Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

100

ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Соотношения

(67)

выражают

скорости в

момент

окончания

взаимодействия

в центральной

системе через

орт п'

и скорости

в момент начала взаимодействия в исходной

системе. Для того

чтобы найти

аналогичные соотношения для

скоростей v\ и 1)'.г

в исходной

системе,

надо добавить к правым частям соотноше-

ний

(67) переносную

скорость,

т. е.

скорость центра инерции.

Таким образом,

,

Шу

, |

ШуУt-[-т2р2

*~~

т,+т2

'

m7+m^

взаимодействия, полностью

определить скорости в момент его

окончания,

осталось

лишь

найти

орт

я' . Вспомним, однако, что рассматри-

вается

временное

взаимодействие в за-

даче двух тел,

и

поэтому

задача

сво-

дится к изучению движения одной точ-

ки с приведенной массой т —т 1 т г / ( т 1 +

+т2)

в

центральном

поле

II (г).

Ис-

пользуя

применительно к этому движе-

нию

равенство, из

которого

был полу-

чен ранее закон

площадей

Рис.

III.12.

тг2ф=

const,

приравняем

величину

тгг ф

в начале и в

конце взаимодействия,

т. е. в моменты tx

и

t2:

откуда

тг*2ц>

—

тг*2ц>',

Но q> = vsma/r*

(рис. II 1.12), так

что

v sin а

у'

sin

а'

В моменты ti и t2

точка

находится

на одной и той же поверх-

ности уровня П (г*) = 0,

и поэтому

значения кинетической

энер-

гии равны

tnv2j2 = mv'2/2,

т. е. с точностью до знака v = v', и,

§ 7. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

101

Д е л я

это равенство

на

\v\ и

учитывая, что \<o\ = \v'\, получаем

•о'

•о

е)е'

или

п'~п

— 2(пе)е,

(69)

т. е.

если известен

орт

е — (гх — /*2)/| Л —/*21 направления г и

орт п направления V, то сразу находится и орт л' совпадающих

направлений v',

v[c

и DjC.

Теперь равенства

(68) и (69) полностью определяют скоро-

сти v[ и v'i в конце

взаимодействия, если известны скорости vt

и г>2

в момент начала взаимодействия.

Таким образом, изменение скорости за время временного цент-

рального взаимодействия

совершенноне зависит от видапотен-

циальной энергии П(г),

т. е.

от конкретного вида

центральной

силы F(r), и целиком определяется тем

фактом, что сила

центральная, а вза-

имодействие временное, и поэтому дви-

жение начинается

и

заканчивается на

одной и той же поверхности нулевого

уровня П(/-*) = 0.

В

качестве

примера

задачи, кото-

рую можно трактовать как задачу вре-

менного центрального

взаимодействия

двух тел, рассмотрим абсолютно упру-

гое соударение

двух

тел. В этой зада-

У

че уже нельзя пренебрегать размерами

рассматриваемых

материальных объек-

Рис. 111.13.

тов. Простоты ради ыы будем считать,

что соударяются

шарики радиусов р± и

ра, но чго до соударения

и после него они движутся

поступатель-

но по отношению к инерциальной системе отсчета,

и поэтому мо-

расстояние между

их центрами

равно

г = рх -J-р2

, а скорости

в точке

контакта

соответственно

равны

г»х и ©2 (

н а Ри с -Ш-13

указаны

только скорости

шарика т2 до соударения и после него).

Во время наступающего

затем процесса упругого соударения рас-

восстанавливается и в момент потери контакта вместо скоростей vy

и г>2, которые были до соударения,

шарики приобретают скоро-

сти v\ и г>2, которые

могут

отличаться от v^ и v% как по вели-

чине, так и по направлению. Соударение

называется идеальным

абсолютно упругим, если во время

этого

процесса

соударения

выполняются следующие

условия.

1° Возникающая между

шариками сила упругого взаимодейст-

вия направлена вдоль

прямой,

соединяющей центры

шариков

(независимо от того, как направлены скорости vt

и v2,

лишь бы

происходило сжатие материала), а величина

этой силы

зависит

только от расстояния между центрами г.

2° В процессе сжатия

нет потерь

энергии, т. е. полная работа

всех сил взаимодействия

за время процесса взаимодействия равна

нулю.

Разумеется, эти условия

не выполняются

точно при соударе-

нии реальных шаров

из

любого

материала. Вместе

с тем абсо-

лютно

упругое

соударе-

ние — удачная

идеализиро-

ванная

модель для описания

столкновения во многих слу-

чаях,

когда

потери

энергии

малы.

Потенциальная

энергия

I 1

в этой задаче

зависит

только

г

от расстояния

г

междуцен-

трами шаров; онаравна нулю

Рис. III.14.

при г = р1

+ рг

и быстро на-

растает,

когда г

становится

меньше Р! + р2 (рис. III.14).

Ударное

взаимодействие

начинается

и заканчивается на одной и той же поверхности

нулевого уров-

ня при г = г* = pi-f рг . Таким сбразом, выведенные

выше фор-

мулы (68) полностью определяют скорости

после

соударения по

скоростям до соударения.

Тот факт, что угол а за время соу-

дарения не меняется по величине, а лишь

меняет знак,

иногда

формулируют так: «угол

падения равен углу отражения», имея

в виду скорость одного из шариков в системе

отсчета, связанной

со вторым шариком.