смысл этих символов соответствующим образом изменяется, так что они квантифицируют уже не натуральные числа, а «числа» какого-то другого типа. Хотя математические спецификации Пе­ано, задающие оператор следования S, действительно описы­вают отношение упорядочения, отличающее натуральные числа от разных прочих «сверхнатуральных» чисел, эти определения невозможно записать в терминах формальных правил, которым удовлетворяют кванторы V и 3. Для того чтобы передать смысл математических определений Пеано, необходимо перейти к так называемой «логике второго порядка», в которой кванторы ти­па V и 3 также вводятся, но только теперь они оперируют не над отдельными натуральными числами, а над множествами (бесконечными) натуральных чисел. В «логике первого порядка» арифметики Пеано кванторы оперируют над отдельными числа­ми, и в результате получается формальная система в обычном смысле этого слова. Логика же второго порядка нам формальной системы не дает. В случае строгой формальной системы вопрос о правильности применения правил системы решается чисто ме­ханическими (т. е. алгоритмическими) способами — в сущности, именно это свойство формальных систем и послужило причиной их рассмотрения в настоящем контексте. В рамках логики второ­го порядка упомянутое свойство не работает.