Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Ответ: х = -g- h cos kt, где

А2 = ~- (с -f- it-jr4). •

32.54 (846). В предыдущей

задаче

определить колебательное дви-

жение цилиндра, если

сопротивление

воды пропорционально первой

степени скорости и равно <xv.

Ответ: Движение

цилиндра будет

колебательным, если

К задаче 32.55.

скорости. Найти: 1)

число

размахав, которые совершит тело А,

2) величины размахов

и 3)

продолжительность Т каждого из них.

Ответ: 1)

Г = 0,628 сек; 2) 8 размахов;

3)

7,68 см, 6,56 см, 5,44

см,

4,32

см,

3,2 см, 2,08 см, 0,96

см,

0,16

см.

ных к

телу

одним концом и

к неподвижной стойке —другим; оси

ft

пружин

лежат

на

одной

горизон-

С/

тальной прямой. Коэффициенты жест-

кости

пружин

сх = с2 = 0,125

кГ/см;

коэффициент

трения

при

движении

о

тела

/ = 0 , 2 ,

при

покое

/„ = 0,25.

В

начальный

момент тело

было

К

задаче 32.57.

отодвинуто от своего среднего по-

ложения

О

вправо

в

положение

хо = д

см и отпущено без начальной

скорости.

Найти:

1)

область

возможных

равновесных

положений тела — «область

застоя»,

2) вели-

чины

размахов

тела, 3)

число

его

размахов,

4)

продолжительность

каждого из них,

5) положение

тела

после колебаний.

Ответ: 1) —0,5 см <.х<

0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см;

превосходит

период незатухающих

колебаний

То,

если

отношение

njk = 0,1 {№= c/m, n = <х/2от).

Ответ: Г л * 1,0057"0.

32.59. В

условиях предыдущей

задачи определить,

через

сколько

полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.

Ответ: через 7,5 полных колебаний.

32.60 (848). Для определения сопротивления

воды

движению мо-

дели судна

при очень малых скоростях модель

М пустили

плавать

в сосуде, привязав нос и

корму посредством двух оди-

наковых пружин An

В, силы

натяжения которых

пропор-

циональны

удлинениям. Ре-

К задачам 32.60 и 32.61.

зультаты наблюдений пока-

зали, что отклонения модели

от положения

равновесия

грессию, знаменатель

которой равен 0,9, а продолжительность каж-

дого размаха Т = 0,5

сек.

Определить в граммах силу R сопротивления

воды, приходящую-

ся на каждый грамм

веса модели, при скорости

ее, равной 1 см/сек,

предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой

сте-

пени

скорости.

Ответ:

R — 0,00043

Г.

32.61. В условиях

предыдущей задачи найти уравнение движения

модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пру-

жина

В

сжата

на величину

А1=

4см

и

модель

была отпущена без начальной скорости.

ШШШШШ

Ответ: х = е~й-2и

(4 cos 6,2& -f

0,134 sin 6,28*).

32.62 (849). Для определения вязкости жидко-

сти Кулон употреблял следующий метод: подвесив

на

пружине

тонкую

пластинку

А,

он

заставлял

ее

колебаться

сначала

в

воздухе,

а

затем в

той

жидкости,

вязкость

которой

надлежало

опреде-

лить, и находил продолжительность одного раз-

маха:

7"i — в

первом

случае

и

Г3

— во

втором.

Сила

трения между

пластинкой

и жидкостью

мо-

т77Я77ж/////х////////

жет

быть

выражена

формулой

2Skv,

где

2S—

ШШШШЖЖ

ПОверХНОСТЬ ПЛаСТИНКИ, V — ее

СКОРОСТЬ, k — КОЭф-

К задаче 32 62.

фициент вязкости. Пренебрегая трением между

'пластинкой

и

воздухом,

определить

коэффициент

k

по

найденным

из

опыта

величинам

7"j и Тъ

если

вес

пластинки

равен Р.

Ответ: k =

"

YT\ — Т\.

32.63 (850).

gbi

li

2

Тело

весом

5

кГ

подвешено

на

пружине, коэффи-

циент жесткости которой равен 2 кГ/см.

Сопротивление среды

про-

порционально

скорости. Амплитуда

после

четырех

колебаний умень-

шилась

в 12

раз.

Определить

период колебаний

и логарифмический декремент зату-

хания.

Ответ:

Т =

0,319

сек; ^

=

0,311.

32.64. В условиях

предыдущей

задачи

найти уравнение

движения

тела,

если

его

подвесили

к концу нерастянутой пружины и

отпустили

без начальной

скорости.

Ответ: х = е~х№(—

2,5 cos 19,2*— 0,252 sin 19,20.

32.65 (851). Тело

весом

5,88

кГ,

подвешенное

на пружине,

при

отсутствии

сопротивления колеблется с периодом Т =

0,4гс сек, а если

действует сопротивление, пропорциональное первой степени

ско-

рости, — с периодом

7\ =

0,5тс сек.

Найти

силу сопротивления k

при

скорости, равной 1 см/сек, и определить

движение, если в

начальный

момент

пружина

была

растянута из положения равновесия на 4 см

и

тело

предоставлено

самому

себе.

у/////////А

которой

с = 0,4

кГ/см. Масляный демпфер

вызывает

силу сопротивления, пропорциональную первой степени

скорости

и равную # = — од, где а = 0 , 1 кГ

сек/см.

Груз Р 2

сняли. Найти после этого уравнение движе-

ния груза Pv

'

Ответ: х=

8,34е-4-5' — 0,84е-«.5'.

32.68.

Статическое удлинение пружины под дей-

IP,

ствием груза

Р

равно /. На колеблющийся груз

действует

сила

сопротивления среды, пропорциональ-

сопротивления а, при котором процесс движения

будет

апериодическим.

Найти

период затухающих

колебаний,

если

коэффициент сопротивления меньше найденного значения.

Ответ:

аз=•2Р

При а<<

IP •движение

будет

колебательным

У if

У if

с периодом Т = ~\/ ~

— т—Г .

32.69.

Груз весом

100 Г, подвешенный

к

концу

пружины,

дви-

жется в жидкости. Коэффициент жесткоста

пружины с = 20

Г 1см.

Сила

сопротивления движению

пропорциональна первой

степени ско-

рости

груза: R~av,

где а = 3,5

Гсек/см.

Найти

уравнение

движения

груза и построить зависимость пере-

мещения от времени, если в начальный момент груз

был

смещен из

положения

равновесия

на х о = 1 см и отпущен без начальной

ско-

рости.

Ответ: * = e-1 7 .1 5 '(l,36e9 .9 5 ' — 0,36е-9-950

см.

сопротивления

движению

пропорциональна первой

степени

скорости

груза: R = av,

где

а — 3,5

Г сек/см.

Найти уравнение движения груза и построить график зависимости

перемещения

от

времени,

если в начальный момент груз смещен из

положения статического

равновесия на расстояние

хо=1

см и ему

была

сообщена

начальная

скорость 50

см/сек

в направлении, про-

тивоположном смещению.

Ответ: х = е~17-ш(—

1,15е9.95' + 2,15е-9-950

см.

32.71. Груз

весом

100 Г, подвешенный к концу пружины, движется

в жидкости. Коэффициент жест-

кости

пружины

с = 20

Г/см.

Сила

сопротивления

движению

пропорциональна

первой степени

скорости груза: R = av,

где а

=

= 3,5

Г

сек/см.

Найти

уравнение

движения

груза и построить

график зависи-

ВЛЗ W

teen

мости

перемещения

от

времени,

К решению задачи 32.71.

если в начальный момент груз

был смещен из положения равновесия на

J C O

= 5 см и ему была

сооб-

щена

начальная скорость в том же направлении 10 см/сек.

Ответ: x = e-i7-i5'(7,30e9-m

--2,30<?-9-9W)

см.

К

задаче 32.72.

К задаче

32.74.

точки А равен

Р,

коэффициент жесткости

пружины с, длина стержня

I,

расстояние

ОВ = Ь.

Массой

стержня

пренебречь.

В положении

равновесия

стержень

горизонтален. При каком значении коэффициента

а

движение

будет

апериодическим?

Ответ:

Х)

£

.

-

. - *

* . -

*