Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

(mu + md)v / Fπ2 ,

что совпадает с квадратом массы π0, в согласии с формулой (19.7.20).

Тогда другое собственное значение является массой аксиона

С учетом выведенных в разделе 19.7 значений отношения масс кварков, находим отсюда ma = 13 ÌýÂ/Ì(ÃýÂ).

Этот же формализм можно использовать для того, чтобы чтото сказать относительно взаимодействий аксионов с адронами. Собственный вектор M02 c собственным значением ma2 имеет компоненту вдоль исходного направления π0, равную

(mucu − mdcd)Fπ / (md + mu )M .

Как отмечалось выше, из-за однопионного полюса это аксионадронное взаимодействие является доминирующим. Мы видим, что отношение амплитуд образования аксионов и пионов типично порядка Fπ/M. Тот факт, что в таких соударениях аксионы не наблюдают-

ся, указывает, что M > 3 ТэВ, в противоречии с исходным ожиданием 30,31, что аномальная U(1) симметрия спонтанно нарушается теми же скалярными вакуумными средними порядка 0,3 ТэВ, которые нарушают электрослабую SU(2) × U(1) симметрию. Отсутствие аксио-

нов в реакторных или ускорительных экспериментах можно объяснить, выбрав М в качестве независимого параметра 32, много большего масштаба нарушения электрослабого взаимодействия, но есть еще и астрофизические ограничения. Пределы на скорость остывания красных гигантов дают ограничение 34 M > 107 ГэВ, а наблюдение за сверхновой SN1987A показывает 35, ÷òî M > 1010 ГэВ *. Космологические соображения устанавливают 36 верхний предел M < 1012

* Ïðè M > 107 ГэВ масса аксиона должна быть меньше 1 эВ, так что звезды достаточно горячи, чтобы рождать аксионы. Отношение вероятностей распада аксиона и π0 на два фотона должно быть порядка произведения (Fπ/M)2 и отношения фазовых объемов (ma/mπ)3, èëè

где l и m включают индексы спина и сорта, а Iν ≡ I[ϕν,u] — функция только ν, поскольку предполагается, что действие стационарно при всех полевых конфигурациях ϕν,u. Тогда интеграл по флуктуациям ϕ′ в формуле (23.7.1) даст сумму членов от сверток полей в О, умно-

женную (для действительных бозонных полей) на общий множитель [DetK(ν,u)]–1/2, причем следует понимать это так, что K дей-

ствует только в подпространстве тех флуктуаций, которые не влекут за собой изменений в коллективных парамтерах ν. Этот множитель можно записать как произведение по собственным значениям λn(ν,u) «матрицы» K(ν,u):

n

где штрих указывает на то, что исключены «нулевые моды», т. е. нулевые собственные значения K, для которых собственные функции соответствуют изменениям в коллективных параметрах.

Эти замечания позволяют уточнить результаты раздела 23.5 для зависимости вклада инстантонов с разными топологическими числами от константы связи. Пусть поля в нашей теории определены так, что действие принимает вид I[ϕ,g] = g–2I1[ϕ], ãäå I1[ϕ] íå

зависит от констант связи. (Например, как обсуждалось в конце раздела 15.2, в янг–миллсовских теориях в качестве калибровоч- ныго поля используется канонически нормированное калибровоч- ное поле, умноженное на g.) Тогда все собственные значения K пропорциональны g–2, и множитель (23.7.3) пропорционален g в степени, равной числу ненулевых собственных значений K. Эта степень, естественно, бесконечна, но ее можно записать как число всех собственных значений K, число которых также бесконеч- но, но не зависит от ν, минус число N (ν) нулевых мод, равное конечному зависящему от ν числу коллективных параметров. Мы заключаем, что помимо множителей, не зависящих от ν, вклад флуктуаций в окрестности конфигураций топологического типа ν

представляет собой зависящий от константы связи множитель, который может быть выражен через число N (ν) коллективных пара-

метров в виде

Оценка основана на приближении (23.7.2), соответствующем однопетлевому приближению, так что при учете членов более высокого порядка множитель (23.7.4) будет умножаться на степенной ряд по g, детали которого зависят от операторов O, входящих в функциональный интеграл.

Посмотрим, как это можно применить к инстантонам. Конечно, конфигурация с ν = 0 не содержит коллективных параметров, так что

ее вклад в функциональные интегралы есть просто степенной ряд по g. Конфигурация с ν = 1 имеет четыре коллективных параметра, опре-

деляющих пространственно-временное положение инстантона, один параметр, задающий масштаб инстантона и число N1 коллективных параметров, соответствующих вращениям и/или глобальным калибровочным преобразованиям, которые не оставляют инстантон инвариантным. Поэтому (включая теперь множитель exp(Iν), определяемый формулой (23.5.19)) зависимость инстантонов с ν = 1 от константы связи имеет вид g−5− N1 exp(− 8π2 g2 ). Äëÿ ν = 1 инстантона (23.5.12)

в SU(2) теории Янга–Миллса имеются тринезависимых вращения и три независимых SU(2) преобразования, но поскольку инстантон инвариантен относительно трех комбинированных вращений и SU(2) преобразований, N1 = 3 и флуктуации в окрестности ν = 1 инстантона приводит к зависимости от константы связи вида g–8exp(–8π2/g2).

В SU(3) теории Янга–Миллса имеются три независимых вращения и восемь независимых SU(3) преобразований, но снова инстантон инвариантен относительно трех независимых комбинированных вращений и SU(3) преобразований в стандартной SU(2) подгруппе (например, действующих на первые две компоненты фундаментального представления SU(3)), и кроме того инвариантен относительно одного дополнительного SU(3) преобразования, которое (как гиперзаряд) коммутирует со всеми генераторами стандартной SU(2) подгруппы. Отсюда N1 = 3+8–3–1 = 7, òàê ÷òî ν = 1 инстантон приводит к множителю, пропорциональному g–12exp(–8π2/g2).

Предположим теперь, что действие содержит также слагаемое

−z d4xz d4 y ψl (x)Klx,my(ν, u)ψm (y) ,

включающее независимые поля ψ è`ψ. Если ни одно из этих полей не содержится в O, то интеграл по ним дает множитель Det K(ν,u),