Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

94

ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

свойств

частиц материи (масса —в ньютоновом, заряд —в кулоно-

свойства

рассеиваемых

частиц. Это обстоятельство использовал

Резерфорд в своих опытах.

Из уравнения траектории в полярных координатах

г = 1+ecoscp

находим,

что при г = со

угол <р* наклона асимптоты удовлетво-

ряет равенству

1 -{-е cos ф* = 0.

Эта формула устанавливает связь между х

и р, т. е. содержит

все

необходимое для

расчета рассеяния. Удобно, однако, предста-

вить

эту

формулу в

ином виде.

Пусть

dN —число частиц,

рассеиваемых

в единицу времени

внутри угла от х

до K-{-dx,

а « — число частиц, проходящих

в единицу времени через единицу площади сечения исходной

«трубки» Pi < р < р2-

Отношение

(54)

называется

эффективным сечением рассеяния.

Между

углами к и х-|-с/и

попадают частицы, которые в на-

чале движения прошли

через

«кольцо» с внутренним диаметром

р и внешним диаметром

р-|-ф.

Таких частиц в единицу времени

da = л dp2.

(55)

§ 7. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

95

\ 2 COSK/2

,

,гС\

'

^х.

(56)

sin4

x/2 '

(57)

В кулоновом поле а = есе, где е — заряд частицы, а ес —заряд

лена

вдоль

прямой, соединяю-

х

щей

точки,

а ее величина за-

Рис. III. 11.

висит лишь от расстояния меж-

ду

точками. В гл. II было по-

казано, что и в этом случае существует

силовая

функция ф, а

значит, и потенциальная

энергия П, зависящая

только

от рас-

стояния г

между точками.

Введем

движущуюся поступательно центральную систему ко-

ординат х',

у', г' с началом в центре инерции С системы, состо-

ящей

из точек т х и т 2

(рис. III.11).

Центральная

система

7 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

97

движение

в

исходной

системе

х, у, г уже не составляет труда,

1ак

как

переносное

движение известно —им

является

поступа-

тельное движение центральной системы со скоростью vc,

которая

определяется

формулой

(58).

Ия теоремы об изменении кинетического момента следует, что

Кс = const,

т.

е.

lC + m2r2C

x v2C

= Kc = const.

Учитывая

равенство (60), имеем

и

поэтому

X ~ »2С -Ь «Vac X V.iC

=

Kc,

т.

е.

Щ (r.iC

- r l C )

х v2C

=

Ко

или

— т2г х v2c = Kc = const.

Из этого равенства сразу вытекает, что

в центральной си-

стеме ©2С, а значит, и z»lC

лежат

в

плоскости, перпендикулярной

направлению

/Сс= const,

и, следовательно,

в задаче

двух

тел

могут происходить лишь плоские движения.

Приведенное выше решение задачи двух тел позволяет, в част-

ности, рассчитать взаимное рассеяние двух

частиц

(или

двух

пучков

частиц),

движущихся

по

инфинитным траекториям

под

действием

взаимного

кулонова

притяжения

или отталкивания.

5. Временное центральное взаимодействие. Упругие соударения.

Рассмотрим теперь задачу двух тел в том случае,

когда потен-

циальная

энергия

П (Г)

зависит

только

от

расстояния между

точками г и когда существует такое расстояние г*,

что П(л)==0

при

всех

г^г*.

Если движение начинается при /•<,>/•*,

то

в

этом случае

точки

движутся

независимо

до

тех

пор,

пока

г

не окажется

равным г*.

Затем

при г < г *

возникают условия задачи двух тел

до тех

пор, пока

вновь не окажется

г —г*.

Если

г

продолжает

расти, то взаимодействие

заканчивается

и точки

движутся

неза-

висимо одна от другой до тех

пор, пока г, уменьшаясь, снова не

достигнет значения г*. В системе координат,

начало

которого

помещено в одной из

рассматриваемых

материальных

точек, по-

верхностями уровня служат сферы радиусами

г;

сфера

радиусом

г = г*

является

поверхностью

нулевого

уровня и вне ее поверх-

ностей

уровня

нет.