Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

R за 30 см

катится

без

скольжения

по горизонтальной

плоскости,

делая вокруг

своей

оси 60 об/мин.

Вычислить

главный момент количеств движения диска относительно

осей: 1) проходящей

через центр диска

перпендикулярно

к плоско-

сти движения; 2) относительно мгновенной оси.

Ответ: 1) 1,44 кГм cert; 2) 4,32

кГмсек.

37.2. Вычислить главный момент количеств

движения линейки АВ

эллипсографа в абсолютном движении относительно

оси z, совпадаю-

щей с осью вращения кривошипа ОС, а также

в относительном дви-

жении

по

отношению

к

оси, проходящей

через

центр

тяжести С

линейки

параллельно

оси z. Кривошип

вращается

с угловой скоро-

стью, проекция которой

на ось z

равна

сог; масса

линейки равна т;

ОС = АС — ВС = I

(см. чертеж

к

задаче

34.5).

Ответ:

,

2

„

.

тР

LOz —-g- ml'm/,

Lcz='

3- иг .

37.3. Вычислить главный момент

количеств

движения

планетарной

передачи относительно

неподвижной

к задаче З7.з.

о с и z>

совпадающей

с осью

враще-

ния кривошипа ОС3. Неподвижное

колесо

/

и

подвижное

колесо

8 — одинакового

радиуса

г. Масса

колеса

3

равна

т. Колесо 2 массой

/я2

имеет

радиус

г2. Кривошип

вращается с угловой скоростью, проекция которой

на ось z равна

wz.

Массой кривошипа пренебречь. Колеса считать однородными дисками.

umeem:

LQZ = —

^-~

' (г -j-г ) со^.

37.4. (990). Натяжения ведущей и ведомой ветвей

ремня, приво-

дящего во вращение шкив радиуса

г = 20 см,

весом

Р = 3,27 кГ,

соответственно

равны:

7\=10,1

кГ,

Т2 — 5,05

кГ.

Чему

должен

быть

равен

момент

сил сопротивления

для того,

чтобы

шкив вра-

щался с угловым

ускорением 8=1,5 сек"2?

Шкив

счиаагь

однород-

ным диском.

Ответ: 1 кГм.

37.5 (991). Для определения

момента

трения

в цапфах

на

вал

насажен

маховик

весом

0,5 т; радиус

инерции маховика

р = 1,5 м.

предоставленный самому

себе, он остановился через

10 мин. Опре-

делить момент

трения, считая его постоянным.

Ответ: 4,8

кГм.

37.6 (992). Однородный круглый диск

диаметром

10 еж и весом

1 н делает 100 обj мин.

Постоянная сила

трения, будучи приложена

Ответ: 7 =

^ 1 ^ 1 + - ^ ) .

37.8

(994). Твердое

тело,

находившееся

в покое, приводится во

вращение

вокруг неподвижной

вертикальной

оси постоянным момен-

том, равным М; при этом

возникает

момент сил сопротивления Мъ

пропорциональный

квадрату

угловой

скорости вращения

твердого

тела: vM1 = aa>2. Найти

закон

изменения угловой

скорости; момент

инерции

твердого

тела

относительно оси вращения равен J.

„

-шГЪ

— 1

„

2

Ответ: w = |/ -^

где р=

у

37.9

(995).

Решить

предыдущую задачу в предположении, что

момент

сил сопротивления

Мх

пропорционален

угловой

скорости

вращения

твердого

тела: Л'11 = асо.

„

М!л

ш.\

Ответ:

ш = —

1 — е—т < .

угловой скорости

вращения: R — am(o,

ШШШШШШШШ/'.

где т — масса шарика, а — коэффициент

пропорциональности. Определить,

через

, К задаче 37.10.

какой промежуток

времени угловая Ско-

рость вращения станет в два раза

меньше начальной, а также число

оборотов, которое

сделает стержень с шариком за этот промежуток

37.12 (997).

Вал

радиуса

г приводите» во

вращательное движение вокруг

горизонтальной

оси гирей, подвешенной посредством троса. Для

того

чтобы угловая

скорость

вала через неко-

торое время после начала движения имела вели-

чину, близкую к постоянной, с валом соедине-

ны п одинаковых

пластин; сопротивление воз-

духа,

испытываемое

пластиной, приводится к

к задаче 37.il.

силе, нормальной к пластине,

приложенной на

расстоянии R от

оси вала и пропорциональной

квадрату ееугловой

скорости, причем

коэффициент пропорциональ-

ности

равен k. Масса гири от, момент инерции всех вращающихся

частей

относительно

оси вращения равен J; массой троса итрением

в опорах пренебречь.

Определить угловую скорость со вала, предполагая, что в началь-

ный момент она равна нулю.

Ответ: ®-у^^прг,

где a^j^^V

mgnkrR i ,

при достаточно

большом

значении

t

угловая

скорось ш близка к

постоянной величине 1/ , „ •.

37.13

(998).

г

knti

Определить

закон вращения

вала,

рассмотренного

в предшествующей задаче, считая, что при отсутствии

гири начальная

угловая скорость вала

равнялась <в0. Начальный угол

поворота счи-

тать равным нулю.

Ответ: Ф= ~ Ш

(l

)

37.14

(999).

Определить

закон

вращения

вала,

рассмотренного

в задаче 37.12, считая силу

сопротивления движению пропорциональ-

ной угловой скорости

вала.

Начальный угол

поворота принять рав-

ным нулю.

Ответ: Ф = а[<1+ | ( ^ - 1 ) ] ,

где a

37.15

(1014). Упругую проволоку,

на которой подвешен однород-

предоставляют

ей свободно раскручиваться. Момент, необходимый для

закручивания проволоки на один

радиан, равен с.

Определить

движение,

пренебрегая сопротивлением воздуха и

считая момент

силы

упругости

закрученной проволоки пропорцио-

нальным углу кручения ф.

Ответ: <р — ф0 cos I/

^—^ t.

•

"

f imr' •

37.16

(1015).

Часовой балансир

А может вращаться

вокруг

пер-

пендикулярной к

его

плоскости

оси, проходящей через

центр

тяже-

сти О, имея относительно этой оси момент инерции J. Балансир при-

водится в движение спиральной

пружиной, один конец которой с ним

скреплен,

а другой

присоединен к

неподвижному корпусу

часов.

Ответ:

<р = а>0 Т/

— sin l /

-jt.

К задаче

37.16.

37.17

(1016). Для определения момента

инерции J2 тела А

отно-

сительно

вертикальной оси Oz его прикрепили к упругому

верти-

кальному стержню ОО\, закрутили этот стер-

жень,

повернув

тело

А

вокруг оси Oz

на

ма-

лый угол ср0, и пустили колебаться; продолжи-

тельность

100

размахов

оказалась

равной

1007*1 == 2 мин,

где 7*1 — половина

периода;

момент

сил

упругости

относительно

оси

Oz

равен

тг

=

— сер.

Для

определения

коэффи-

циента с

проделали

второй

опыт: на

стержень

в точке О был надет однородный круглый диск

радиуса г =

15

см,

весом Р = 1,6

кГ,

и тогда

продолжительность

одного

размаха

оказалась

равной 7*2=1,5 сек. Определить момент инер-

ции тела

Jz.

Ответ: Jz=^-i^)

=0,117

кГ см сек%.

К задаче 37.17.

Ответ: 1 /,=-7 г

X

ч,

37.19 (1018). Бифилярный подвес

состоит из

I—

однородного

стержня

АВ

длиной 2а,

подвешенно-

го ГОрИЗОНТаЛЬНО ПОСреДСТВОМ ДВуХ ВерТИКаЛЬНЫХ

К задаче 37.19.

нитей длиной /, отстоящих друг от друга на рас-

стоянии 2Ъ. Определить

период крутильных колебаний стержия, по-

лагая, что

стержень

в

течение всего времени движения остается в

диска, рассмотренного в предыдущей задаче.

»

Ответ: Амплитуды

колебаний диска

убывают

по

геометрической^

anS

i

прогрессии

со

знаменателем

е

^^J—<*2s\

J

37.22. Твердое

тело, подвешенное на

упругой

проволоке,

сов ер-1

шает

крутильные

колебания

под

действием

внешнего

момента т-ц,

причем

>пв — mism

at

-\-m3

sin dat,

где

ть

т3

и

со — постоянные,

а г —ось,

направленная

вдоль

проволоки. Момент упругости

прово-

локи равен /яу п р ,

причем OTynpz =—С Ф> рДе с — коэффициент упру-

гости,

а ф — угол

закручивания. Определить закон вынужденных кру-

тильных

колебаний

твердого

тела,

если

его момент

инерции относи-

тельно

оси

z

равен' Jz.

Силами сопротивления

движению пренебречь.

Считать, что Т/^-^сои

1/

у-

Ответ:

ф =

*

stnco^ -f- ^—^-5-sin3otf,

где

Ь 2

с

.

и

m l

U

т»

И.

j-,

Ui — у - ,

Из — ~Т~•

37.23. Решить предыдущую задачу с учетом момента сопротивле-

ния отс, пропорционального угловой скорости твердого

тела,

причем

fftCJ5 — —РФ, где

р — постоянный коэффициент.

Ответ: ф= Ах

sin (fttf — ex) +

А3

sin (3co£ — е3),

где

— со2)2

+ 4п*ш*'

V{№ — 9со2

2/ио

,

бшв

e a

c

t

g

37.24 (1021). Для определения коэффициента вязкости

жидкости

наблюдают

колебания

диска,

подвешенного

к

упругой

проволоке

в жидкости. К диску

приложен

внешний момент,

равный

Mosinpt

(Ма = const),

при

котором

наблюдается

явление

резонанса. Момент

сопротивления движению диска в жидкости равен aSa,

где а — коэф-

фициент вязкости

жидкости, 5 — сумма площадей

верхнего

и нижнего

оснований

диска,

со—угловая

скорость

диска. Определить коэффи-