Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

Многие ошибочно полагают (в духе приведенных в возра­жении Q16 соображений), что из теоремы Гёделя следует суще­ствование множества различных арифметик, каждая из которых в равной степени обоснована. Соответственно, та частная ариф­метика, которую мы, возможно, по чистой случайности избра­ли для своих нужд, определяется просто какой-то произволь­но взятой формальной системой. В действительности же теоре­ма Гёделя показывает, что ни одна из этих формальных систем (будучи непротиворечивой) не может быть полной; поэтому (как доказывается далее) к ней можно непрерывно добавлять какие угодно новые аксиомы и получать всевозможные альтернатив­ные непротиворечивые системы, которыми при желании можно заменить ту, в рамках которой мы работаем в настоящий момент. Эту ситуацию нередко сравнивают с той, что сложилась некогда с евклидовой геометрией. На протяжении двадцати одного ве­ка люди верили, что евклидова геометрия является единственно возможной геометрией. Но, когда в восемнадцатом веке сразу несколько великих математиков (таких как Гаусс, Лобачевский и Бойяи) показали, что существуют в равной степени возмож­ные альтернативы общепринятой геометрии, геометрии пришлось отступить с абсолютных позиций на произвольные. Аналогично, нередко можно услышать, будто Гёдель показал, что арифметика также представляет собой предмет произвольного выбора, при этом один набор непротиворечивых аксиом оказывается ничуть не хуже любого другого.

Однако подобная интерпретация того, что доказал Гёдель, абсолютно неверна. Согласно Гёделю, само по себе понятие фор­мальной системы аксиом не подходит для передачи даже самых элементарных математических понятий. Когда мы употребляем термин «арифметика» без дальнейших пояснений, мы подразу­меваем обычную арифметику, которая работает с обычными на­туральными числами О, 1, 2, 3, 4, ... (и, быть может, с их от­рицаниями), а вовсе не со «сверхнатуральными» числами, что бы это понятие ни означало. Мы можем, если пожелаем, иссле­довать свойства формальных систем, и это, конечно же, станет ценным вкладом в процесс математического познания. Однако такое предприятие несколько отличается от исследования обыч­ных свойств обычных натуральных чисел. В некотором отноше­нии данная ситуация весьма напоминает ту, что сложилась в по­следнее время с геометрией. Изучение неевклидовых геометрий интересно с математической точки зрения, да и сами геометрии имеют ряд важных областей применения (например, в физике, см. НРК, глава 5, особенно рис. 5.1 и 5.2, а также §4.4), но, когда термин «геометрия» используется в обычном языке (в отличие от жаргона математиков или физиков-теоретиков), подразумевает­ся, как правило, обычная евклидова геометрия. Однако имеется и разница: то, что логик может назвать «евклидовой геометрией», действительно можно определить (с некоторыми оговорками^) через определенную формальную систему, тогда как обычную «арифметику», как показал Гёдель, определить таким образом нельзя.

Гёдель доказал не то, что математика (в особенности ариф­метика) — это произвольные поиски, направление которых опре­деляется прихотью Человека; он доказал, что математика — это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но откры­вать (см. § 1.17). Мы открываем, что такое натуральные числа и без труда отличаем их от любых сверхнатуральных чисел. Гёдель показал, что ни одна система «искусственных» правил не способ­на сделать это за нас. Такая платоническая точка зрения была существенна для Гёделя, не менее существенной она будет и для нас в последующих рассуждениях (§8.7).

Q17. Допустим, что формальная система F предна­значена для представления тех математических истин, что, в принципе, доступны человеческому ра­зуму. Не можем ли мы обойти проблему невозмож­ности формального включения в систему F гёделевского высказывания G (F), включив вместо него что-либо, имеющее смысл G(F), воспользовавшись при этом новой интерпретацией смысла символов системы F?

Определенные способы представления примененного к F гёделевского доказательства в рамках формальной системы F (до­статочно обширной) действительно существуют, коль скоро но­вый, реинтерпретированный, смысл символов системы F пола­гается отличным от исходного смысла символов этой системы. Однако если мы пытаемся таким образом интерпретировать си­стему F как процедуру, с помощью которой разум приходит к тем или иным математическим выводам, то подобный подход являет­ся не чем иным, как шулерством. Если мы намерены толковать мыслительную деятельность исключительно в рамках системы F, то ее символы не должны изменять свой смысл «на полпути». Если же мы принимаем, что мыслительная деятельность может содержать что-то помимо операций самой системы F — а именно, изменение смысла символов, — то нам необходимо знать и пра­вила, управляющие подробным изменением. Либо эти правила окажутся неалгоритмическими, и это сыграет в пользу 'S, либо для них найдется какая-то конкретная алгоритмическая проце­дура, и тогда нам следовало бы изначально включить эту про­цедуру в нашу систему «F» — обозначим ее через F⁺ — с тем, чтобы она представляла собой полную совокупность процедур, обусловливающих наши с вами понимание и проницательность, а значит, необходимости в изменении смысла символов не воз­никло бы вовсе. В последнем случае вместо гёделевского вы­сказывания G(F) из предыдущего рассуждения нам предстоит разбираться уже с высказыванием G(F⁺), так что ничего мы в результате не выигрываем.

Q18. Даже в такой простой системе, как арифметика Пеано, можно сформулировать теорему, интерпретация которой имеет следующий смысл: «система F обоснована» следовательно «высказывание G (F) истинно». Разве это не все, что нам нужно от теоремы Гёделя? Значит, теперь, полагая обоснованной какую угод­но формальную систему F, мы вполне можем по­верить и в истинность ее гёделевского высказыва­ния — при условии, разумеется, что мы готовы при­нять арифметику Пеано, разве не так?

Подобную теорему⁽⁷⁾ действительно можно сформулировать в рамках арифметики Пеано. Точнее (поскольку мы не можем в пределах какой бы то ни было формальной системы должным образом выразить понятие «обоснованности» или «истинности», как это следует из знаменитой теоремы Тарского), мы, в сущно­сти, формулируем более сильный результат:

«система F непротиворечива» следовательно «высказывание G (F) истинно»,

либо иначе:

«система F -непротиворечива» следовательно «высказываниеf2 (F) истинно».

Из этих высказываний следует вывод, необходимый для Q18, по­скольку если система F обоснована, то она, разумеется, непроти­воречива или омега-непротиворечива, в зависимости от обстоя­тельств. Понимая смысл присутствующего здесь символизма, мы и в самом деле можем поверить в истинность высказывания G (F) на основании одной лишь веры в обоснованность системы F. Это, впрочем, мы уже приняли. Если понимать смысл, то действитель­но возможно перейти от F к G (F). Сложности возникнут лишь к том случае, если нам вздумается исключить необходимость ин­терпретаций и сделать переход от F к G (W) автоматическим. Будь это возможно, мы смогли бы автоматизировать общую про­цедуру «гёделизации» и создать алгоритмическое устройство, ко­торое действительно будет содержать в себе все, что нам нужно от теоремы Гёделя. Однако такой возможности у нас нет — захоти мы добавить эту предполагаемую алгоритмическую процедуру в какую угодно формальную систему F, выбранную нами в каче­стве отправной, в результате просто-напросто получилась бы, по сути, некоторая новая формальная система F", а ее гёделевское высказывание G'(F^tJ) оказалось бы уже за ее рамками. Таким образом, согласно теореме Гёделя, какой-то аспект понимания всегда остается «за нами», независимо от того, какая доля его оказалась включена в формализованную или алгоритмическую процедуру. Это «гёделево понимание» требует постоянного со­отнесения с действительным смыслом символов какой бы то ни было формальной системы, к которой применяется процедура Гёделя. В этом смысле ошибка Q18 весьма похожа на ту, что мы обнаружили, комментируя возражение Q17. С невозможностью автоматизации процедуры гёделизации также тесно связаны рас­суждения по поводу Q6 и Q19.

В возражении Q J 8 присутствует еще один аспект, который стоит рассмотреть. Представим себе, что у нас есть обоснован­ная формальная система Н, содержащая арифметику Пеано. Те­орема, о которой говорилось в Q18, окажется среди следствий системы Н, а частным ее примером, применимым к конкретной системе F (т. е., собственно, Н), будет теорема системы Н. Таким образом, можно сформулировать один из выводов формальной системы И:

«система H обоснована» следовательно «высказывание G (H) истинно»;

Или точнее, скажем так

«система Н непротиворечива» следовательно «высказывание G(Н) истинно».

Если говорить о реальном смысле этих утверждений, то из них, в сущности, следует, что высказывание G (H) также утверждает­ся системой. А так как (что касается первого из двух вышеприве­денных утверждений) истинность любого производимого систе­мой Н утверждения, во всяком случае, обусловлена допущением, что система И обоснована, то получается, что если система Н утверждает нечто, явно обусловленное ее собственной обосно­ванностью, то она вполне может утверждать это напрямую. (Из утверждения «если мне можно верить, то X истинно» следует более простое утверждение, исходящее из того же источника: «X истинно».) Однако в действительности обоснованная фор­мальная система Н не может утверждать истинность высказы­вания б? (И), что является следствием ее неспособности утвер­ждать собственную обоснованность. Более того, как мы видим, она не может включать в себя и смысл символов, которыми опе­рирует. Те же факты годятся и для иллюстрации второго утвер­ждения, причем в этом случае ко всему прочему добавляется и некоторая ирония: система Н не способна утверждать собствен­ную непротиворечивость лишь в том случае, если она действи­тельно непротиворечива, если же формальная система непро­тиворечивой не является, то подобные ограничения ей неведо­мы. Противоречивая формальная система Н может утверждать (в качестве «теоремы») вообще все, что она в состоянии сформу­лировать! Она вполне может, как выясняется, сформулировать и утверждение: «система Н непротиворечива». Формальная систе­ма (достаточно обширная) утверждает собственную непротиво­речивость тогда и только тогда, когда она противоречива!.

QI9. Почему бы нам просто не учредить процеду­ру многократного добавления высказывания G (F) к любой системе F, какой мы в данным момент поль­зуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?

Когда нам дана какая-либо конкретная формальная систе­ма F, достаточно обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (F) в ка­честве новой аксиомы и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений в последующем изложении систему F можно так­же обозначить через fq.) Теперь мы можем добавить к систе­ме fi высказывание G(Fi), получив в результате новую систе­му ¥2, также, предположительно, обоснованную. Повторив дан­ную процедуру, т. е. добавив к системе F2 высказывание G (F₂), получим систему fs и т. д. Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему ¥_ш, аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для F все бесконечное мно­жество высказываний {G (F₀), G (Fi), G (F₂), G (F₃), ...}. Оче­видно, что система ¥_ш также будет обоснованной. Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе ¥_ш добавляется выска­зывание G(F_W), в результате чего получается система F_w+1, к которой затем добавляется высказывание G (F_w+i), что дает си­стему ¥_ш+2, и т.д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему ¥_ш2 (= ¥_ш+ш), включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней высказывания G (F^), получим систему F_w2+i и т. д., а потом по­строим новую систему F_w3(= ¥_ш2+ш}, включив в нее опять-таки бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы сможем получить формальную систему ¥_ш±, после следующего повтора — систему ¥_ш5 и т. д. Еще чуть-чуть потру­диться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже это множество новых аксиом {G (F^), G (F^), G (F_w3), G (F^), ...} в новую формальную систему ¥_шз(= ¥_шш). Повторив всю про­цедуру, мы получим новую систему ¥_шг_+шз, затем — систе­му ¥_Ш2_+Ш2_+Ш2 и т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как связать все это вместе (разумеется, и на этот раз не без неко­торого напряжения умственных способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей системе ¥_шз, которая также должна быть обоснованной.