Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 789

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

26

ГЛ

t КЛАССИЧЕСКАЯ КИНПМУГМКА

 

 

где а —угол между

вектором гх и

прямой, по которой пересе-

каются

плоскости Пх иП2.

 

 

 

 

 

 

 

Если в греческой

системе отсчета неподвижна неодна точка О,

а две точки О и 0t,

то неподвижны

и все точки, лежащие на

прямой ООХ> т. е. в этом случае имеется неподвижная ось. Напра-

вим ось- £ греческой системы отсчета

вдоль неподвижной оси OOi.

В этом

случае ft = const,

т. е. dk/dt = O; вектор dj'/dt

располо-

жен в

плоскости (§, т]) и

(dj'/dt)-k — O, а

модуль

\di/dt\ равен

d(f/dt, где ф—угол поворота

оси |;

вектор

dl/dt коллинеарен J

и (di/dt)-J=d<p/dt. Поэтому в случае,

когда греческая

система

отсчета

имеет неподвижную ось, формула (28) сводится к виду

т. е., как уже было

указано

выше,

вектор со направлен вдоль

неподвижной оси, а

скорости

всех

точек

среды

распргделены

в соответствии с формулой

(23). Если

же

в греческой

системе

неподвижна

только одна точка, то из формулы (23) следует, что

ее скорости

в каждое мгновение распределены гак, как будто бы

в это мгновение система вращается вокруг некоторой воображаемой оси. Направление этой оси определяется направлением век-

тора со (формула (28)), а угловая скорость

вращения — модулем

этого вектора. Поэтому вектор

со называется

вектором мгновенной

угловой скорости, а линия

его действия —мгновенной осью враще-

ния. При Й ^ О В каждое

мгновение равны нулю скорости тех и

только тех точек, которые

лежат на мгновенной оси.

Различие между вращением вокруг

неподвижной осии движе-

нием с неподвижной точкой

состоит

в том, что ось вращения

в первом случае неподвижна,

а во втором случае перемещается,

проходя все время через неподвижную точку О'. Следы мгновенных осей образуют в неподвижном («латинском») пространстве коническую поверхность. Эта поверхность называетсянеподвижным аксоидом.Следы мгновенных осей в подвижном («греческом»)

пространстве также образуют коническую поверхность — подвижный аксоид. Каждое мгновение подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга по общей образующей— ею служит мгновенная ось. Можно доказать, что при любом движении среды вокруг

неподвижной точки

подвижный аксоид

катится без скольжения

по неподвижному.

Вектор со меняется

по направлению и вели-

чине, но всегда лежит на неподвижном

аксоиде (см. рис. 1.15—

этот рисунок соответствует

случаю, когда неподвижный и под-

вижный аксоиды

являются

круговыми конусами с осями г

и £,соответственно). Годограф вектора

се, т. е. кривая, описы-

ваемая его концом, целиком лежит на неподвижном аксоиде (кривая Г на рис. 1.15).

Выше мы рассмотрели распределение скоростей в среде снеподвижной точкой О', так какк этой задаче свелась общая задача

§ 4 flBUNCFHIIF СРЕДЫ Г НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

27

о распределении скоростей при произвольном движении среды При этом точка О' греческой среды была выбрана произвольно.

Естественно возникает вопрос, зависит ли вектор « от выбора точки О'. Ответ на этот вопрос устанавливает следующая

 

Рис.

1.15.

Рис. 1.16.

Т е о р е м а

2.

Вектор

ю не зависит от выбораточки О'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что утверждение теоремы

неверно и что

при различных исходных точках О' надо брать

различные векторы ш. Выберем в греческой среде две произвольные точки 01 и О* (рис. 1.16) и допустим, что им соответствуют

векторы <•>, и (о2. Тогда скорость произвольно выбранной точки А

можно записать двояко:

 

 

Но

 

 

 

 

 

поэтому

(ог

х (0\А-

ОЮо) = «>гX O

 

 

или

 

 

((!>!- (02) X 61Л = 0 .

 

 

 

Точка А

выбрана

произвольно. Поэтому в последнем равен-

стве

вектор

0'iA также

произволен и равенство может выпол-

няться только тогда,

когда

«1 = (02. Теорема доказана.

В

силу этой теоремы

поле скоростей геометрической твердой

среды в ее произвольном движении задается двумя векторами: вектором ю в данный момент и скоростью одной (произвольно выбранной) точки среды.

В заключение этого раздела докажем упоминавшееся ранее важное свойство распределения скоростей в произвольно движущейся твердой среде.

28ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНГМАТИКЛ

Те о р е м а 3. Две произвольно выбранные точки твердой среды могут иметь лишь такие скорости, что проекции их на прямую, соединяющую эти точки, равнымежду собой.

Д о к а з а т е л ь с т в

о . Выберем в греческой среде произволь-

ные точки А и В и в

качестве О' возьмем точку А. Тогда

Проектируя это равенство на направление прямой АВ, получаем

так как вектор <ахАВ ортогонален-этому направлению. Теорема доказана.

Выясним теперь, как распределены ускорения точек среды при ее движении с неподвижной точкой. Дифференцируя равенство (23) по времени, получаем

Введем вектор z —d&ldt, называемый вектором мгновенного угловогоускорения.Направление вектора г совпадает с направлением

касательной к годографу вектора (о (см. рис. 1.15),

отклады-

вается же он из неподвижной точки О'.

 

Вектор полного ускорения можно теперь представить так:

i = 8 X П + 0> X V{ = WBp + W0CI

(30)

где

 

а»ос =гах z>* = их(<ахг,).

 

Вектор wBp называется вращательным ускорением. Оннаправ-

лен перпендикулярно плоскости, проходящей через

векторы г

и Г(, и по величине и направлению совпадает с касательным

ускорением, которое имела бы та же самая точка при вращении с угловым ускорением е = |8 | вокруг оси, совпадающей с направлением вектора е. Эту ось называют иногда осью ускорений.

Напомним теперь (см. начало этого параграфа), что при

вра-

щении

вокруг неподвижной оси направления векторов «

и 8

всегда

совпадают и в связи с этим в каждой точке векторы ско-

рости

и касательного ускорения направлены вдоль одной и той же

прямой —касательной к траектории. При движении среды с не-

подвижной точкой вектор е не совпадает

по направлению свек-

тором со, и

поэтому

£ХГ/ уже не направлено по касательной

к траектории

и не

является поэтому касательным ускорением.

Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,

ему и присвоено особое

наименование —вращательное' ускорение.

При движении среды

с неподвижной точкой удобнее выделять

вращательную (а не ка-

§ 4. ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

29

сательную) составляющую ускорения, так как это позволяет сохранить внешнее сходство формул со случаем вращения вокруг

неподвижной оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

теперь

второе

слагаемое

 

в формуле (30). Век-

тор

woc

называют

осестремительным

 

ускорением. В

соответствии

с формулой для разложения двойного

векторного

произведения

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (0 ((О

Г()

— Г;((й • (0).

 

Пусть ш0 —орт

мгновенной

оси

вращения; тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft) =

| G) [ . ( i ) 0 =

 

СОШО

 

 

 

и выражение для

woc

 

можно

переписать

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

w o c

= со2 [<о0 (<*>„•/-,)-г,].

 

 

Но

(<о0

• ri)

= г1а> — проекция

вектора

 

rt

 

на направление

мгновен-

ной

оси.

Поэтому

е = (ло((лог1)

— вектор,

направленный

вдоль

мгновенной

оси, длина

которого

равна

этой проекции (рис. 1.17),

а е — г{

— вектор,

направленный

из рассматриваемой точки к мгно-

венной

оси

и перпендикулярный

последней:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0)Q (G)Q * F\)

—

f*{

=

 

UI/IQ,

 

 

где АО~~°РТ этого «направления

к

мгновенной оси», a ht

— рас-

стояние

до

нее. Следовательно,

вектор

wOi

= со2й,Ло,

отложенный

из

любой

точки,

 

направлен

к

 

 

 

 

 

 

 

 

мгновенной

оси. Это

и предопреде-

 

 

 

 

 

 

 

 

лило название

вектора

woc

— oce-

 

 

 

 

 

 

 

 

стремительное

ускорение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом, при

движении

 

 

 

 

 

 

 

 

с неподвижной

точкой

ускорение

 

 

 

 

 

 

 

 

каждой

точки

можно

представить

 

 

 

 

 

 

 

 

как

сумму

двух

 

ускорений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое — вращательное

 

ускоре-

 

 

 

 

 

Р и с - 1 1 7 -

 

ние —по

величине

и

направлению

 

 

 

 

 

 

 

 

совпадает с тем касательным ускорением, которое получалось бы

при

вращении среды

с угловым ускорением 8 вокруг оси ускоре-

ний,

а

второе — осестремительное — с тем

нормальным ускорением,

которое

получалось

бы

при

вращении

среды

с угловой ско-

ростью

о вокруг мгновенной оси

вращения.

 

 

В точках мгновенной

оси вращения скорости

и. осестремитель-

ные ускорения равны нулю, но вращательные ускорения отличны

от нуля. Именно в

силу этих

ускорений мгновенная ось враще-

ния перемещается:

благодаря

им ее точки, скорости которых

в данный

момент равны нулю, в следующий момент приобретают

скорости,

отличные

от нуля.

 

30

ГЛ Г КЛАССИЧЕСКАЯ КИНГМАТПКА

Вточках оси ускорений равны нулю вращательные ускорения, но скорости и осестремительные ускорения отличны от нуля. Этим обусловлено движение оси ускорений.

§5. Сложение движений

Вэтом параграфе будут рассмотрены третья и четвертая ситуации, о которых шла речь в § 1 (рис. 1.1,ей г). Исследованию этих ситуаций мы предпошлем формальное определение сложения движений.

Сложением двух движений называется процедура определения скорости и ускорения точек греческой среды (оси \, т], £) относительно некоторой латинской среды (оси х, у, г), если задано движение греческой среды относительно «промежуточной» среды (оси хи ylf Zi), которая сама движется заданным образом отно-

сительно латинской среды. Аналогично определяется сложение п движений —в этом случае рассматривается п сред, движущихся одна относительно другой. Во всех случаях такого рода движение называется

 

сложным.

 

 

 

 

 

Мы начнем

изучение

 

сложного

 

движения

с простейшего

 

случая —

 

сложного движения точки (рис. 1.1, в),

 

затем

вернемся

к случаю

движения

 

системы

отсчета

(который в начале

р и с lie.

этой

главы привел нас

к

задаче о

 

сложении движений) и, наконец, рас-

смотрим общий случай

сложного

движения, в котором

рассмат-

ривается и систем отсчета (рис. 1.1, г).

 

 

 

1. Сложное движение

точки.

Рассмотрим

случай,

когда гео-

метрическая точка движется относительно некоторой системы отсчета, в свою очередь движущейся относительно «неподвижной» системы. Как и ранее, греческую систему координат £, г|, £

(начало О')

будем считать выбранной

в

«подвижной»

системе,

а латинскую

систему координат х, у,

г

(начало О) —в

«непод-

вижной» системе.

 

 

 

Орты греческой системы /', у, k и координаты ее начала О' являются функциями времени. Тогда А движется относительно греческой системы. При этом, вообще говоря, и греческие, и латинские ее координаты будут зависеть от времени. Движение точки А относительно греческой системы отсчета называется относительным движением;«сложное» движение точки А относительно латинской системы отсчета называется абсолютным движением, а движение

Смотрите также файлы