ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1379
Скачиваний: 1
15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова |
29 |
X L |
∏ dΛα |
O |
|
|
J = Y M |
(x)P |
ρ[Λ] = |
||
Y Mα |
x |
P |
|
|
Z N |
, |
|
Q |
|
X L Y M∏ Y M Z Nn,x
O
dϕn (x)P G[ϕ] C[ϕ] , (15.5.10)
PQ
ãäå
X L |
∏ dΛα |
O |
|
|
|
|
|
C[ϕ] ≡ Y M |
(x)P |
ρ[Λ] B |
f[ϕΛ ] |
Det F [ϕΛ ] . |
(15.5.11) |
||
Y Mα |
|
P |
|
|
|
||
Z N |
|
,x |
Q |
|
|
|
|
Теперь выражение (15.5.3) принимает вид
F |
[ϕ ] = |
δfα [(ϕΛ )λ ; x] |
. |
(15.5.12) |
αx,βy |
Λ |
δλβ (y) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
λ =0 |
|
|
|
|
|
Мы предполагаем, что рассматриваемые преобразования образуют группу. Это означает, что результат осуществления калибровочного преобразования с параметрами Λα(x), за которым следует калибровочное преобразование с параметрами λα(x), можно
записать как действие одного калибровочного преобразования, являющегося «произведением» предыдущих, с параметрами Λ~α (x; Λ, λ) :
(ϕ |
Λ |
) |
λ |
= ϕ ~ |
. |
(15.5.13) |
|
|
Λ(Λ,λ) |
|
Используя цепное правило частного (функционального) дифференцирования, имеем
Fαx,βy[ϕΛ ] = z Jαx,γz [ϕ, Λ]Rγzβy[Λ]d4z, |
(15.5.14) |
|||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δf |
[ϕ ~ ; x] |
|
|
|
|
|
δ |
ϕ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Jαx,γz |
[ϕ, Λ] ≡ |
α Λ |
|
|
|
|
= |
|
fα [ |
Λ ; x] |
(15.5.15) |
|||
~γ |
|
|
|
|
|
|
γ |
|||||||
|
|
δΛ (z) |
|
|
~ |
|
|
|
δΛ (z) |
|
||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
Λ = Λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~γ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Rγzβy[Λ] |
= |
δΛ |
(z; Λ, λ) |
|
. |
|
(15.5.16) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
δλβ (y) |
|
|
λ =0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30 |
Глава 15. Неабелевы калибровочные теории |
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
Det F [ϕΛ ] = Det J [ϕ, Λ] Det R[Λ] . |
(15.5.17) |
Заметим, что Det J [ϕ,Λ] есть не что иное, как якобиан преобразования переменных интегрирования от Λα(x) ê fα[ϕΛ;x] (при фиксированном ϕ). Поэтому если выбрать весовую функцию ρ[Λ] â âèäå
|
|
ρ(Λ) = 1 Det R[Λ], |
(15.5.18) |
|||||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
X L |
∏ dΛα |
O |
|
|
|
|
||
C[ϕ] = Y M |
(x)P Det J [ϕ, |
Λ] B |
f[ϕΛ ] |
|
||||
Y Mα |
,x |
P |
|
|
|
|
||
Z N |
|
Q |
|
|
|
|
||
X L |
∏ dΛα |
O |
|
|
(15.5.19) |
|||
= Y M |
(x)P B |
f |
≡ C, |
|||||
Y Mα |
,x |
P |
|
|
|
|
|
|
Z N |
|
Q |
|
|
|
|
||
что очевидно не зависит от ϕ. (Читатель может узнать в формуле
(15.5.18) определение инвариантной меры (меры Хаара) на пространстве групповых параметров.) Имеем окончательно
J = |
Cz |
|
|
∏n,x dϕn (x) |
G[ϕ] |
. |
(15.5.20) |
||
z |
|
∏α,x dΛα (x) |
|
ρ[Λ] |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
Это выражение явно не зависит от нашего выбора fα[ϕ;x], который
полностью свелся к изменению переменной интегрирования, и зависит от выбора B[f] только через константу С, что и требовалось доказать.
Прежде чем описывать приложения этой теоремы, следует сделать паузу и отметить неясное место в доказательстве. Интегралы в числителе и знаменателе выражения (15.5.20) плохо определены по одной и той же причине. Так как предполагается, что G [ϕ] калибровочно инвариантно, интеграл от этой величины по ϕ íå ìî-
жет, вероятно, сходиться. Подынтегральное выражение равно константе вдоль всех «орбит», получаемых калибровочным преобразованием ϕ â ϕλ со всеми возможными λα(x). Аналогично, подынтегральное выражение в знаменателе расходится, так как ρ(Λ)ΠdΛ
15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова |
31 |
есть не что иное, как обычный инвариантный элемент объема при интегрировании по группе, и он тоже постоянен вдоль «орбит» Λ → Λ~ (Λ, λ). Такую расходимость в числителе и знаменателе (15.5.20)
можно устранить, переформулировав теорию на конечной простран- ственно-временной решетке. В этом1 случае объем калибровочной группы равен просто объему самой глобальной группы Ли, умноженной на число узлов решетки. Поскольку фиксирующий калибровку множитель B[f] устраняет эту расходимость в исходном определении (15.5.1) для левой части равенства (15.5.20), мы вправе считать, что при устремлении числа узлов решетки к бесконечности расходимости в числителе и знаменателе в правой части (15.5.20) сокращаются.
Теперь к делу. Мы видели, что среднее по вакууму (15.4.16) в аксиальной калибровке задается функциональным интегралом общего вида (15.5.1). Вооруженные доказанной выше теоремой, мы заключаем, что
|
|
X L |
|
O L |
∏ dAμ |
O |
|
T{O O . . . } |
|
Y M∏ dψ |
(x)P M |
α (x)P |
|||
A B |
V |
Y M |
l |
P Mα μ |
|
P |
|
|
|
,x |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
Z Nl,x |
|
Q N |
, |
Q |
|
× OAOB . . . exp{iI + cлагаемые с ε} B f[A, ψ] Det F [A, ψ] .
(15.5.21) для (почти) любого выбора fα[A,ψ;x] и B[f]. Поэтому мы вправе те-
перь использовать (15.5.21) для вывода фейнмановских правил в более удобной калибровке.
Мы умеем вычислять функциональные интегралы от гауссианов, умноженных на полиномы, так что в общем случае выберем
F |
|
i |
I |
|
|
B[f] = expG |
− |
|
z d4x fα (x)fα (x)J |
(15.5.22) |
|
2ξ |
|||||
H |
|
K |
|
с произвольным действительным параметром ξ. При таком выборе
влияние множителя B[f] в (15.5.21) заключается просто в добавлении к эффективному лагранжиану слагаемого
1
LEFF = L − ξ fα fα . (15.5.23)
2
32 |
Глава 15. Неабелевы калибровочные теории |
Простейший лоренц-инвариантный выбор фиксирующей калибровку функции fα совпадает с выбором в электродинамике:
f |
= ∂ |
m |
Aμ . |
(15.5.24) |
a |
|
a |
|
В этом случае голый пропагатор калибровочного поля может быть вычислен так же, как в электродинамике. Часть эффективного действия, отвечающая свободному векторному бозону, можно записать в виде
I |
|
= −X d4xL |
1 |
(∂ |
A |
− ∂ |
n |
A |
|
)(∂m A |
n − ∂nA |
m ) |
|||||
0A |
|
|
|||||||||||||||
|
Y |
|
|
M |
|
|
|
m an |
|
am |
|
a |
a |
||||
|
|
Z |
|
|
N |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
A m )(∂nA |
n ) |
|
|
|
O |
|||||
|
|
+ |
(∂ |
|
+ слагаемые с εP |
||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
||||||||||||
|
|
|
|
2ξ |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
Q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= − |
1 |
|
d4xD |
|
|
A m (x)A n (y) , |
|
||||||||
|
|
2 z |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
amx,bny |
|
a |
|
b |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ãäå
Dam bn = ηmn ∂2 δ4 (x − y) x, y ∂xl∂yl
F |
|
|
1I |
∂2 |
|
|
|||
− G1 |
− |
|
|
J |
|
|
|
|
δ4 (x |
|
|
|
m |
∂y |
n |
||||
H |
|
|
ξ K ∂x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
|
L |
|
|
|
= (2π) |
-4 Y d4pMηmn (p2 |
||||||||
|
|
|
|
Y |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
N |
|
|
|
− y) + слагаемые с ε
F |
|
1I |
O |
|
− iε) − G1 |
− |
|
J pmpn P eip×(x- y) . |
|
|
||||
H |
|
ξK |
P |
|
|
|
|
|
Q |
Находя обратную матрицу к матрице в квадратных скобках, находим пропагатор
am,bn(x, y) = (D−1)amx,bny
X |
L |
= (2π)-4 Y d4pMηmn + (ξ − 1) |
|
Z |
N |
pmpn OP eip×(x- y) . (15.5.25)
p2 Q p2 − iε
Это обобщение калибровок Ландау и Фейнмана, которые соответствуют значениям ξ = 0 è ξ = 1, соответственно. При ξ → 0 функци-