ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 803
Скачиваний: 1
90 ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
1. |
При е<_1 уравнение |
(44) |
определяет |
эллипс, в частности, |
при е= 0 окружность радиуса г = р. |
|
|||
2. |
При е=\ уравнение |
(44) определяет |
параболу. |
|
3. |
При е > 1 уравнение |
(44) определяет |
гиперболу. |
|
£>/
0<е<1
Рис. I1I.7. Рис. III.8.
Из аналитической геометрии известно, что в случае, когда уравнение (44) определяет эллипсы (е<1), величины эксцентриситета е и параметра р определяются через полуоси эллипса а и b (рис. III.8) так:
(45)
Итак, мы установили, что движение в поле всемирного тяготения финигно при £ < 1 и инфинитно при с ^ 1 . Тела, совершающие финитные движения, называются планетами или спутниками.
Кеплер, обрабатывая наблюдения за движением планет Солнечной системы, обратил внимание на то, что для них имеют место следующие три закона, впоследствии названные законами Кеплера.
1.Каждая из планет Солнечной системы совершает плоское движение с постояннойсекториальной скоростью.
2.Траекториями всех планет служат эллипсы, в общем фокусе которых расположено Солнце.
3.Отношение квадратов временТ обращенияпланет к кубам больших полуосейих эллиптических траекторий одинаково для всех планет.
Мы видели ранее, что первый закон Кеплера верен при любом
движении |
в поле центральной силы. Мы видели далее, чтовто- |
|||
рой |
закон |
Кеплера верен |
при всех финитных движениях (т. е. |
|
для |
всех |
планет любого |
Солнца) в поле всемирного тяготения. |
|
Установим |
теперь, что для всех таких |
движений справедлив |
||
третий закон Кеплера, т. е. что для всех |
планет любого Солнца |
|||
отношения Т2/а3 одинаковы. |
|
|||
§ 7 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ |
91 |
Период Т обращения планеты может быть вычислен как отношение площади ее эллиптической орбиты, равной nab, к секториальной скорости dS/dt = K0/(2m) (см. выше), т. е. Т = 2лаЬш/К0- Поэтому
а?
или с учетом формулы (45)
а3 |
К% ' |
При выводе формулы (44) мы положили
К2 1(2
о " о
"та гпгУг'
Подставляя это выражение для р в (47), получаем
К1 4л"
= |
|
= |
|
а» " " |
Kg m2 vc |
Vc |
' |
а это число зависит только |
от ус, т. е. от Солнца, и совершенно |
||
одинаково для всех планет. |
|
|
|
Вернемся теперь к вопросу об условиях |
возникновения финит- |
||
ных движений, т. е. к условию, при |
котором е < 1 . Из опреде- |
||
ления е следует, что |
23 |
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
и что для ньютонова или кулонова поля
имеем
та*[ 2 |
rj' |
ИЛИ
2\л.от/
Отсюда сразу следует, что
е< 1 при и о < ' е = 1 при о0 = 1/2а/(/уи),
е > 1 при у0 > >А2а/(г0т).
Таким образом, характер возникающего движения (т. е. является оно финитным или инфинитным) зависит только от
92 |
ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ |
величины |
начальной скорости. «Граничной» является скорость') |
|
|
|
т^Г=V* / |
^ |
г0 =V2 VW., |
(49) |
|||||||
где ^ — отношение силы F = a/rl |
к массе т, т. е. ускорение при |
||||||||||||
' Н е - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определим теперь, какой должна |
быть скорость точки с мас- |
||||||||||||
сой т для того, чтобы траекторией была окружность радиуса |
г0. |
||||||||||||
Это значение скорости |
v = vi может |
быть |
найдено из равенства |
||||||||||
е = 0. Его |
проще сразу |
определить |
из условия, |
что на круговой |
|||||||||
траектории |
с г = г0 |
точка |
имеет |
постоянное центростремительное |
|||||||||
ускорение |
v\/r0 и движется |
под действием |
центральной силы |
mg, |
|||||||||
т. е. что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— = mg |
|
|
|
|
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vi= Vn£\ |
|
|
|
|
|
(50) |
||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vu |
= V2vi. |
|
|
|
|
(51) |
||
Для |
поверхности |
Земли |
g3«rf9,81 |
м/с2, г3 я=« 636 • 104 |
и |
via=s |
|||||||
= "|/9,81 -636-10*^7,9 км/с, а |
иИ з |
= \f2 |
vl3^ |
11,2 км/с. |
|
|
|||||||
Скорости V\ и им называются |
соответственно первой и второй |
||||||||||||
космической скоростью для |
рассматриваемого |
центрального |
поля |
||||||||||
в точках |
г =/•(,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в условиях, когда можно пренебречь наличием атмосферы, материальная точка, запущенная вблизи поверхности
!) Заметим, что начальная энергия равна |
|
|
|
|
||||||
подставляя сюда |
«граничное значение» у0 |
из формулы (49), |
получаем |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
— |
- |
о |
|
|
Таким образом, финитное движение возникает |
при £0 < |
0, а инфинитное — |
||||||||
при £0 |
5= 0. |
Тот |
факт, что |
финитное движение |
возникает лишь при £ 0 <; 0, |
|||||
следует |
сразу |
и |
из теоремы |
о вириале. Выражение П (/•) = — а/г |
является |
|||||
однородной формой степени s = — 1. Подставляя s = — 1 в формулу (28), |
верную |
|||||||||
лишь для финитных движений, получаем |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
27\ + Л т |
= 0, |
или |
ЕХ = ЕО = |
—ТХ, |
|
|
|
т. е. для финитных движений |
Ео < |
0, так как Tt |
а значит и Тх, всегда поло- |
|||||||
жительны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ |
93 |
Земли с горизонтальной скоростью v0, падает на Землю, если lf^=i7,9 км/с. Она становится спутником Земли, если
7,9 км/с |
11,2 км/с, |
и удаляется от Земли до тех пор, пока не попадет в новое поле тяготения, если
y0S=Un *=ы 11,2 км/с.
Удаляясь от Земли и встретив новое поле тяготения (например, Солнца), точка может стать планетой Солнца или продолжить движение по инфинитнои траектории. Это зависит от того, с какой скоростью она «входит» в поле тяготения Солнца.
3. Рассеяние частиц в кулоновом поле. Формула Резерфорда. Рассмотрим инфинитное движение точки массы т, которая движется в кулоновом центральном поле из бесконечности, имея в бесконечности скорость ует (рис. III.9) и, следовательно, энергию
А"»
|
|
|
|
Рис. |
III 9 |
|
|
|
|
|
Рис. III |
10. |
|
||
E0 |
= T0 |
—mVtt/2 и кинетический |
момент |
Ko = tnv<x.p. |
В последнем |
||||||||||
выражении р — расстояние от |
центра |
до |
направления |
скорости |
|||||||||||
VOJ (его |
иногда |
называют прицельным расстоянием). |
|
|
|||||||||||
|
В |
кулоновом |
поле траекторией |
инфинитного движения в общем |
|||||||||||
случае |
является |
гипербола, |
асимптоты |
которой |
пересекаются |
||||||||||
в точке А, расположенной на |
направлении rm i n |
(наименьшего |
|||||||||||||
для этой |
траектории |
радиуса), |
|
и образуют с этим направлением |
|||||||||||
одинаковые углы ф*. Нас будет интересовать угол х (см. рис. III.9), |
|||||||||||||||
равный |
|
|
|
|
и = я - 2 ф * . |
|
|
|
|
(52) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если изменить р, сохранив величину скорости Уоо, то изменится |
||||||||||||||
и угол и (рис. III.10). В связи |
с этим |
частицы, летящие с оди- |
|||||||||||||
наковой скоростью у,» в «трубке» радиуса |
Р , < Р < р г > |
в резуль- |
|||||||||||||
тате |
инфинитного движения |
в |
|
поле |
оказываются |
в |
«конусе» |
||||||||
с |
углом |
х2 < |
у,<; хх |
. Это |
явление |
называется |
|
рассеянием |
|||||||
частиц. |
|
Далее |
|
будет |
показано, |
что |
эффект этот |
зависит от |
|||||||