53.47 (1287). Определить максимальное отклонение от положения
равновесия |
системы, описанной в предыдущей задаче, в случае дейст- |
вия сил различной |
продолжительности: 1) т = 0, limPt = .S (удар); |
|
|
т—о |
2) т = Г / 4 ; |
3) т = Г/2, где Г —период свободных колебаний системы. |
Ответ: |
1) xmax |
= ~l/ -^S; 2) xmax = |
|
|
p |
53.48 (1288). Найти закон движения маятника, состоящего из материальной точки, висящей на нерастяжимой нити длиной /. Точкаподвеса маятника движется по заданному закону | = ^(t) по горизонтальной прямой.
Ответ: Угол отклонения маятника от вертикали <р изменяется по закону
г
t /Л £ р
Ф= сг sin W4 е2 coskt —2-ii 4- -г \ I (T) sinA(^ — x)d%,
где k^Yl.
53.49 (1289). На материальную точку весом Р, подвешенную на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, заданная условиями:
F=~F0 при
F=F0 при
Определить движение точки и найти амплитуду колебаний при
Ответ: * =£[l ~
53.50 |
(1290). На груз весом Р, висящий на пружине жесткости с, |
действует |
возмущающая |
сила, |
изменяющаяся по |
закону Q(0 — |
= F | sin at |. Определить |
колебания |
системы, |
имеющие частоту возму- |
щающей |
силы. |
|
|
|
|
|
Ответ: При 0 < t < п/со |
|
|
|
|
•* = , / f ,,а ч [sin^ + c t g ^ c o s * Л |
. ? |
,2Ч sinco^; |
|
/nfe (<вг —й2 ) | |
' & |
2(0 |
j |
m(ш2 — fe2) |
53.51 (1293). Определить критическую угловую скорость (относительно поперечных колебаний) легкого вала, несущего посредине диск весом Р. Рассмотреть следующие случаи: 1) вал на обоих концах опирается на длинные подшипники (концы можно считать заделанными); 2) на одном конце вал опирается на длинный подшипник
(конец заделан), а на другом — на короткий подшипник (конец оперт). Жесткость вала на изгиб EJ, длина вала /.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) |
( % = |
у |
р / , |
, |
*, |
Шкр- |
|
|
|
|
53.52 (1294). Определить критическую скорость вращения легкого |
вала длиной /, если вал лежит |
на двух |
коротких |
подшипниках |
и на |
выступающем конце |
длиной |
а |
несет диск |
весом |
Р. Жесткость |
вала |
на изгиб |
EJ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а>кр = |
*[/ |
-рМ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
53.53. |
(1295). |
Определить |
|
критическую скорость вращения тяже- |
лого вала, |
лежащего |
одним |
концом в |
коротком подшипнике, |
а |
дру- |
гим — в |
длинном; |
длина |
вала |
/, |
жесткость |
вала |
на изгиб |
EJ, вес |
единицы |
длины |
вала |
q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
о>кр = |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 54.Малые |
колебания систем с несколькими |
степенями |
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
|
|
|
54.1 (1297). Для экспериментального |
исследования процесса регу- |
лирования |
гидравлических |
турбин сконструирована установка, состо- |
ящая |
|
из |
турбины, |
ротор |
которой имеет момент |
инерции |
относи- |
тельно |
оси вращения Ji |
= |
b кГсмсек*, |
маховика с моментом |
инерции |
J2 = |
150 |
кГсм сек* |
и упругого |
|
|
|
вала |
|
С, |
соединяющего |
ротор |
|
|
|
турбины с маховиком; вал имеет |
|
|
|
длину |
/ = 1 5 5 2 |
мм, |
диаметр |
|
|
|
d = |
25,4 мм; |
модуль сдвига ма- |
|
|
|
териала валаО=880000 |
кГ/см*. |
|
|
|
Пренебрегая массой |
вала и |
|
|
|
скручиванием |
его |
толстых |
уча- |
Кзада,че 54.1. |
|
стков, |
найти |
то |
|
сечение |
тп |
|
|
|
вала, которое при свободных колебаниях данной системы остается
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неподвижным (узловое сечение), а также вычислить |
период Т |
свобод- |
ных |
колебаний |
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а = |
|
50 мм; |
Т — 0,09 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
54.2 |
(1299). |
|
Определить |
частоты |
свободных крутильных |
колеба- |
ний |
системы, |
состоящей |
из |
вала, |
закрепленного |
на |
одном |
конце, |
с насаженными |
посредине |
и на другом конце однородными дисками. |
Момент |
инерции |
каждого |
диска |
относительно оси |
вала J; жесткость |
на кручение |
участков |
вала |
С\= |
с% = |
с. Массой вала |
пренебречь. |
|
Ответ: |
£, = |
0,62 |
l |
/ y |
; |
/га = |
1,62 |
l / j . |
|
|
|
54.3 (1300). Определить частоты главных крутильных колебаний системы, состоящей из вала с насаженными на него тремя одинаковыми дисками. Два диска закреплены на концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J;
жесткость на кручение участков вала с1 = с2 — с. Массой вала пренебречь.
Ответ: kx—y |
-j, |
k2 = T/ 3y. |
54.4 (1301). Два |
одинаковых маятника длины / и массы т каж- |
дый соединены на уровне |
h |
упругой пружиной жесткости с, прикреп- |
ленной концами к стержням |
маятников. Определить малые колебания |
системы в плоскости равновесного положения маятников, после того как
|
одному |
из маятников |
сообщено отклонение нд |
|
угол |
а |
от положения равновесия; начальные скоро- |
| |
сти |
маятников равны |
нулю. Массами стержней |
Лмаятников и массой пружины пренебречь.
|
Ответ: |
фх = a cos |
i t |
cos |
*1t, |
где |
фх и |
ф2 — углы |
отклонения |
маятников от |
вертикали и |
|
|
|
К задаче 54.4. |
^ |
= ~\/~ М- |
Ь = |
1 / " Ж-Ц_ ?£^! |
54.5. Диск массы М может катиться без скольжения по прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен невесомый стержень длиною /, на конце которого находится точечный груз массы т. Найти период малых колебаний маятника.
К задаче 54.5. |
|
|
К |
задаче 54.6. |
|
|
|
54.6. Заменяя |
в предыдущей |
задаче |
прямолинейный рельс |
дугой |
окружности радиуса R, найти частоты |
малых |
колебаний |
рассматри- |
ваемой системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Главные частоты являются корнями уравнения |
|
|
•*•- Г |
r |
/ J '" т (ЪМ + 2m) |
|
= |
0. |
ЗМ + 2/n " |
l(3M + 2m) (#-/•) |
|
(R-r)l |
|
54.7 (1302). Маятник состоит |
из ползуна |
массы |
М, |
скользящего |
без трения по горизонтальной плоскости, и шарика |
массы |
т, |
соеди- |
ненного с ползуном стержнем |
длины |
/, могущим вращаться |
вокруг- |
оси, связанной с ползуном. К |
ползуну |
присоединена пружина |
жест- |
кости с, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы.
Ответ: Искомые частоты являются корнями уравнения
ig М -f-
'7~лГ
|
|
|
|
|
|
-—• |
^ - = 0 |
/77 |
|
М |
I |
|
|
|
54.8 (1303). Два одинаковых |
К задаче 54 7. |
|
физических маятника |
подвеше- |
|
|
ны на параллельных |
горизонтальных осях, расположенных в одной го- |
|
ризонтальной плоскости, и связаны упругой |
пружиной, длина которой |
в ненапряженном состоянии равна расстоянию между осями маятников. Пренебрегая сопротивлениями движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы прч малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждою
маятника Р; радиус инерции его |
относительно |
|
щщ$\ |
|
оси, проходящей через центр тяжести |
парал- |
v |
Z |
\ |
|
лельно |
оси |
подвеса, р; |
жесткость |
пружины |
с; |
|
|
|
|
расстояния |
от |
центра |
тяжести |
маятника и от |
|
|
\ |
|
точки прикрепления |
пружины |
к |
маятникам |
до |
|
|
|
|
оси |
подвеса |
равны |
соответственно |
/ |
и h. (См, |
|
|
|
|
чертеж |
к |
задаче |
54.4.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
k\ = |
8 |
х п • |
k\ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S\" |
1 1 . |
|
•"! |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
64.9 |
(1305). Однородный |
стержень |
АВ |
дли- |
|
|
|
|
ной |
L |
ПОДВешеН |
при |
ПОМОЩИ |
НИТИ ДЛИНОЙ |
|
к. задаче 54 9. |
/= |
0,5L |
к |
неподвижной |
точке. |
Пренебрегая |
|
|
|
|
массой |
нити, определить |
частоты |
главных |
колебаний |
системы и найти |
отношение |
|
отклонений |
стержня |
и ' нити |
от |
вертикали |
при |
первом и |
втором |
главных |
колебаниях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: fei = |
0 , 6 7 7 l / y ; |
&8 = |
2,558 1/ |
у ; |
в |
первом |
главном |
колебании «pi = 0,847rf2, во втором <pi = — l,180tp2, где <fi и <ра— амплитуды углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью.
54.10 (1306). Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения Ljl, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний математического маятника длиной /.
Ответ: 1 — -г -г.
4 (