Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1104
Скачиваний: 1
ГЛАВА IV
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
|
§ 13. Вращение твердого тела |
вокруг |
|
|
неподвижной оси |
|
|
13.1 (375). Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки |
|||
часов, 2) минутной стрелки |
часов, 3) часовой |
стрелки часов, 4) вра- |
|
щения Земли |
вокруг своей |
оси, считая, что Земля делает один обо- |
|
рот за 24 часа, 5) паровой |
турбины Лаваля, делающей 15 000 об[мин. |
||
Ответ: 1) с о = ^ сект1 = 0,1047 сек-1; |
|
||
2) |
£ 0 = ^ сек-1 = 0,001745 сек-1; |
|
|
3) |
а = 2ТШ «к" 1 = 0,0001455 сек'1; |
||
4) |
« ^ j g ^ т с - 1 = 0,0000727 cevr\ |
||
5)ю=1571 сек-1.
13.2(376). Написать уравнение вращения диска паровой турбины При пуске в ход, если известно, что угол поворота пропорционален
кубу времени и при £= 3 сек угловая скорость |
диска |
соответствует |
|||
п = 810об/мин. |
|
|
|
||
Ответ: |
<p —nts рад. |
|
|
|
|
13.3 |
(377). Маятник центробежного |
регулятора, |
вращающийся |
||
вокруг |
вертикальной оси АВ, делает 120 об/мин.В начальный момент |
||||
угол поворота был равен -^ рад. Найти |
угол |
поворота и угловое |
|||
перемещение маятника за время £ =1/2 сек. |
|
|
|||
Ответ: |
13 |
|
|
|
|
ср=-£-я рад; Аф = 2я рад. |
|
|
|
||
13.4(378). Тело, начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 3600 оборотов в первые 2 мин. Определить угловое
ускорение.
Ответ: е= я сек~й.
13.5(379). Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 5 сек он совершает 12,5 оборота. Какова его угловая скорость по истечении этих 5 сек?
Ответ: ш= 5 об/сек = Юл сек-1.
№
13.6 (380). Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно; через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, соответствующую 120 об\мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мин?
Ответ: 600 оборотов.
13.7 (381). Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2и сек'1; сделав 10 оборотов, оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение е колеса, считая его постоянным.
Ответ: е= 0,1тс сек~*,вращение замедленное.
13.8 (382). С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с угловой скоростью, соответствующей л = 1200 об/мин,
сделал |
до |
остановки |
80 |
|
оборотов. |
Сколько |
времени |
прошло |
|||||||
с момента выключения мотора до остановки, если |
считать |
вращение |
|||||||||||||
пропеллера |
равнозамедленным? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
8 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
13.9 (383). Тело совершает колебания около |
неподвижной оси, |
|||||||||||||
дричем |
угол |
поворота |
выражается уравнением |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ш= |
20°sinф, |
|
|
|
|
|
||
где |
угол ф выражен в угловых градусах зависимостью ф= |
(2£)°, при- |
|||||||||||||
чем |
t , обозначает |
секунды. |
Определить |
угловую |
скорость тела |
||||||||||
в момент £= 0, ближайшие |
|
моменты |
t% и tit в которые |
изменяется |
|||||||||||
направление вращения, и период колебания Т. |
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
u)= gygir2 сек'1; |
|
^ = 45 сек; |
|
|
|
|
|
|||||||
*а = |
135 сек; 7 = 1 8 0 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
13.10 (384). Часовой балансир совершает |
|
|
|
|
||||||||||
крутильные |
гармонические |
колебания |
с пе- |
|
|
|
|
||||||||
риодом |
Т=1/2 |
сек. Наибольший угол от- |
|
|
|
|
|
||||||||
клонения точки обода балансира от положе- |
|
|
|
|
|||||||||||
ния |
равновесия а = |
я/2 рад. Найти угловую |
|
|
|
|
|
||||||||
скорость и угловое ускорение баланса |
через |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 сек |
после |
момента, |
когда |
балансир про- |
|
|
|
|
|||||||
ходит |
ПОЛОЖеНие равНОВеСИЯ. |
|
|
t |
|
Кзадаче 13 10. |
|||||||||
Ответ: |
ш= |
2тс2 сек'1; |
в= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
13.11 (385). |
Маятник колеблется в |
вертикальной |
плоскости око- |
|||||||||||
ло |
неподвижной |
горизонтальной |
оси О. Выйдя в начальный |
момент |
|||||||||||
из |
положения |
равновесия, |
|
он |
достигает |
наибольшего |
отклонения |
||||||||
а= тс/16 рад через 2/3 сек.
1)Написать закон колебаний маятника, считая, что он совершает
ггармонические колебания.
2)В каком положении маятник будет иметь наибольшую угловую скорость и чему она равна?
Ответ: 1) <р = Tg-sin -г
2) В отвесном положении; а>та1= -эт'са сек'1.
Ш
13.12 (386). Определить скорость v и ускорение |
w |
точки, нахо- |
||||||||||||
дящейся на поверхности Земли в Ленинграде, |
принимая во внимание |
|||||||||||||
только |
вращение Земли вокруг своей оси;" широта |
Ленинграда 60°; |
||||||||||||
радиус |
Земли 6370 км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
г> = |
0,232 км/сек; те> = 0,0169 м/сек*. |
|
|
|
|
||||||||
13.13 (387). Маховое колесо радиуса 0,5 |
м |
вращается равномерно |
||||||||||||
|
|
|
|
вокруг своей оси; скорость |
ючек, лежащих |
на его |
||||||||
|
|
|
|
ободе, равна 2 м/сек. Сколько оборотов в |
минуту |
|||||||||
|
|
|
|
делает колесо? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
« = |
38,2 об'/мин. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
13.14 (388). Точка |
А |
шкива, |
лежащая |
на его |
||||||
|
|
|
|
ободе, движется со скоростью 50 см/сек, а неко- |
||||||||||
|
|
|
|
торая точка В, взятая на одном |
радиусе |
с точ- |
||||||||
|
|
|
|
кой А, движется со скоростью |
10 см/сек; расстоя- |
|||||||||
|
|
|
|
ние АВ = |
20 см. Определить угловую |
скорость <о |
||||||||
К задаче 13.14. |
и диаметр |
шкива. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ответ: |
ш = 2 ceic'1; |
d = |
50 |
см. |
|
|
||||
13.15 |
(389). |
Маховое .колесо |
радиуса |
/?= |
2 |
м |
вращается рав- |
|||||||
ноускоренно |
из |
состояния покоя; |
через |
£ = 1 0 |
сек |
точки, лежащие |
||||||||
на ободе, обладают линейной скоростью |
г»= 1 0 0 |
м/сек. |
Найти ско- |
|||||||||||
рость, нормальное и касательное ускорения точек |
обода |
колеса для |
||||||||||||
момента |
t = |
15 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
т>=150 м/сек; |
©„=11250 м/сек\ даг |
= 10 м/сек1. |
|||||||||||
13.16 |
(390). |
Найти горизонтальную |
скорость |
v, |
которую |
нужно |
||||||||
сообщить |
телу, находящемуся |
на экваторе, для того, чтобы оно, дви- |
||||||||||||
гаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направляющих,
имело |
ускорение свободного |
падения. |
|
Определить |
также время |
Т, |
||||||||||||
по |
истечении |
которого |
тело вернется в первоначальное положение. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Радиус |
Земли R = 637-106 |
см, а ускорение силы |
||||||||||||
|
|
|
|
тяжести |
jia |
экваторе |
|
g=978 |
|
см/сек*. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ответ: |
v=7,9 |
|
км/сек; |
7 = |
1,4 |
часа. |
|
|||||||
|
|
|
|
13.17 (391). |
Угол |
наклона полного ускорения |
||||||||||||
|
|
|
|
точки обода махового |
колеса к радиусу равен.60°. |
|||||||||||||
|
|
|
|
Касательное ускорение ее в данный момент и>т = |
||||||||||||||
|
|
|
|
= 10]/3 м/сек*. Найти |
нормальное |
ускорение |
||||||||||||
|
|
|
|
точки, отстоящей |
от |
|
оси |
вращения на расстоянии |
||||||||||
|
|
|
|
г =,0,5 |
м. Радиус |
махового |
колеса R=l |
м. |
|
|||||||||
|
|
|
|
Ответ: |
wn |
= |
b |
м/сек2. |
|
|
|
|
|
|
||||
К задаче |
13.18. |
13.18(392). |
Вал |
|
радиуса |
R = 1 0 |
см |
приво- |
||||||||||
|
|
|
|
дится во вращение гирей Р, привешенной к нему |
||||||||||||||
на |
нити. |
Движение гири |
выражается |
|
уравнением |
я = 1 0 0 £ 9 , |
где |
|||||||||||
х — расстояние гири от места схода нити с поверхности |
вала, выра- |
|||||||||||||||||
женное |
в сантиметрах, |
t — время |
в |
секундах. |
Определить |
угловую |
||||||||||||
скорость to и угловое ускорение е вала, |
а |
также |
полное |
ускоре- |
||||||||||||||
ние |
w |
точки |
на поверхности вала |
в момент t. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: ю= 20< сек'1; е= 20 сек'9;
W = 200 ]/Г+4007* см/*ек\
116
13.19. Решить предыдущую задачу в общем виде, выразив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние х, радиус колеса R и ускорение гири х = w0 = const.
Ответ: w = wo~\/ 1+4^-.
13.20. Стрелка гальванометра длиной 3 см колеблется вокруг неподвижной оси по закону
ф = ф0sin kt.
Определить ускорение конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, а также моменты времени, при которых угловая скорость со и угловое ускорение е обращаются в нуль, если период колебаний равен 0,4 сек, а угловая амплитуда Фо —™.
|
Ответ: |
1) В среднем |
положении стрелки а»= 8,1 см/сек2. |
||
|
|
|
2) |
В крайних |
положениях стрелки w = 77,5 см/сек2. |
|
|
|
3) |
со = 0 при *= (0,1+0,2л) сек (я = 0, 1, 2, ...)• |
|
|
|
|
4) |
8 = 0 при ^= 0,2л сек (я= 0, 1, 2,...). |
|
|
|
§ |
14. Преобразование простейших движений |
||
|
|
|
|
|
твердого тела |
|
14.1 |
(395). Зубчатое |
колесо / диаметром Dj = 360 мм делает |
||
я г |
= 1 0 0 |
об/мин. Чему должен равняться диаметр зубчатого колеса //, |
|||
находящегося |
с колесом |
У во внутреннем зацеплении и делающего |
|||
|
300 |
об/мин? |
|
||
Ответ: Д,= 120 мм.
П Ш
т
К задаче 14.1. |
К задаче 14.2. |
14.2 (396). Редуктор скорости, служащий для замедления вращения вала / и передающий вращение валу 11, состоит из четырех шестерен с соответствующим числом зубцов: 2 i = 1 0 , 22= 60,^3=12, г4 = 70. Определить передаточное отношение механизма.
Ответ: lj #= — =35.
14.3 (398). Станок со шкивом А приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива В электромотора; радиусы шкивов: гх = 75 см, г2 = 30 см; после пуска в ход электро-
117
мотора его угловое ускорение равно 0,4я сек~%.Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определить, через сколько времени ста-
нок будет делать 300 об/мин.
Ответ: 10 сек.
14.4 (400). В механизме стрелочного индикатора движение от рейки мерительного штифта / передается шестерне 2, на оси которой укреплено зубчатое колесо 3, сцепляющееся с шестер-
№. задаче н.э. |
ней 4, несущей |
стрелку. |
Опреде- |
||
|
|
лить угловую |
скорость |
стрелки, |
|
если движение |
штифта задано |
уравнением |
x = asinkt и. радиусы |
||
зубчатых колес |
соответственно |
равны г2, га |
и г4. |
|
|
Ответ: a), = -^-
К задаче 14.4. |
К |
задаче 14.5. |
14.5 (401). В механизме |
домкрата при вращении рукоятки А |
|
начинают вращаться шестерни 7, 2, 3, 4 и 5, |
которые приводят |
|
в движение зубчатую рейку В домкрата. Определить скорость послед-
ней, если |
рукоятка А |
делает 30 об/мин. Числа |
зубцов |
шестерен: |
||
|
|
гг = 6, |
Z2 = 24, |
23 = 8, |
z4 = 32; |
|
|
|
радиус |
пятой |
шестерни |
г5 = 4 см. |
|
|
|
Ответ: г>в = 7,8 мм/сек. |
||||
|
|
14.6 |
(402). |
Для получения перио- |
||
|
|
дически |
изменяющихся угловых ско- |
|||
|
|
ростей |
сиеплены |
два одинаковых |
||
|
|
эллиптических |
зубчатых |
колеса, из |
||
|
|
которых одно вращается равномерно |
||||
|
|
вокруг оси О, делая 270об/мин, а дру- |
||||
К |
задаче 14.6. |
гое приводится первым во вращатель- |
||||
ное движение вокруг оси Ог. Оси О |
||||||
|
|
и Ог параллельны |
и проходят через |
|||
фокусы эллипсов. Расстояние OOt равно 50 см; полуоси эллипсов
25 и 15 см. Определить наименьшую и наибольшую угловые скорости колеса Ох.
Ответ: ©min^n ceie1; о)тах=81л сек~\
118