Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

ния линейки

эллипсографа, если

ОС = ВС — АС—г. В начальный

момент линейка

АВ была расположена горизонтально.

Ответ: хв

=

2r cosu>at; yB=G;

ep= — wat.

У

К задаче15.1.

К задаче15.2.

К задаче15.3.

Ответ:

=

vt;

Ус = — Я,

<?==~Б*-

15.3

(493).

Шестеренка

радиуса

г,

катящаяся

по неподвижной

шестеренке радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА, вра-

щающимся

равноускоренно

с угловым

ускорением

е0 вокруг оси О

неподвижной шестеренки.

Составить

уравнения движения подвижной

шестеренки, приняв за

полюс

ее

центр

А,

если

при

£=

0 угловая

скорость кривошипа

% = 0

и начальный угол поворота <ро =

0.

где Фх~ угол поворота подвижной

шестеренки.

15.4 (494). Шестеренка радиуса

г, катящаяся внутри неподвижной

шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА, вра-

щающимся

равномерно вокруг оси О не-

подвижной шестеренки с угловой ско-

ростью

щ.

При t = О угол ф0 = 0.

Составить уравнения движения под-

вижной

шестеренки, приняв ее центр А

за полюс.

Ул = № — г) sin aot;

ф 1

= — (*

где ф! —угол

поворота

подвижной ше-

стеренки; знак минус показывает, что

К

задаче

15.4.

шестеренка

вращается в сторону, противо-

положную

кривошипу.

15.5

(495).

Найти уравнения движения шатуна паровой машины,

если кривошип вращается равномерно;

за полюс

взять точку А на

оси пальца кривошипа; г—длина кривошипа, /-—длина шатуна, ю0 —

угловая

скорость кривошипа. При

^= 0 угол

а = 0. (См.

чертеж

к задаче

14.12.)

Ответ:

x — r cos (o0t; у — г sin ЩГ; ф = — arcsin (~

sin ю

15.6

(498). Инверсор, или прямило Поселье — Липкина представ-

ляет собой

шарнирный механизм,

состоящий

из

ромба

ADBC

Найти

траекторию

вершины А.

Ответ:

Прямая, перпендикулярная к OOi и отстоящая от точки О

/ 2

«

на расстоянии х = -

стоянной скоростью vA.

Написать

уравнения

движения

стержня

АВ,

предполагая,

что

муфта

А

начала двигаться от точки О. За полюс

принять

точку

А.

Угол BOA равен я — а.

vAt

Ответ:

хА

=—

x^cosa;

yA

= vAt sin a;

<j>=—arcsin —j—sina.

15.8.

Конец

А

стержня АВ скользит по прямолинейной направ-

ляющей

с постоянной

скоростью

v,

причем

стержень при движении

опирается на штифт D.

Написать

уравнения

движения

стержня и его

конца В. Длина

стержня

равна /, превышение штифта D над прямолинейной направ-

ляющей

равно

И. В

начале

движения конец стержня А

совпадал

с точкой

О —началом

неподвижной

системы

координат; ОМ = а. За

полюс

принять точку

А.

11

Ответ:

хд

= vt,

уА = 0,

<р = arctg а — vt'

К задаче 16.8.

К задаче 159.

15.9. Кривошип О\А длиной а/2 вращается с постоянной угловой

скоростью св. С кривошипом в точке А

шарнирно соединен стер-

Найти уравнения

движения стержня АВ и траекторию (в поляр-

ных и декартовых

координатах) точки М, находящейся

на стержне

на расстоянии а от

шарнира А. За полюс принять точку

А.

Ответ: 1) ХА= у О +cosutf), yA

= ^-sinu>t, ? = y ;

2) Кардиоида: р=а

(cos9 — 1), je4 -|-_y2 =а (х—Ух*-\-у*).

15.10 (500). Конхоидограф

состоит

из линейки АВ, которая шар-

нирно соединена в точке А с ползуном,

скользящим по прямолиней-

ной направляющей

ED, и проходит через качающуюся

около непод-

вижной оси О муфту. Ползун

совершает

колебательное

движение по

закону х = с sin mt,

где с и

to — заданные постоянные числа (оси

координат показаны

на рисунке).

К задаче 15.10.

К задаче 15.11.

16.11. Кривошип ОА

антипараллелограмма OABOi, поставленного

ния движения

звена АВ, если 0А = 0\В = а

и OOi = AB = b

(a<^b); в

начальный мо-

мент кривошип

ОА был направлен поОО\.

Ответ:

ХА= я cosu>t;

yA = a sin mt;

со= — 2 arctg r

;.

ООь равномерно

вращается

с

угловой ско-

К задаче 15.12.

ростью со.

Приняв за полюс точку А, составить

= а

и OOi =

уравнения движения

звена АВ,

если

ОА =

B = b (a^>b); в

начальный

момент

криво-

шип ОА был направлен по ООь

Ответ:

= a cos utf; у А = a sina>t; <p =

2 arcctg

— /а

перпендикулярной

к

плоскости

чертежа, согласно уравнению

<р =

= -g-sin-2-^ pad.

Определить

скорость конца А

стержня АС в момент времени

t=0.

Ответ:

Скорость направлена по горизонтали вправо и равна по

модулю

9,86

см/сек.

у

16.3.

Сохранив

условие

предыду-

щей

задачи,

определить скорость

кон-

ца

А

стержня

АС

в

момент

времени

t =

1

сек.

Ответ:

Скорость

направлена

по

горизонтали вправо и равна по модулю

4 см/сек.

16.4.

При движении диска

радиуса

г =

20 см

в

вертикальной

плоскости

ху

его

центр

С

движется

согласно

уравнениям

Xc=l0t

м,

_ус =

(Ю0 —

— 4,9£2) м.

При этом диск

вращается

вокруг горизонтальной оси С, перпен-

дикулярной

к

плоскости

диска,

с по-

стоянной

уГЛОВОЙ

СКОРОСТЬЮ

'(0

=

= 1г/2 сек'1.

Определить

в

момент

времени

£ =:0 скорость точки А, лежащей на

ободе

диска.

Положение

точки

А на

диске

определяется

углом

y =

wt,

от-

считываемым

от

вертикали

против

хода

часовой

стрелки.

Ответ:

Скорость

направлена

по

горизонтали

вправо и равна по модулю

10,31

м1 сек.

16.5. Сохранив условие предыду-

щей

задачи, определить

скорость точки

А

в

момент

времени

t = 1 сек.

Ответ:

1 ^ = 1 0

м[сек;

vA

=—9,49

м/ сек;

г>д=13,8 м/сек-

неПОДВИЖНОЙ

ГОриЗОНТаЛЬНОЙ

ОСИ

О

К задаче 16.6.

по закону

<р = <р(О- Диск

II

вра-

щается вокруг горизонтальной оси А согласно уравнению

Оси О и Л

перпендикулярны к плоскости чертежа. Углы <р и

отсчи-

тываются от вертикали против хода часовой стрелки.

Найти скорость центра С диска

//.

Ответ:

vCx

= г (фcos cp-f-

t[icos ф); vCy

= г ($ sin <p -j-фsin i|