Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму воз­можность того, что математики действуют (не зная о том) в рам­ках системыкоторая является, по существу, необоснованной. К этому вопросу я еще вернусь в §3.4, пока же (в пределах данно­го раздела) будем полагать, что на самом деле процедуры, лежа­щие в основе математического понимания, целиком и полностью обоснованны. При данных обстоятельствах, если мы продолжаем настаивать на том, что все правила действия нашей формальной системыс конечным набором аксиом безоговорочно истинны, нам остается лишь признать, что противоречие действительно имеет место. Следовательно, среди правил действия системыдолжно быть по крайней мере одно правило, обоснованность ко­торого не может неопровержимо установить ни один математик (хотя в действительности это правило является обоснованным).

Все вышеприведенные рассуждения опирались на то до­пущение, что система задается конечным набором аксиом. В качестве возможного альтернативного решения можно пред­положить, что количество аксиом в системебесконечно. От­носительно этой возможности необходимо сделать некоторые комментарии. Для того чтобы системуможно было опреде­лить как формальную в требуемом смысле — т. е. как систему, в рамках которой всегда можно однозначно установить (посред­ством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры), что предполагаемое доказательство того или иного положения действительно является доказательством в соответствии с пра­вилами системы, — необходимо, чтобы ее бесконечный набор аксиом можно было выразить каким-то конечно определяемым образом. Вообще говоря, всегда допускается некоторая свобода в отношении выбора конкретного способа представления фор­мальной системы, в соответствии с которым операции системы определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так, стандартная аксиоматическая система теории множеств — си­стема Цермело—Френкеля (обозначаемая здесь как) — вклю­чает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых по­средством структур, называемых «схемами аксиом». Путем соот­ветствующего переформулирования системуможно выразить таким образом, что количество действительных аксиом станет конечным). Более того, действуя определенным образом, такое можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «фор­мальной» в требуемом нами вычислительном смысле.

Может создаться впечатление, что вышеприведенное рас­суждение (целью которого является исключение из списка воз­можных вариантов случаяприменимо к любой (обоснованной) системевне зависимости от того, конечно или бесконечно ко­личество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы мо­жем ввести новые правила действия, которые могут оказаться не столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в со­ответствии с вышеизложенными соображениями, времена, когда нам станут известны все аксиомы и правила действия системы (при этом также предполагается, что все теоремы этой гипоте­тической системы в точности совпадают с теоремами, которые в принципе доступны человеческим пониманию и интуиции), мы никоим образом не можем быть уверены в принципиальной воз­можности неопровержимого установления обоснованности пра­вил действия такой системыв отличие от ее аксиом (даже если эти правила действительно являются обоснованными). Дело в том, что, в отличие от аксиом, правила действия не принадлежат к теоремам формальной системы. Мы же полагаем, что неопро­вержимо установить можно лишь обоснованность теорем си­стемы

Не совсем ясно, возможно ли продолжить данное рассужде­ние, оставаясь при этом в рамках строгой логики. Если мы пола­гаем справедливой возможностьто нам приходится признать, что существует некая формальная система(на основании ко­торой человек постигает истинность-высказываний), целиком и полностью понимаемая математиками, обладающая конечным набором аксиом, справедливость которых не вызывает никаких сомнений, и конечной системой правил действиякоторая, впрочем, содержит по крайней мере одну операцию, полагаемую фундаментально сомнительной. Каждая отдельно взятая теоре­ма системынеизбежно оказывается утверждением, истинность которого может быть неопровержимо установлена, — что, соб­ственно говоря, удивительно, учитывая тот факт, что многие из этих теорем выводятся с помощью сомнительных правил систе­мыКроме того, хотя математик и может (в принципе) уста­новить истинность каждой из упомянутых теорем в отдельно­сти, единообразной процедуры для этого не существует. Мож­но ограничить область рассмотрения теми теоремами системы которые представляют собой-высказывания. Применяя со­мнительную систему правилмы можем вычислительным спо­собом сгенерировать перечень тех-высказываний, справедли­вость которых может быть однозначно установлена математика­ми. В конечном счете, человек, воспользовавшись пониманием и интуицией, оказывается способен установить справедливость каждого из этих-высказываний в отдельности. Однако в каж­дом конкретном случае для такого установления применяются методы рассуждений, существенно отличающиеся от правила с помощью которого было получено данное-высказывание. Раз за разом нам приходится добавлять в систему все новые, все более изощренные плоды человеческого разума — с тем, чтобы можно было неопровержимо доказать истинность каж­дого последующего-высказывания. Словно по волшебству, истинными оказываются все-высказывания, впрочем истин­ность некоторых из них можно установить лишь после привле­чения какого-либо фундаментально нового метода рассуждения, причем необходимость в этом возникает вновь и вновь, на все более глубоких уровнях. Более того, любое-высказывание, неоспоримую истинность которого можно установить — причем неважно, каким методом, — оказывается уже включенным в тот самый перечень, который мы сгенерировали ранее с помощью системы правилНаконец, существует еще и особое истин­ное-высказываниекоторое явным образом выводится из знания формальной системыоднако истинность которого не может быть неопровержимо установлена ни одним матема­тиком. В лучшем случае, математик сможет понять, что истин­ностьнепосредственно обусловлена обоснованностью со­мнительной системы правил действиякоторая, по всей види­мости, обладает некоей чудесной способностью определять, ис­тинность каких именно II1-высказываний может быть неопро­вержимо установлена человеком.

Могу себе представить, что кому-то все это, возможно, по­кажется не совсем бессмысленным. Ко многим своим выводам математики приходят на основании предпосылок, которые можно назвать «эвристическими принципами» — такой принцип не дает непосредственного доказательства предполагаемого вывода, однако дает основания ожидать, что истинным неизбежно ока­жется именно такой вывод. Собственно доказательство может быть получено и позднее, причем совершенно иными методами. Мне, однако, представляется, что подобные эвристические прин­ципы имеют на деле очень мало общего с нашей гипотетической системой правилВ сущности, такие принципы способны лишь углубить наше сознательное понимание причин, в соответствии с которыми оказывается истинным тот или иной математический вывод. Впоследствии, в результате более серьезной разработки соответствующих математических методов, часто становится вполне ясно, почему именно сработал тот или иной эвристиче­ский принцип. В большинстве же случаев вполне проясняется лишь один вопрос: при каких именно обстоятельствах данный эвристический принцип гарантированно работает, а при каких — нет; иначе говоря, если не соблюдать известной осторожности, можно прийти к весьма и весьма ошибочным выводам. Если же осторожность соблюдена, сам такой принцип становится чрезвы­чайно мощным и надежным инструментом математического до­казательства. Он не снабдит вас сверхъестественно достовер­ной алгоритмической процедурой для установления справедли­вости-высказываний, причины успешного функционирования которой будут принципиально недоступны человеческому пони­манию, вместо этого он предоставит средства для углубления ва­шего математического понимания и усиления вашей же интуиции. А в этом, согласитесь, есть нечто, в корне отличное от алгорит­ма (или формальной системы), описанного в соответствии с возможностью Более того, никто никогда и не предлагал эвристического принципа, позволившего бы сгенерировать в точ­ности все-высказывания, истинность которых может быть од­нозначно установлена математиками.

Разумеется, из всего этого вовсе не следует, что упомянутый алгоритм(гипотетическая машина Гёделя для доказательства теорем) является логически невозможным; однако, с позиции на­шего математического понимания, вероятность существования такой машины представляется исключительно малой. Во всяком случае, в настоящее время ни у кого пока нет ни малейшего пред­положения относительно возможной природы подобного алго­ритма, равно как нет и никаких намеков на его действительное существование. Он может существовать, в лучшем случае, в ка­честве гипотезы — причем гипотезы недоказуемой. (Ее дока­зательство будет равносильно ее опровержению!) Мне думается, что со стороны любого из сторонников идеи ИИ (независимо от того, принадлежит он к лагерю ) является в высшей степени безрассудным возлагать какие бы то ни было надежды на отыскание такой алгоритмической процедуры (обобщенной здесь в виде алгоритма), само существование которой крайне сомнительно, а точное построение (существуй она в действитель­ности) едва ли по силам любому из ныне живущих математиков или логиков.

Можно ли допустить, что подобный алгоритмвсе же су­ществует и, более того, может быть получен с помощью до­статочно сложных вычислительных процедур восходящего типа? В, в рамках обсуждения случаяя приведу серьезные логические доводы, убедительно демонстрирующие, что ни одна из познаваемых восходящих процедур не в состоянии привести нас к алгоритмудаже если бы он и в самом де­ле существовал. Таким образом, можно заключить, что в каче­стве сколько-нибудь серьезной логической возможности нельзя рассматривать даже «гёделеву машину для доказательства тео­рем» — если, конечно, не допустить, что в основе всего матема­тического понимания в целом лежат некие «непознаваемые меха­низмы», природа которых, увы, не оставляет поборникам ИИ ни единого шанса.

Прежде чем мы перейдем к обещанному более подробному обсуждению случая, необходимо разобраться до конца со слу­чаем— здесь остается еще одна альтернатива, суть которой заключается в том, что фундаментальная алгоритмическая про­цедура(или формальная система) может оказаться необос­нованной (случай, как мы помним, такой лазейки не допускал). Может ли быть так, что математическое понимание человека представляет собой эквивалент некоего познаваемого алгоритма, который в основе своей ошибочен? Рассмотрим эту возможность подробнее.

3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом?

Допустим, что в основе математического понимания и в са­мом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены в том, что наши математи­ческие представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем, где мы исключили возможность нашего зна­ния о том, что некая системаи в самом деле является необос­нованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется по­вторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью Можно ли считать действительно правдоподобным предположе­ние о том, что фундаментом для наших неопровержимых мате­матических убеждений служит некая необоснованная система -настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным ма­тематическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку матема­тические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания.

Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятно­го в том, что какие-то современные общепринятые математиче­ские суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспо­римыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противо­речия. Возможно, они даже сошлются на тот знаменитый пара­докс (о «множестве множеств, которые не являются элементами самих себя»), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опублико­вать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражениюи НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [126]):

Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более

нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения

сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бу­маге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела...

Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допус­кают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне ис­правимой. Разве мы не убедились (вкомментарий к) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рас­суждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и влишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообще­ства. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность кото­рых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадле­жат к категории принципиальных вопросов, разве нет? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражениюпоскольку теперь у нас есть формальная си­стема, которая, возможно, лежит в основе нашего математи­ческого понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — ко­торые может допустить отдельный математик, рассуждая в рам­ках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упу­щение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаклю­чений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт на­личия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречиво­сти установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фун­даменте собственные системы.