Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Скачать файл (15,41Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1147

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

32.73. Приколебаниях груза весом 20 кГ, подвешенного на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 полных колебаний за 9 сек. Каквелик коэффициент сопротивления а (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени скорости) и каково значение коэффициента жесткости с?

Ответ: а = 0,00314 кГ см~1сек\ с= 0,99				кГсм'1.
32.74. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний
точки	А и определить	частоту затухающих		колебаний. Вес точки А
равен	Р, коэффициент	жесткости	пружины	с, расстояние	ОА = Ь,
ОВ = 1. Сила сопротивления среды			пропорциональна первой		степени
скорости, коэффициент пропорциональности				равен а. Массой стержня

ОВ, шарнирно закрепленного в точке О, пренебрегаем. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим?

Р_

Ответ: I) — 2) *i = V W — сек g

3) а: 21 1 / сР

в) Вынужденные колебания

32.75. Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Q = — сх и достоянной силы Ff>. В начальный момент £= 0 хо = О и хо = О. Найти также период колебаний.

Ответ: х = — (1 — cos kt),		где k = 1/ —; Т = 2%lk,
с		f	tti	'
32.76. Определить уравнение прямолинейного движения						точки
массы т, находящейся под действием			восстанавливающей силы			Q =
= — сх и силы F — oi. В начальный момент					точка	нахо-
дится в	положении	статического		равновесия	и скорость
ее равна	нулю.
Ответ: х=—р		[kt — sin kt), где k•-VI

32.77. Найти уравнение прямолинейного движения точ-

вки весом Р, на которую действует восстанавливающая сила Q = — сх и сила F = Foe^, если в начальный мо-

мент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.

Ответ:

S	v _			где ft = j/^f
К задаче	( + )\
	32.78 (853). На пружине,			коэффициент	жесткости ко-
32.78.
	торой с = 20 Г1см,		подвешен магнитный		стержень ве-
	сом 100 Г. Нижний		конец	магнита проходит через ка-
гушку,	по которой идет	переменный		ток /= 20 sin 8nt ампер. Ток
идет с момента времени £=		0, втягиаая стержень в соленоид; до этого
256

момента магнитный стержень висел на

пружине

неподвижно. Сила

'взаимодействия между магнитом и катушкой определяется

равенством

F=16nl

дан. Определить

вынужденные

колебания

магнита.

Ответ: х = —0,023 sin 8nt

см.

32.79. В условиях предыдущей задачи

найти уравнение движения

магнитного

стержня, если

его

подвесили

к концу нерастянутой пру-

жины

и отпустили без начальной скорости.

Ответ: х = {— 5cos Ш-(-0,041 sin Ш — 0,023sin8nO

см.

32.80. В условиях задачи 32.78 найти уравнение движения магнит-

ного стержня, если ему в

положении статического

равновесия сооб-

щили

начальную скорость чзо = 5 см/сек.

Ответ: х = (0,4 sin Ш — 0,023sin 8nf)

см.

32.81

(855).

Гиря

М подвешена

на

пру-

жине

АВ, верхний

конец которой

совершает

гармонические

колебания

по

вертикальной

прямой

амплитуды

частоты

п: ОХС

^asinnt

a sin nt см.

Определить

вынужденные ко-

лебания

гири

при

следующих

данных:

вес

гири

равен 400

Г,

от действия

силы

пружина

удлиняется

на

1 см,

2 см,

п = 7

сек'1.

Ответ:

х = 4 sin It

см.

32.82 (856). Определить движение гири М

(см. задачу

32.81),

подвешенной

на

пружи-

не АВ, верхний конец которой А совершает

гармонические колебания по вертикали ампли-

туды а и круговой частоты

k, статическое ра-

стяжение пружины под действием веса гири

равно б. В начальный момент

точка А

за-

к задаче 32.81.

нимает

свое

среднее

положение,

гиря

находится в покое; начальное положение гири принять за начало

координат, а ось			Ох	направить		по вертикали	вниз.
Ответ:т: х = k2^				I k ^f	- sin j / " \| - 1 —sin kt\ при
							при £ =
32.83 (858).			Статический		прогиб рессор		груженого	товарного
вагона	Д/Ст	= 5	см.	Определить		критическую скорость		движения
вагона,	при	которой		начнется «галопирование»			вагона, если	на стыках

рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные коле-

бания вагона на рессорах;		длина рельсов L =		12 м.
Ответ: г>=96	км/час.
32.84 (859). Индикатор паровой			машины	состоит из цилиндра	А,
в котором ходит поршень В, упирающийся в пружину D; с поршнем
соединен стержень	ВС, к	которому	прикреплен пишущий штифт		С.

Предполагая, что давление пара р на поршень В, выраженное в килограммах на квадратный сантиметр, изменяется согласно формуле

9 И, В. Мещерский

257

p = 4 - f - 3 s ln у*,

где

7"—время

одного

оборота

вала,

определить

амплитуду

вынужденных

колебаний штифта С, если вал совершает

об/сек,

при

следующих

данных:

площадь поршня

индикатора а =

4 см%, вес

подвижной

части

инди-

катора

Q =

1 кГ;

пружина сжимается на 1 см си-

лой

кГ.

Ответ: а =

4,54

см.

32.85.

условиях

предыдущей

задачи

найти

уравнение движения штифта С, если в начальный

момент

времени

система

находилась

покое в по-

ложении статического

равновесия.

Ответ: х=(—1,57

sin 54,3* -j- 4,54 sin 6rf)

см.

32.86.

Груз

весом

Q = 200

Г,

подвешенный к

пружине,

коэффициент

жесткости

которой

с =

к задаче 32.8**ч

= 1

кГ/см,

находится

под действием

силы

5 =

Г _ =Hs'mpt,

где

Я = 2 , 0

кГ, р =

Ш сек'1.

В началь-

ный момент Хо= 2 см,

Хо=10

см/сек.

Начало

координат выбрано

в положении статического

равновесия.

Найти

уравнение

движения груза.

Ответ: лг=

(2cos 70*—2,77 sin 70*-)-4,08 sin50*)

см.

32.87.

Груз

весом

Q = 200

Г,

подвешенный

пружине,

коэф-

фициент жесткости

которой

с =

1 кГ\см,

находится

под действием

силы S=Hsmpt,

Ш////////////Ш

где	Н=2	кГ, р=70 сек'1. В начальный момент
л;о=2	см, J C O = 1 O		см/сек.	Начало координат вы-
брано в положении статического равновесия.
Найти уравнение			движения	груза.
Оотве/в: л;=(2 cos 704-1,14sln 70—70*					cos70*)c«.
	г) В л и я н и е с о п р о т и в л е н и я
	на в ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я
32.88 (854). На пружине, коэффициент жестко-
сти которой		с = 20	Г(см,	подвешены	магнитный


стержень			весом		50 Г, проходящий через соленоид, и
медная		пластинка				весом	50 Г,	проходящая			между
полюсами			магнита.			По	соленоиду		течет ток 1=
=	20 sin 8тс* ампер					и развивает силу			взаимодействия
с	магнитным			стержнем			F = 1 6 «	дин.		Сила	тормо-
жения		медной		пластинки			вследствие		вихревых		токов
равна £г>Ф3, где					А; =10"*, Ф = 1000 V5					единиц CGS
и v — скорость					пластинки. Определить					вынужденные
колебания пластинки.

К задачам			Ответ: х — 0,022 sin (8тс* — 0,9lit)		см.
32 88	н 32 89.
			32.89. В условиях предыдущей задачи найти урав-
нение	движения		пластинки, если	ее подвесили вместе	с	магнитным
стержнем		к концу нерастянутой		пружины и сообщили	им	начальную
скорость		©в= 5	см/сек, направленную вниз.

258

;

	Ответ'. х=е~2-51(~4,99	cos 13,75-0,56 sin 13,75) +
			+ 0,022 sin (8 я * - 0,91 я) см.
	32.90 (857). Материальная точка		весом	Q = 2	кГ	подвешена
к	пружине, коэффициент	жесткости	которой	равен	с = 4		кГ/см.
На	точку действует возмущающая сила		5 = 1 2	sinQ?* + 6)		кГ	и сила

сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости

и равная R = 0,5 Уте		х кГ, Чему равно наибольшее значение			Атах
амплитуды	вынужденных колебаний?		При какой частоте р	амплитуда
вынужденных колебаний достигает наибольшего значения?
Ответ	Л т а х = 6,21	см; /7 = 41,5	сек*1.
32.91.,	В условиях	предыдущей задачи найти уравнение		движения

точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость

были равны:

дго

= 2

см,

хо — 3

см/сек.

Частота

возмущающей

силы

^ = 30

сек*1,

начальная

фаза

возмущающей

силы

6 = 0°.

Начало

координат

выбрано в положении статического равновесия.

Ответ: х*=е-°'ть(

(2 cos 1,73*+ 1,95 sin 1,73*) +

0,0067 sin (30* — я )

см.

32.92 (861),

Материальная

точка весом р = 3 Г

подвешена к пру-

жине с коэффициентом жесткости с = 1 2

Г/см.

На точку

действует

возмущающая

сила

F=H

sin

(62,6* + f5)

сила

сопротивления,

пропорциональная первой степени скорости и рав-

ная

R = av

Г.

Во сколько раз уменьшится амплитуда вынуж-

денных колебаний точки, если сила сопротивления

увеличится

три

раза?

Ответ:

Амплитуда

вынужденных

колебаний

уменьшится

три

раза.

32.93. Тело весом 2 кГ, прикрепленное пру-

жиной к неподвижной точке А, движется по глад-

кой

наклОННОЙ ПЛОСКОСТИ, Образующей

угол

а с

К задаче 32.93.

горизонтом,

под

действием

возмущающей

силы

«S=l,8 sin Ю* кГ

и силы сопротивления, пропорциональной скорости:

/? = —0,03©

кГ, Коэффициент жесткости пружины с = 5 кГ/см. В на-

чальный

момент

тело

находилось в покое в положении

статического

равновесия. Найти

уравнение

движения

тела,

периоды

свободных

и Тх вынужденных

колебаний, сдвиг фазы

вынужденных

колебаний и

возмущающей силы.

Ответ:

х== 10-*-е-7.35'(2,3 cos 49*-7,3 sin49*) +

0,374 sin (10* — 3°34')

см;

Г = 0,128

сек;

3) 7\ = 0,628

сек;

е =

3°34\

32.94.

На

тело

весом

Q = 392

Г,

прикрепленное

пружине

коэффициентом

жесткости

е = 4

кГ/см,

действует

сила

5 =

==Нsinpt

кГ, где

/ / = 4 кГ,

р — 50

сект1,

сила

сопротивления

R = av,

где

а = 25

Г сек/см,

v — скорость

тела. В начальный момент

тело покоится в положении статического

равновесия. Написать

урав-

нение движения груза и определить значение круговой

частоты р,

при

котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.

259

Ответ: х = ae~nl sin (У k2 —я2 *-f р) —Л sin (pt —е), где

ел,

е == arctg ^ ^ - 2 = 0,416, я == 31,25 «й-», у& - и2 = 95 сек-1.

Максимальная амплитуда получается при круговой частоте возбуждения

32.95.На тело весом Q Г, прикрепленное к пружине с коэффи-

циентом жесткости с Г/см, действуют возмущающая сила S=Hsin pt Г и сила сопротивления R = av Г, где v — скорость тела. В начальный момент тело находится в положении статического равновесия и не имеет начальной скорости. Найги уравнение движения тела, если

х = ~ ^ — - (2я cos

	X sin		К
где	fth - ^Q	,	2	п/ —j -		a g
			ftй —Q,- ^
	32.96. На тело весом б кГ, подвешенное к пружине с жесткостью
с =	18 кГ/см, действует			возмущающая сила Р			оsinatf. Сопротивление
жидкости		пропорционально				скорости. Каким	должен	быть коэф-
фициент		сопротивления		а	вязкой жидкости,		чтобы	максимальная

амплитуда вынужденных колебаний равнялась утроенному значению

(Статического смещения пружины? Чему равняется						коэффициент рас-
стройки	z	(отношение круговой		частоты	вынужденных		колебаний
К круговой		частоте свободных колебаний)? Найти сдвиг фазы вынуж-
денных колебаний и возмущающей силы.
Ответ: ос = О,П5 кГ слгЧек;				z = 0,97;	e = 79°48\
32.97. На тело весом Q = 100 Г, прикрепленное к пружине с коэф-
фициентом		жесткости с = 5	кГ/см,	действует сила		S—Hsinpt,		где
/ / = 1 0	кГ,	/7=100 сек'1,	и сила	сопротивления		R = $v,	где	§ =
= 50 Г	сек/см.