Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ни одна точная дискретная симметрия, кроме СРТ, и ни одна спонтанно нарушенная приближенная или точная дискретная симметрия, так что на сегодняшний день проблема доменных стенок неактуальна.

в. Инстантоны и т. п. Рассмотрим теперь калибровочную теорию с действием

ãäå Fαij — обычный тензор напряженности поля, и мы считаем d ³ 4. Это можно рассматривать как действие квантовых калибро-

вочных полей в евклидовом d-мерном пространстве-времени, или как потенциальную1 энергию классических калибровочных полей во временной калибровке с A0α = 0 в (d + 1)-мерном пространстве-

времени.

Для того, чтобы S[A] было конечным, напряженность Fαij должна обращаться в нуль при x ® ¥. Этого можно достичь, если Aαi(x) достаточно быстро убывает при x ® ¥, íî äàæå ïðè d ³ 4 возможна ситуация, когда S[A] конечно для поля Aαi(x), убывающего как 1/|x|, если только поле при |x| ® ¥ стремится к чистой калибровке:

ãäå g(x$ ) — зависящий от направления элемент калибровочной группы G. Более того, Aαi(x) не изменяется, если заменить g(x$ ) íà g0g(x$ ) для любого фиксированного элемента группы G0 Î G, так что, выбрав g0 = g−1(x$ 1), можно добиться, чтобы g(x$ 1) = 1 для любого направления x$ 1. Поэтому каждое калибровочное поле с конечным S[A] определяет отображение единичной сферы g(x$ 1) = 1 на групповое многообразие, причем точка x$ 1 отображается в единичный элемент

G. (В случае, когда калибровочное поле обращается в нуль быстрее, чем 1/|x|, при |x| ® ¥, это отображение переводит все точки еди-

ничной сферы в тождественный элемент калибровочной группы.) Множество классов всех топологически различных отображений Sd– 1 ¬ G, при которых одна точка Sd–1 отображается в фиксированный элемент G, называется (d–1)-й гомотопической группой группового многообразия. Как указано в Приложении В к этой главе, для любой полупростой группы Ли G группа p3(G) нетривиальна. Топологи-

чески нетривиальные стационарные точки действия S[A] при d = 4 называются инстантонами 1. Их значение в квантовой хромодинамике обсуждается в разделах 23.5 и 23.6.

Для того, чтобы S[A] было стационарным при значении поля A(x), необходимо, чтобы A(x) удовлетворяло полевому уравнению

Простые рассуждения об изменении масштаба снова ограничивают значения размерности d, при которой можно надеяться найти топологически нетривиальный локальный минимум S[A]. Определим AR (x) ≡ A(xR. Тогда

S[AR ] = Rd− 4S[A] ,

òàê ÷òî ïðè d ¹ 4 у S[A] не может быть никаких нетривиальных

стационарных точек, если только не выполнено равенство S[A] = 0. Однако, если S[A] = 0, то и Fαij = 0 везде, так что с помощью калибровочного преобразования можно везде обратить Aαi â íóëü.

Как мы увидим в разделе 23.5, при d = 4 все-таки возможно найти инстантонные решения, для которых S[A] (обозначенное там как –I[A]) стационарно, а Fαij отлично от нуля везде за исключени-

ем бесконечно удаленной области. Приведенные выше соображения об изменении масштаба показывают, что если A(x) — такое инстантонное решение, то этим решением будет и A(xR)R. Однако это

вырождение устраняется квантовыми поправками.

г. Монополи, вихревые нити и т. д. Рассмотрим теперь теорию калибровочных полей вместе со скалярами, реализующими линейное представление калибровочной группы, причем

ãäå gab(j) — положительно определенная матрица (обычно не зависящая от j), потенциал U(j) ограничен снизу и сдвинут на постоянную величину, так что его минимум равен нулю, а Fαij è Di —

обычные напряженность поля и калибровочно-ковариантная произ-

водная. Мы требуем, чтобы U(ϕ) было скаляром, а gab(ϕ) — тензо-

ром относительно преобразований калибровочной группы G. Опять, выражение (23.1.9) представляет собой либо действие квантовой теории поля в d-мерном евклидовом пространстве-времени, либо потен1 - циальную энергию для классической теории поля во временной калибровке в (d+1)-мерном пространстве-времени.

Для того, чтобы S[A,ϕ] было конечным, необходимо, чтобы U(ϕ(x)) обращалось в нуль при x → ∞. Множество тех ϕ, при которых U(ϕ) обращается в нуль, инвариантно относительно G, и может

быть как дискретным, так и непрерывным. Выше, в случае б мы имели пример того, когда это множество дискретно. Рассмотрим теперь случай нарушенной симметрии, когда нули U(ϕ) образуют

непрерывное многообразие M0, состоящее из полей, связанных преобразованиями g G. В этом случае каждое ϕ(x$ ) может быть полу- чено преобразованием γ(x$ ) G, действующим на значение ϕ(x$ 1) поля в произвольном направлении x$ 1. Поэтому можно считать, что поле ϕ(x) определяет отображение Sd–1 ¬ G на фактор-пространство G/

H, иными словами, — на группу G с отождествленными элементами g1 è g2, отличающимися только правым умножением на некоторый элемент h подгруппы H G, оставляющим ϕ(x$ 1) инвариантным, т. е. если g1 = g2h. В частности, точка x$ 1 отображается на подгруппу Н, т. к. γ(x$ 1) , действуя на ϕ(x$ 1) , должно давать само ϕ(x$ 1) . Таким образом, поля, достигающие при x → ∞ значений на

многообразии М0, могут быть расклассифицированы согласно топологически различным отображениям Sd–1 в G/H, переводящим точ- ку x$ 1 в фиксированный «единичный» элемент Н из G/H. Множество

классов таких топологически различных отображений Sd–1 ¬ G/H с одной точкой из Sd–1, отображающейся в фиксированный элемент из G/H, известно как (d–1)-я гомотопическая группа πd–1(G/H) ìíî-

гообразия G/H.

В этом случае ∂iϕ(x) ведет себя как 1/|x| при x → ∞. Для того, чтобы S[ϕ] было конечным, Diϕ должна обращаться при x → ∞ в нуль быстрее, чем |x|–d/2, поэтому необходимо, чтобы itαAαi(x) стремилось при x → ∞ ê γ −1(x$ )∂i γ (x$ ) быстрее, чем |x|–d/2. Это — чисто калибровочное поле, так что тензор напряженности поля Fαij(x) îá-

ращается в нуль быстрее, чем |x|–d/2–1, что достаточно для сходи-

мости интеграла z ddxFαijFαij .

Для калибровочной теории, определенной выражением (23.1.9), теорема Деррика неприменима, но интересно посмотреть, к чему

приведет нас та же схема рассуждений. Для любых заданных полей

ϕ(x) и A(x) снова определим поля jR(x) º j(xR) è AR (x) º A(xR)R.

Тогда три члена в гамильтониане (23.1.9) имеют следующие масштабные свойства:

T[jR , AR ] = Rd−2T[j, A] , K[AR ] = Rd− 4K[A] , V[jR ] = RdV[j] ,

при любом конечном значении R, так что не существует стабильной конфигурации с нетривиальной топологией. При 0 < d < 4 нетрудно найти конечное значение R, при котором S[ϕR,AR] имеет минимум.

Âфизически интересном случае d = 3 топологически нетриви-

альные полевые конфигурации классифицируются согласно гомото-

пической группе π2(G/H), которая нетривиальна для односвязной

группы G (например, SU(2)), нарушенной до группы H, содержащей группу U(1) электромагнетизма. Топологически нетривиальные классические полевые конфигурации с d = 3 называются магнитными монополями 2. Как мы увидим в разделе 23.3, величина их

магнитного заряда квантована, причем разные значения магнитного заряда отвечают разным элементам группы π2(G/H).

Âслучае d = 2 топологически нетривиальные конфигурации

соответствуют элементам группы p1(G/H), которая нетривиальна, когда G — неодносвязная группа, например, U(1) или SO(3), нарушенная либо полностью, либо до дискретной подгруппы. Топологи- чески нетривиальные классические полевые конфигурации при d = 2 являются сечениями вихревых нитей. Один пример — это сверх-

проводимость, где G = U(1) спонтанно нарушается до H = Z2. В разделе 21.6 мы видели, что в сверхпроводниках II рода в определенном интервале значений напряженности магнитного поля возникают вихревые нити, причем магнитный поток, который они несут, кван-

тован, так что разные значения потока отвечают разным элемен-

òàì π1(U(1)/Z2). Вихревые нити могут возникать и в релятивистских

квантовых теориях поля 4, а также могут рождаться при нарушающих симметрию переходах в ранней Вселенной. В этом случае их называют космическими струнами 11.

Монополи и вихревые нити обладают замечательным свойством, которое можно получить только на основании топологических рассуждений. В обоих случаях формы голдстоуновских бозон-