Определить время т торможения и угол |
ср поворота |
кривошипа |
за это время, если его вес равен Р, О—вес |
сателлита, R |
и г —соот- |
ветствующие радиусы. Кривошип принять за однородный тонкий
стержень, а сателлит — за |
однородный |
диск. |
У к а з а н и е . Применить теорему об |
изменении кинетической энергии |
в дифференциальной форме. |
|
|
Ответ: *=ГГТТ— ^ |
ш = _ — — о»3, где |
38.54. Крестовина С приводится во вращение вокруг неподвижной оси Ог посредством однородного стержня АВ, вращающегося вокруг
К задаче 38.53. К задаче 38.54.
неподвижной оси О (оси О и Ох перпендикулярны к плоскости чертежа). При этом ползуны А и В, соединенные при помощи шарниров со стержнем АВ, скользят вдоль взаимно перпендикулярных прорезей крестовины С. Вращение стержня происходит под дейст-
вием |
постоянного |
вращающегося момента |
тър. Определить |
угловую |
скорость стержня |
АВ в момент, когда |
он сделает четверть |
оборота, |
если |
в начальный |
момент при <р = 0 |
он |
имел угловую скорость ш0. |
Величина момента сопротивления, возникающего в каждом из шарниров ползунов А и В, в два раза меньше твр. Прочими силами сопротивления пренебречь. Масса стержня равна т; момент инерции
крестовины С относительно |
оси Ох равен J; 001 = 0А=ОВ = 1, |
Ответ: « = ]/" 6 w "B " |
~ |
§ 39. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
39.1 (1082). Тяжелое тело состоит из стержня АВ длиной 80 см и весом 1 « и прикрепленного к нему диска с радиусом 20 см и весом 2 н. В начальный момент при вертикальном положении стержня телу сообщено такое движение, чю скорость центра тяжести Мг стержня
равна нулю, а скорость |
центра тяжести |
М2 диска |
равна 360 см}сек |
и направлена по горизонтали вправо. |
|
|
Найти |
последующее |
движение тела, принимая во внимание только |
действие |
силы тяжести. |
|
|
|
Ответ: Тело равномерно вращается |
с угловой |
скоростью 6 сек'1 |
вокруг своего центра тяжести, который описывает параболу _у2 = 117,5 х
(начало |
координат — в |
точке В, |
ось у |
направлена по |
горизонтали |
вправо, |
ось х — вниз). |
|
|
|
|
|
|
39.2. Диск |
падает |
в |
вертикаль- |
|
|
|
|
|
ной |
плоскости |
под действием |
силы |
|
|
|
|
|
тяжести. В начальный момент дис- |
|
|
|
|
|
ку |
была |
сообщена |
угловая |
|
ско- |
|
|
|
|
|
рость щ, |
а его |
центр |
тяжести С, |
|
|
|
|
|
находившийся |
в |
начале |
координат, |
К задаче 39.1. |
К задаче 39.2. |
|
имел |
горизонтально |
|
направленную |
|
|
|
|
|
скорость Ф0. |
|
|
|
|
|
|
|
Найти уравнения движения диска. Оси х, |
|
у |
изображены |
на |
рисунке. Силами сопротивления |
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
xc—vot, |
ус — -%—, |
(f==a>0(, где |
<р — угол |
поворота |
диска, |
образованный |
осью х |
и диаметром, |
занимавшим |
в начальный |
момент |
горизонтальное положение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39.3. Решить предыдущую |
задачу, |
считая, что |
момент |
тс |
сопро- |
тивления движению |
относительно подвижной |
горизонтальной |
оси, |
проходящей через центр тяжести С диска перпендикулярно к плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой скорости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен р.
Момент инерции диска |
относительно этой оси равен |
Jc. |
|
Ответ: |
xc*=*vot, |
_yc = - — t |
<p = . |
— е |
Jc |
|
где ф — |
|
|
|
|
|
|
угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, |
занимав- |
шим в начальный момент горизонтальное положение. |
|
|
39.4 (1084). Ведущее колесо автомашины радиуса г и весом Р дви- |
жется горизонтально и |
прямолинейно. К колесу |
приложен |
вращаю- |
щий момент |
М. Радиус инерции |
колеса относительно |
оси, |
проходя- |
щей через центр тяжести перпендикулярно к его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен /. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
» ' Ответ: VWsjc/P— т .
39.5. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен /й .
Ответ: M^fP г
39.6 (1085). Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направленная движущая |
сила F. Радиус инерции колеса относительно |
оси, проходящей |
через |
центр тяжести перпендикулярно к его пло- |
скости, |
равен р. Коэффициент |
трения скольжения |
колеса о |
землю |
равен /. Радиус |
колеса |
равен |
г, вес колеса равен |
Р. Какому |
усло- |
вию должна удовлетворять |
величина силы F для того, чтобы |
колесо |
катилось |
без скольжения? |
Сопротивлением качения |
пренебречь. |
Ответ: F^fP |
|
r*+9\ |
|
|
|
|
39.7. Решить |
предыдущую задачу с учетом трения качения, если |
коэффициент трения |
качения равен /*. |
|
|
О т в е т F^fP(r* |
+ f)rPh-r |
m |
|
|
39.8. К осиколеса весом Р и радиуса г приложена постоянная по |
модулю |
горизонтальная |
сила F. Найти зависимость между этой силой |
и силой |
трения |
при условии, |
что центр тяжести С колеса неподви- |
жен или движется |
равномерно и |
прямолинейно. Определить |
также |
угловую |
скорость колеса, |
если в начальный момент оно находилось |
в покое. Массу |
колеса |
считать |
распределенной равномерно |
по его |
ободу. Трением качения пренебречь. |
|
|
Ответ: FTp=F; |
<f = |
-^-t. |
|
|
|
39.9. Колесо радиуса г катится по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента
mbV = -y-fPr, где/—коэффициент трения скольжения, Р — вес колеса.
Определить скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом(скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ:Ц-t.
39.10. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения /ft = —/г.
Ответ: -jfgt.
39.11 (1087). Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием собственного веса по наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения /. Определить угол наклона Плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: a<;arctg3/; w — -2^gsina.
39.12. Два цилиндра одинакового веса скатываются без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а. к горизонту. Масса первого цилиндра равномерно распределена по его боковой поверхности, второй цилиндр — сплошной. Определить разность между ускорениями центров тяжести второго и первого цилиндров. Трением качения пренебречь.
Ответ: Ускорение центра тяжести сплошного цилиндра больше ускорения центра тяжести первого цилиндра на 1/в g sin a.
39.13. Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Ось диска образует угол (3 с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра тяжести диска, считая, что его качение
происходит в одной вертикальной плоскости. 2
Ответ: •ffi>c=-7r-g'smasinp.
39.14 (1088). Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием собственного веса со скольжением по наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения /. Определить
угол наклона плоскости к горизонту |
и ускорение оси цилиндра. |
Ответ: a > a r c t g 3 / ; w=g(sina |
— /cosa). |
39.15 (1089). Однородное колесо радиуса г скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
каком |
значении |
коэффициента трения качения fk |
центр |
тяжести |
|
|
|
колеса |
будет двигаться |
равномерно, а |
колесо |
|
|
|
яри |
этом будет |
равномерно вращаться |
вокруг |
|
|
|
оси, |
проходящей |
|
через |
центр |
тяжести |
перпен- |
|
|
|
дикулярно к его |
|
плоскости? |
|
|
|
|
|
|
Ответ: fk = |
r tg a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
39.16 (1090). На барабан однородного катка |
|
|
|
весом Р и радиуса |
г, лежащего на горизонталь- |
|
|
|
ном |
шероховатом |
полу, |
намотана нить, к ко- |
К |
задаче |
39.16. |
торой |
приложена |
сила |
Т |
под |
углом |
<х к го- |
|
|
|
ризонту. Радиус |
|
барабана |
а, |
радиус |
инерции |
катка р. Определить закон движения оси катка О. В начальный момент каток находился в покое, затем катился без скольжения.
г\ |
|
Т |
г в (г cos a—а) ,« |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
х = -р— 2 , а . 2, |
г» причем |
ось х |
направлена |
слева |
направо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39.17 |
(1092). Однородный |
стержень АВ |
весом Р |
горизонтально |
подвешен |
к |
потолку посредством двух |
вертикальных |
нитей, |
прикреп- |
|
|
|
|
|
ленных |
к |
концам |
стержня. |
|
|
|
|
|
Найти |
натяжение одной |
из ни- |
|
|
|
|
|
тей |
в |
момент обрыва другой. |
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Составить диф- |
|
|
|
|
|
ференциальные уравнения |
движе- |
К задаче |
39.17. |
К задаче 39.18. |
ния |
стержня |
для весьма малого |
промежутка |
времени, |
следующе- |
|
|
|
|
|
го за моментом обрыва нити, |
пренебрегая |
изменением направления стержня и изменением расстояния |
центра тяжести стержня от другой нити. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Т=—£. |
|
|
|
|
|
|
|
|
39.18 (1093). Однородный стержень АВ весом Р подвешен в точке О на двух нитях равной с ним длины.
Определить |
натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. |
(См. указание к задаче 39.17.) |
|
|
Ответ: Г = 0,266Р. |
|
|
39.19 (1094). |
Однородный тонкий стержень |
длиной 21 и весом Р |
лежит на двух |
опорах А и В; центр |
тяжести |
С стержня находится |
на одинаковых |
расстояниях от опор, |
причем |
|
|
СА = СВ = а; давление на каждую |
опору рав- |
Д £ |
В |
|
но '/sР. Как изменится давление на опору А в |
|
|
|
тот момент, |
когда опора |
В будет |
мгновенно |
К задаче 39 ]9. |
|
удалена? (См. указание |
к задаче 39.17.) |
|
|
|
|
Ответ: |
Давление |
на |
опору |
А |
получит |
приращение, |
равное |
|
|
|
|
2 (Is + За2) р |
|
|
|
39.20 (1095). Тяжелый |
круглый |
цилиндр А с массой т обмотан |
посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно.
Цилиндр падает |
без начальной скорости, |
разматывая нить. |
Определить |
скорость |
оси цилиндра, |
после того |
как эта ось |
|
|
опустится |
на высоту h, |
и найти натя- |
'ШШШ |
Ж е н „ е |
Т нити. |
|
В |
|
|
|
2 |
— |
1 |
|
|/?0 |
Ответ: v = -j y3gh; |
T'= j mg. |
•н-
ih
Кзадаче 39 20.
39.21(1096). Две гибкие нити обмотаны вокруг однородного круглого цилиндра М весом Р и радиуса г так, что завитки их расположены симметрично относительно средней плоскости, параллель-
ной основаниям. Цилиндр помещен на наклонной плоскости |
АВ так, |
что его |
образующие перпендикулярны к линии наибольшего ската, |
а концы |
С нитей закреплены симметрично относительно |
вышеука- |
занной средней плоскости на расстоянии 2г от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен /.
Определить путь s, пройденный центром тяжести цилиндра за время t, и натяжение Т нитей, предполагая, чтов течение рассматриваемого промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца.
Ответ: s= ,rg(sina — 2/cosa)/2; T= ^-P(sina-j-/cosa). Цилиндр остается в покое, если tga<^ 2/.