этой направляющей и вес противовеса Q так, чтобы система находилась в безразличном равновесии. При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой OS.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
уравнение |
направляющей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Q — —^. |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
полярных |
координатах |
г, |
#: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 = 2 (I - |
2 У! |
|
a cos ft) r + 4 j/"2 |
a/ - Р - 8а2. |
|
|
2а |
|
|
|
а |
|
|
52.14 |
(1175). |
Исследовать |
|
устойчивость |
|
|
|
|
|
вертикального положения равновесия «обра- |
|
|
К задаче 52.13. |
|
|
|
|
щенного» |
двойного |
маятника, |
изображенного |
|
|
|
|
|
|
|
на |
чертеже. Маятник может |
быть |
схематизиро- |
|
ван |
в |
виде |
двух |
материальных |
точек |
масс |
ту |
и тъ |
связанных |
|
стержнями длиной |
|
и 4- |
|
вертикальном |
положении |
равновесия |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пружины |
(жесткости |
|
их |
^ и с2) |
5 |
|
wwl t |
|
|
\tn |
|
|
|
|
не напряжены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Условия |
устойчивости |
|
|
i vwv |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hcs |
|
|
|
i 1/77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
^ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vwv |
|
e |
|
< да |
|
К< 1+ <*)/,- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ah |
|
h |
|
|
— |
(ml+mi)g]-[c1l1~rnJg]>c\l1l2. |
|
|
h |
|
1 |
1 |
|
|
w w |
|
|
|
|
52.15 (1176). Исследовать ус- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ч. |
А |
/ |
|
|
тойчивость |
вертикального |
поло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
жения равновесия системы маят- |
|
К задаче 52.14. |
К задаче 52 15. |
|
|
ников, |
изображенной |
|
на |
чертеже; |
|
|
|
длина |
стержня |
первого |
маятника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4й, |
второго |
ЪН и |
третьего 2/г. Массы всех маятников и жесткости |
|
пружин |
|
одинаковы |
и соответственно |
равны |
тис. |
|
Расстояния точек |
|
прикрепления пружин |
от центров |
тяжести |
масс |
|
равны |
h. |
Массой |
|
|
|
|
|
|
'Л |
|
В |
|
|
|
стержней пренебречь, а массы т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассматривать |
как |
материальные |
|
|
|
|
/* ЛЛЛЛ1 |
— |
|
точки; |
когда |
маятники находятся |
|
|
|
|
|
|
в |
вертикальном |
положении, пру- |
|
|
|
|
|
|
жины не напряжены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Условия |
устойчивости |
|
|
|
|
|
|
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 ЗОт^ск* - 24m3g3hz > 0. |
К |
задаче 52.16. |
|
К задаче 62.17. |
|
|
|
52.16 |
(1177). В маятнике пал- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лографа груз Ж подвешен на |
|
стержне (Ш, свободно проходящем |
через вращающийся цилиндрик О |
|
и шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АО\> вращающимся |
|
около |
оси |
Ох- |
Длина |
коромысла |
|
г, |
расстояние |
от центра |
|
тяжести |
|
груза до шарнира А равно /; расстояние ООх = h. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Размерами груза и весом стержней пренебречь.
Ответ: При ]/77>/z — r положение равновесия устойчиво; при
—г неустойчиво.
52.17(1178). Прямолинейный проводник, по которому течет ток
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силой |
ib |
притягивает |
параллельный ему провод АВ, по которому |
течет ток силой i2. Провод АВ |
имеет |
массу |
|
т; к нему присоединена |
пружина жесткости с; |
длина каждого |
из проводов /. При отсутствии |
в проводе АВ |
тока расстояние между проводами равно а. Определить |
положения |
равновесия |
системы и исследовать их устойчивость. |
У к а з а н и е . |
Сила |
взаимодействия |
|
двух |
параллельных |
проводников |
с токами ij |
и 1г длиной |
|
I, отстоящих |
на |
расстоянии d друг от друга, опреде- |
ляется |
по формуле |
F = |
- ~ / . |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
При |
a = |
Q j |
имеются два |
положения равновесия: |
а |
-ш fа2 |
|
|
а . -. f аг |
|
|
|
Jfi = -s"— I/ |
4 — а |
и |
л ' г = у + 1 ' |
"4—а > |
x |
i отвечает |
устойчивому |
положению |
равновесия, хг — неустойчивому. При а > а 2 / 4 |
положений |
равновесия |
нет. При |
а = а2/4 имеем |
единственное положение равно- |
весия, |
которое неустойчиво. |
|
|
|
|
|
s |
§53. Малые колебания системы с одной степенью свободы
53.1(1243). Жесткий стержень ОВ длиной / может свободно качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик весом Q на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном положении посредством нерастяжимого вертикального шнура длиной h. Расстояние
ОА = а. Если шарик оттянуть |
перпендикулярно к плоскости чертежа |
и затем отпустить, то система начнет ко- |
лебаться. |
Пренебрегая массой |
стержня, |
определить |
период малых колебаний си- |
стемы. |
|
|
Ответ: Г =
К задаче 53.1. |
К задаче S3.2. |
53.2 (1244). Определить период малых колебаний астатического маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи колебаний почвы. Маятник состоит изжесткого стержня длиной /,
несущего на конце массу т, зажатую между двумя горизонтальными пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой стержня пренебречь и считать пружины в положении равновесия ненапряженными.
Ответ: Т =
---f
mI
53.3(1245). Маятник состоит из жесткого стержня длиной /, несущего массу m на своем конце. К стержню прикреплены две пружины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой
стержня, найти период малых колебаний маятника. |
Ответ: Т = |
V |
|
2сая* g |
|
ml* ' |
53,4 (1246). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса т расположена выше точки под-
\0 Т
V/,
К задаче 53.3=
веса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний
маятника.
|
|
Ответ: |
о2 ~>~ _ • |
|
|
|
|
|
ml* |
g |
|
|
|
|
I |
|
К задаче 53.5. |
63.5 |
(1247). Цилиндр |
диа- |
|
метром |
d и |
массой т может |
|
|
катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жесткости с прикреплены посредине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.
53.6. Определить период малых колебаний метронома, состоящего
из маятника |
и |
добавочного подвижного груза Q массы т. Момент |
инерции |
всей |
системы относительно горизонтальной оси вращения |
изменяется путем смещения подвижного груза |
G. Масса маятника М; |
расстояние |
центра |
тяжести |
|
маятника |
от |
|
оси вращения |
|
О равное; расстояние |
00=s; |
|
момент инерции маятника от- |
|
носительно оси вращения Jo. |
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
s0—ms)g ' |
|
53.7 (1249). Тело, подве- |
|
шенное |
на двух вертикальных |
|
нитях длиной / каждая, рас- |
|
стояние |
между |
которыми 2а, |
|
закручивается |
|
вокруг |
верти- |
|
кальной |
оси, лежащей |
в плос- К задаче 53.6. |
К задаче 53.7. |
кости нитей |
и |
равноудаленной |
|
от них (бифилярный подвес). Радиус инерции тела относительно оси вращения р. Найти период малых колебаний.
Ответ: T = 2ir-£-
а
53.8 (1250). Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжимыми нитями длиной / так, что плоскость
|
обруча горизонтальна. Нити в положении |
|
|
равновесия |
обруча |
вертикальны |
и |
делят |
\0 |
|
окружность обруча на три равные части. |
|
|
Найти |
период |
малых |
колебаний |
обруча |
|
|
вокруг оси, проходящей через центр об- |
|
|
руча. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Т = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
53.9 |
(1251). Тяжелая |
квадратная плат- |
|
|
форма |
ABCD |
массы |
М |
подвешена |
на |
|
|
четырех упругих канатах, жесткости с |
|
|
каждый, к неподвижной точке О, от- d |
|
|
стоящей |
в положении |
равновесия |
систе- |
К задаче 53.9, |
|
мы на |
расстоянии |
/ |
по |
вертикали |
от |
|
|
|
центра |
Е |
платформы. |
Длина |
диагонали |
|
|
платформы |
а. Определить |
период |
вертикальных |
колебаний системы. |
|
Ответ: Т = '. |
|
М |
|
|
I |
|
|
|
с |
16/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53.10 (1252). Уголок, составленный из тонких однородных |
стерж- |
ней |
длиной |
/ и 2/ с углом |
между |
стержнями |
90°, |
может вращаться |
|
|
вокруг точки О. Определить период малых ко- |
|
|
лебаний уголка |
около |
положения |
|
равновесия. |
|
|
Ответ: 7=2 . Ц уТ=7,53 | / Т . |
|
|
53.11 |
(1253). Определить период малых сво- |
|
|
бодных |
колебаний |
маятника |
веса Q, ось вра- |
|
|
щения |
которого образует |
угол р с горизонталь- |
|
|
ной плоскостью. Момент инерции маятника |
|
|
относительно |
оси вращения J, расстояние центра |
|
|
тяжести |
от |
оси |
вращения |
s. |
|
|
|
|
|
|
К задаче |
53.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Т = ! |
Qs cos p " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53.12 (1254). В приборе |
для |
регистрации |
вертикальных колеба- |
ний |
фундаментов машин груз весом Q, закрепленный |
на вертикальной |
. . |
|
|
. |
|
- |
пружине, |
коэффициент |
жест- |
|
i—1 |
|
|
JI |
|
|
кости |
которой |
cv |
шарнирно |
|
| |
- |
|
|
соединен |
со |
статически |
урав- |
|
J - |
- ' |
—Ег |
|
|
новешенной |
стрелкой, |
выпол- |
|
|
j |
|
|
|
|
ненной в виде ломаного ры- |
|
|
wwwvy>в.. |
|
|
|
чага с моментом инерции J |
|
|
д |
} |
|
|
относительно |
оси |
вращения О |
|
|
|
|
и |
отжимаемой |
к |
|
равновесно- |
|
|
1-и -л |
|
|
му |
положению |
горизонтальной |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
''г-— - О -~i |
|
|
|
|
пружиной |
с |
|
коэффициентом |
|
|
|
|
|
|
|
жесткости сг. Определить пе- |
|
|
|
|
|
|
|
риод |
свободных |
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
сгрелки около ее |
вертикально- |
|
|
К задаче 53.12. |
|
|
|
|
го |
равновесного |
|
положения, |
|
|
|
|
|
|
если ОА = а |
и |
ОВ — Ъ. Раз- |
|
|
|
|
|
|
|
мерами груза и влиянием первоначального натяжения пружины пренебречь.
Ответ: 7 = 2
53.13 (1256). Амортизационное устройство может быть схематизировано в виде материальной точки массы т, соединенной п пружинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника. Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус окружности, описанной около многоугольника, Ъ. Определить частоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположенной в горизонтальной плоскости.
У к а з а н и е . Для вычисления потенциальной энергии с точностью до величин второго порядка малости включительно следует определить удлинение пружин с той же степенью точности.
г., 1 Гпс 2Ь'—а
Ответ: *=]/ gs-g—.