Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1152

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

шению к трубке в равновесии, если трубка врашаегся с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Оу?

Ответ: По параболе у = -~ — jca -j- с.

К задаче 31.25.

 

 

 

 

31.26(822). Точка УИ с массой т=\

г

движется по

гладкой

поверхности круглого конуса, угол раствора

которого 2а =

90°, под

влиянием силы отталкивания от

вершины О, пропорциональной рас-

стоянию: F =

с • ОМ дин, где с =

1 дин/см. В

начальный момент точка

М находится

в точке А, расстояние ОА равно

а = 2 см, начальная

скорость г>о= 2 см/сек и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение точки М (силой

тяжести пренебрегаем).

 

 

 

 

 

 

Положение

точки М определяем

коорди-

 

натой z и

полярными

координатами

г

и tp в

 

плоскости,

перпендикулярной

к оси Ог;

урав-

 

нение поверхности

конуса

r s

— z s = 0 .

 

 

Ответ: гг

=

е4* -j-1

 

 

 

 

 

 

31.27

(823).

При

условиях

предыду-

 

щей задачи, считая

ось конуса направлен-

 

ной по вертикали вверх и учитывая силу

 

тяжести, определить давление точки на

 

поверхность конуса.

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: N=m

sin a \g-\

 

^ s — •

 

31.28

(824).

Материальная

точка А

 

ПОД действием

СИЛЫ ТЯЖеСТИ ДВИЖеТСЯ ПО

К задаче 31 28.

шероховатой

винтовой

поверхности,

ось

 

которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z = ay -\-/(r); коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ=Гь т. е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что а = const.

Указание . Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную,

237

главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке А. На чертеже угол между йормальной компонентой N реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали п° обозначен через р.

Ответ: Движение по винтовой линии возможно при условии tga — A / l + / ' 2 Co) cos3 a = 0 ,

где tg a = a/r0; скорость движения v = Vgrof

(r0).

 

 

- 31.29. Тело К, размерами которого

можно пренебречь,

установ-

лено в верхней

точке А шероховатой

поверхности

неподвижного

полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную

скорость

г%, направленную

по касательной к цилиндру,

нужно

сообщить телу

К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра,

если коэффициенты

трения скольжения при движении и покое оди-

наковы и равны /?

 

 

Ответ: v0

[У

е~фо ~(1~ Я/3)],

где fO =

 

 

К задаче 31.29.

К задаче 31 30.

31.30. Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость Vo,направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен /.

Ответ:

§ 32. Колебательное движение

а) С в о б о д н ы е к о л е б а н и я

32.1 (825). Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу в 20 Г. В некоторый момент к ниж-

нему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С

238

весом 100 Г и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и

указать

амплитуду

и период

ее

колеба-

 

 

 

 

ний, отнеся движение гири к оси, про-

 

 

 

 

веденной вертикально

вниз из положения

 

 

 

 

статического

равновесия

гири.

 

 

 

 

 

 

Ответ:

х==—5

cos I4t

см;

 

 

 

 

 

 

 

 

а = Ь см;

Т =

0,45

сек.

 

 

 

 

32.2

(826). При равномерном спуске

 

 

 

 

груза весом

Q =

2 т со

скоростью v==

 

 

•

= 5 м/сек

 

произошла

неожиданная за-

 

 

 

 

 

 

 

держка верхнего конца троса, на котором

 

 

 

 

спускался

груз,

благодаря

защемлению

к задаЧе згл

к ^ ч е

32 2.

троса в обойме блока. Пренебрегая весом

 

 

 

 

троса, определить

его

наибольшее натяжение при

последующих

коле-

баниях

груза,- если коэффициент жесткости

троса

с =

4 т/см.

 

Ответ: F = 47,l т.

 

 

 

 

 

 

 

 

32.3

(827). Определить

наибольшее натяжение троса в предыду-

щей задаче,

если

между

грузом

и тросом

введена упругая пружина

с коэффициентом жесткости

ct

=

0,4 т/см.

 

 

 

 

Ответ: F = 1 5 , 6

 

т.

 

 

 

 

 

 

 

 

32.4

(828). Груз

 

Q, падая

с высоты h = 1 м

без

начальной ско-

рости,

ударяется

об

 

упругую

горизонтальную балку

в ее середине;'

концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если

статический прогиб балки в ее середине

при указанной нагрузке

равен 0,5 см; массой балки пренебрегаем.

 

Ответ: х = {— 0,5 cos 44,3^ -j- 10 sin 44,3*) см.

32.5 (829). На каждую рессору вагона

приходится нагрузка Р кГ;

под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах.

Упругое

сопротивление

рессоры

пропорционально

стреле

ее

про-

гиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Г =

0,45

сек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.6

(830).

Определить

период

свободных колебаний фундамента

машины,

поставленного

на

упругий

грунт,

-если

вес

фундамента

с машиной Q =

90 T, площадь

подошвы фундамента 5 =

15 м%, коэф-

фициент

жесткости

грунта

c=kS,

где

Х =

 

3 кГ/см* — так называе-

мая удельная

жесткость

грунта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Г =

0,09

сек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.7

(831).

 

Найти

период

свободных

вертикальных

колебаний

корабля

в спокойной воде, если вес корабля

Р т, площадь

его

гори-

зонтального

сечения

5 /

и не

зависит от

высоты

сечения; вес

1 м3

воды равен

 

1 т.

Силами,

обусловленными

вязкостью

воды,

пре-

небречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т : Г =

 

2

/

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 9

32.8. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью.

Ответ: у = — ^- cos I/ ~t м.

32.9 (836). Груз, вес которого равен Р н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия,

груз начинает совершать колебания. Выразить

длину нити х в функ-

ции времени и найти, какому

условию должна

удовлетворять началь-

ная длина

ее х9, чтобы во

время движения

гири нить оставалась

натянутой.

Натяжение нити

пропорционально

удлинению;4

длина ее

в нерастянутом состоянии равна /; от действия

статической

нагрузки,

равной q я, нить удлиняется

на 1 см. Начальная скорость груза

равна нулю.

 

 

Ответ: х —/-\- ~ -J- !х9

— I —

-t

 

 

42Р

32.10(837). На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на чертеже, цилиндрических шкива одинакового радиуса

 

свободно положен однород-

 

ный стержень; центрышки-

 

вов

О] и Ов находятся на

 

горизонтальной прямой OiOs;

 

расстояние OiOa = 2/;

стер-

 

жень

приводится в движе-

 

ние силами трения, разви-

 

вающимися в точках

каса-

К задаче 32.10.

. ния

его со" шкивами; эти

 

силы пропорциональны дав-

лению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен /.

1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х0 при г)0==0.

2) Найти коэффициент трения /, зная, что период колебаний Г стержня при / = 2 5 см равен 2 сек.

KjtUQcni, II X Ло LOS I I/

~~r-1 11

Zl

Гтгг

<

\r

I /'

' J

gT*

32.11 (838). К одной и той же пружине

подвесили сначала груз

весом р, а в,о второй раз груз весом

Ър. Определить, во сколько раз

изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также, начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и-отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.

Ответ: ^ =Vd;

Xl =~£-cosV^t;

xi=-~^cQSV^t.

* 1

Q

w P

'

С f

of)

3112. К пружине жесткостью с —2

tcrjcM сначала

подвесили

груз P t = 6 кГ, а затем

груз

Р%=\2кГ

(вместо

первого груза). ''

240

Смотрите также файлы