Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1153
Скачиваний: 2
Определить |
частоты |
и периоды |
колебаний |
грузов. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
а |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
Ответ: ki = \8,\ |
сек' |
, |
|
Д: = |
12,8 |
секк' ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i = |
0,348 сек, |
|
Г2 |
= |
0,49 |
сек. |
|
|
|
|
|
|||||||
32.13. |
К |
пружине, |
|
коэффициент |
жесткости |
которой |
равен |
||||||||||||||
с = 20 |
Г/см, |
подвешены |
два |
груза |
весом |
P t = |
0,5 кГ |
и Р$ = |
0,8 кГ. |
||||||||||||
Система находилась в покое в положении статического |
|
||||||||||||||||||||
равновесия, когда груз Р% |
|
убрали. |
Найти |
уравнение дви- |
|
||||||||||||||||
жения, |
частоту, |
круговую |
|
частоту |
|
и |
период |
колебаний |
|
||||||||||||
оставшегося груза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: х = 40cos6,26t см; |
Т—1сек; |
|
|
/=\гц; |
|
||||||||||||||||
k = 2тг сек'1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
32.14. |
Груз |
весом P t z = 2 |
кГ, |
подвешенный |
|
к |
пру- |
|
|||||||||||||
жине, |
коэффициент |
жесткости |
которой |
с = |
0,1 |
кГ/см, |
|
||||||||||||||
находится |
в |
равновесии. Каковы будут |
уравнение |
движе-" |
|
||||||||||||||||
ния и период колебаний груза, |
если |
к |
грузу Pt |
добавить |
|
||||||||||||||||
груз Р 9 |
= |
0,8 |
кГ? |
(См. чертеж |
к |
задаче 32.13.) |
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: х = —8cos5,9U; |
|
Т=1,06сек. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
32.15. |
I руз |
весом |
4 |
кГ |
|
подвесили |
сначала |
к |
пружине |
32 13. |
|||||||||||
с жесткостью |
сх = |
2 кГ/см, |
а затем |
к пружине |
|
с жест- |
|
||||||||||||||
костью |
са |
= |
4 |
кГ/см. |
|
Найти |
отношение |
частот |
и |
отношение пе- |
|||||||||||
риодов |
колебаний |
груза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: ^ |
= |
0,706; |
£ |
|
= |
1,41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
32.16. Тело весом Р находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости.
Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость VQ,направленная вниз по наклонной плоскости.
Начало координат взять в положении статического равновесия.
Ответ: x = ^slakt — |
cos kt, где к — |
К задаче |
32.16. |
К задаче 32.17. |
|
|
32.17. На гладкой |
плоскости, наклоненной к горизонту |
под |
углом |
|
а = 30°, находится |
прикрепленный к пружине груз весом |
Р. |
Стати- |
|
ческое удлинение |
пружины равно /. |
|
|
|
241
Определить |
колебания |
груза, если в начальный момент пружина |
|
была растянута |
из ненапряженного состояния на длину, равную 3/, |
||
и груз отпущен без начальной скорости. |
|||
Ответ: JC = |
2/COS( 1/ |
•§s i |
n a "Ч- |
32.18 (839). |
Тело весом |
Q = |
12 кГ, прикрепленное к концу пру- |
жины, совершает гармонические колебания. При помощи секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 сек. После
этого к концу пружины добавочно прикрепили груз весом Q1 = |
6 |
кГ. |
|||||||||||||
Определить период |
колебаний двух грузов на пружине. |
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
7\ = 7* 1/ |
"U |
= 0,55 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32.19. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения |
|||||||||||||||
одного |
груза |
Q и двух грузов (Q -j- Qi), если в обоих |
случаях |
грузы |
|||||||||||
|
|
|
были подвешены к концу нерастянутой пру- |
||||||||||||
|
|
|
жины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрет: |
1) |
х'= |
— 5,02 cos \4t |
|
см, |
||||||
|
|
|
2) |
X j = — 7 , 5 3 cos 11,At |
см, |
где |
х |
и |
хх |
||||||
|
|
|
отсчитываются'соответственно |
от каждого |
из |
||||||||||
|
|
|
двух положений |
статического |
равновесия. |
|
|||||||||
|
|
|
|
32.20 (840). Груз М, подвешенный к не- |
|||||||||||
|
|
|
подвижной |
|
точке А |
на пружине, |
совершает |
||||||||
|
|
|
малые гармонические колебания в вертикаль- |
||||||||||||
|
|
|
ной плоскости, скользя без трения |
по дуге |
|||||||||||
|
|
|
окружности, |
диаметр |
которой АВ |
равен /; |
|||||||||
|
|
|
натуральная |
длина |
пружины |
а; |
жесткость |
||||||||
|
|
|
пружины |
такова, |
что |
при действии силы, |
|||||||||
равной |
весу |
груза М, |
она получает |
удлинение, равное Ь. Определить |
|||||||||||
период |
Т колебаний в |
том |
случае, |
когда |
1=а-\-Ъ; массой |
пружины |
|||||||||
пренебрегаем |
и считаем, что |
при колебаниях |
она остается |
растянутой. |
|||||||||||
Ответ: Т = |
—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32.21. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения |
|||||||||||||||
груза М, если в начальный |
момент угол ВАМ — уа |
и точке М сооб- |
|||||||||||||
О |
|
|
щили начальную |
скорость |
v^ |
направленную |
|||||||||
|
|
по |
касательной к |
окружности |
вниз. |
|
|
|
|||||||
Ответ:
|
32.22. |
Тело |
Е, масса которого равна т, |
|
|
находится |
на гладкой горизонтальной |
плос- |
|
|
кости. К телу |
прикреплена пружина |
жест- |
|
К задаче 32 22. |
КОСТИ С, ВТОрОЙ |
КОНец КОТОрОЙ Прикреплен |
||
к шарниру О\. Длина недеформированной пружины равна /^ в положении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный FQ= C(1— 4), где 1=ООи Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины
лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела.
Ответ: Г = 2тс|/ -^-.
32.23 (841). Материальная точка весом Р подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью х>0, направленной вниз. Найти уравнение дви-
жения и период колебаний точки, |
если в момент времени, когда |
||||||||||
точка |
находилась |
в |
крайнем нижнем положении, к ней приклады- |
||||||||
вают |
силу |
Q = |
const, |
направленную |
вниз. |
|
|||||
Начало |
координат |
выбрать в положении статического |
равновесия, |
||||||||
т. е. на |
расстоянии |
Р/с от конца нерастянутой пружины. |
|||||||||
Где t |
отсчитывается |
от момента |
времени, когда начала |
действовать |
|||||||
сила |
Q; |
Т = 2тг V~P/cg. |
|
|
|
|
|||||
32.24 |
(832). |
Определить |
период |
свободных колебаний груза ве- |
|||||||
сом Q, прикрепленного к двум параллельно вклю- |
|
||||||||||
ченным пружинам, |
и коэффициент жесткости пру- |
|
|||||||||
жины, эквивалентной данной двойной пружине, |
|
||||||||||
если |
груз |
расположен |
так, |
что |
удлинения обеих |
|
|||||
пружин, |
обладающих |
|
заданными |
коэффициентами |
|
||||||
жесткости ct и сь |
одинаковы. |
|
|
|
|||||||
Ответ: |
= |
2ТЕ"[/ |
; с = Cl |
-f ca; рас- |
положение |
груза |
g {с |
а^/0.$^ сг/с\. |
|
таково, что |
||||
32.25. В условиях предыдущей задачи найти |
||||
уравнение |
движения груза, |
если его |
подвесили |
|
к нерастянутым пружинам и сообщили ему на-
чальную скорость |
ч?0> направленную вверх. |
|||||||
Ответ: х — |
— |
Q |
COS |
Cl + |
Са) g , |
|||
о |
||||||||
|
|
•fo]/~- |
|
|
||||
|
|
|
s i n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
iff""" Г |
|
Q |
|
32.26 (833). Определить период свободных ко- |
||||||||
лебаний груза весом Q, зажатого между двумя |
||||||||
пружинами |
с |
разными |
коэффициентами |
жестко- |
||||
сти С\ И С<ь |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
Т |
= ! |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
К задаче 32 24.
Ш/Ш/////////Л
К задаче 32 26
32.27. В |
условиях |
предыдущей задачи найти уравнение движе- |
ния груза, |
если в положении равновесия ему сообщили скорость Фо> |
|
направленную вниз. |
|
|
Ответ: |
х = v0 |
sin |
32.28 (834). Определить коэффициент жесткости с пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно
243
включенных пружин с разными коэффициентами жесткости ct и с3. и указать также период колебаний груза весом Q, подвешенного на
У/А
|
|
|
|
|
Ответ: ; = |
х№ cos l / |
-,—c}c*g, |
„ |
t — |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
с»)Q |
|
|
|
К |
задаче 32 28. |
|
|
|
•щ |
|
|
|
|
|
• t. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
32.30. Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалент- |
||||||||||||
ной двойной пружине, состоящей из |
двух |
последовательно вклю- |
|||||||||||
ченных пружин |
с разными коэффициентами жесткости |
с\ = |
1 кГ/см |
||||||||||
и С|= 3 кГ/см. |
Указать |
период |
колебаний, |
амплитуду |
и уравнение |
||||||||
движения груза |
весом |
Q = |
5 кГ, |
подвешенного |
на указанной двой- |
||||||||
ной |
пружине, |
если |
в |
начальный |
монент груз был |
смещен |
из поло- |
||||||
жения статического |
равновесия на |
5 см |
вниз |
и ему |
была |
сообщена |
|||||||
начальная скорость 49 см/сек, направленная также вниз. |
|
||||||||||||
Ответ: |
с~ |
|
|
- =0,75 кГ/см; |
Т = |
0,52 |
сек;' |
а = |
6,45 еж, |
||||
х — 5cos 7Ydt-\-~ |
sin 7УЗ t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
32.31. Тело Л |
масса |
которого |
равна |
tn, может |
перемещаться |
||||||
по горизонтальной |
прямой. К телу |
прикреплена пружина, |
коэффи- |
||||||||
циент жесткости которой |
с. Второй |
конец пружины |
укреплен |
в не- |
|||||||
|
|
|
подвижной точке |
В. |
При угле а = |
а0 |
пру- |
||||
|
|
жина не деформирована. Определить |
частоту |
||||||||
|
|
и период малых |
колебаний тела. |
|
|
||||||
|
|
|
Ответ: k |
|
|
С COS* a 0 |
|
|
|
||
|
|
|
-Y- |
m |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Т = '. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
с cos2 а„ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
К задаче 3231. |
|
|
32.32. Точка |
А, |
масса которой |
равна т, |
|||||
|
прикреплена пружинами, как указано на ри- |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
сунке. В исходном положении точка нахо- |
|||||||||
дится в равновесии и |
все пружины |
не напряжены. Определить ко- |
|||||||||
эффициент жесткости эквивалентной пружины при колебаниях точки вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих.
Ответ: с — с\ cos8 а.^-\- (с4 -\- с3) cos8 а2 -| ~ — cos9 <x3.
32.33. Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, показанным на чертеже, при колебаниях точки
244
М |
в |
абсолютно |
гладких |
направляющих |
вдоль |
оси х. Решить ту же |
|||||||||||
задачу, если |
направляющие |
расположены |
вдоль |
оси |
у. |
|
|
|
|||||||||
|
О |
|
|
8 |
|
р |
* |
+ c3 |
2 |
|
|
|
|
-{- |
|||
|
|
|
|
|
cos |
2 |
«3; |
cy |
= |
sin |
|||||||
|
|
сх |
= сг cos |
8 |
|
|
|
||||||||||
|
Ответ: |
|
91 -f- с« cos* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
-\- |
С4 |
Sin 3 Cp2—f— C3. |
|
|
пружины |
не |
напряжены и точка |
М на |
|||||||||
|
В |
исходном |
положении |
||||||||||||||
ходится в равновесии.
•а;
|
|
|
К задаче 32.32. |
|
|
|
|
|
|
К задаче 32.33. |
|
|||
|
32.34. Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружи- |
|||||||||||||
ны, |
если |
груз М прикреплен к стержню, массой которого пренебре- |
||||||||||||
гаем. |
Стержень |
шарнирно закреплен в точке |
О и прикреплен |
тремя |
||||||||||
вертикальными |
пружинами |
к |
фундаменту. Коэффициенты жесткости |
|||||||||||
пружин ci, c^ c3. Пружины |
прикреплены |
к стержню |
на расстояниях |
|||||||||||
П\, a* |
«s |
от шарнира. |
Груз |
М |
прикреплен |
к |
стержню |
на расстоя- |
||||||
нии |
Ь от |
шарнира. В |
положении |
равновесия |
стержень |
горизонтален. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквивалентная |
пружина |
кре- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пится |
к |
стержню |
на расстоя- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
нии |
Ъ от |
шарнира. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
||
|
К задаче 32 34. |
|
|
|
|
|
К задаче 32.35. |
||||
32.35. Груз |
весом |
10 |
кГ, |
лежащий на абсолютно гладкой гори< |
|||||||
зонтальной |
плоскости, |
зажат |
между |
двумя |
пружинами |
одинаковой |
|||||
жесткости |
с = |
2 |
кГ\см. |
В некоторый |
момент |
груз был |
сдвинут на |
||||
4 см от положения равновесия вправо |
и |
отпущен без начальной |
|||||||||
скорости. |
Найти |
уравнение |
движения, |
период |
колебаний, а также |
||||||
максимальную |
скорость |
груза. |
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
1) |
х — 4 cos 19,8£ |
см; 2) Т = |
0,317 |
сек; |
|
|||||
|
3) |
£щал = 79,2 cMJceK. |
|
|
|
|
|
||||
245