Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 406

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

137

®áª®«ìªã ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï a2a2+ ¨ a1a1+ ¤¨ £®­ «м­л, ®­¨ § ¬¥­повбп ¨е ба¥¤­¨¬ ¯®

¢ ªãã¬ã §­ 祭¨¥¬, â.¥. ¥¤¨­¨æ¥© ᮣ« á­® (6.73). «ï

­ «®£¨ç­®£® ¯à¥®¡à §®¢ -

­¨ï ¢â®à®£® á« £ ¥¬®£® ¢ (6.86) ­ã¦­® á­ ç «

\¯à®â é¨âì" ®¯¥à â®à a2+ ­ «¥¢®,

a1 ­ ¯à ¢®, çâ® ¬®¦­® ᤥ« âì á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¯à ¢¨« ª®¬¬ãâ 樨, ¨§ ª®â®àëå

á«¥¤ã¥â, çâ®:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fap;

g+ =

ap+; + = 0

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

p

 

=

 

a+;

 

=

p

(6.87)

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

£¤¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®á«¥¤­¨å ¤¢ãå ᮮ⭮襭¨© ¯®ï¢¨«¨áì ᯨ­®àë, ᮮ⢥âáâ¢ãî- 騥 ¯«®áª¨¬ ¢®«­ ¬ á 4-¨¬¯ã«ìᮬ p (áà. (6.72)). १ã«ìâ ⥠(6.85) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã:

 

< 0

j

(

2 )(

0 0 )

;

( 1)( 0

0)

 

0 >

¯à¨

t > t0

(6.88)

 

 

 

 

 

1

 

2

j

 

 

 

 

 

£¤¥

¡¥§ ¨­¤¥ªá

 

{ ®¯¥à â®àë,

 

1;

2 ®¯ïâì ¯à®á⮠ᯨ­®àë (¯«®áª¨¥ ¢®«­ë) á

ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨. ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ t < t0 ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà -

¦¥­¨¥, ®â«¨ç î饥áï ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© èâà¨å®¢ ¨ ¨­¤¥ªá®¢ ¨ :

 

 

 

< 0

j ;

( 0 0

)(

) + ( 0 0)(

 

)

0 >

¯à¨

t < t0

(6.89)

 

 

1

2

 

 

2

1

 

j

 

 

 

 

¡

¢ëà ¦¥­¨ï (6.88) ¨ (6.89) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¥¤¨­ë¬ ®¡à §®¬, ¢¢¥¤ï á«¥¤ãî饥

®¯à¥¤¥«¥­¨¥ åà®­®«®£¨ç¥áª®£® (T -㯮à冷祭­®£®) ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥-

à â®à®¢:

 

 

 

T (x) (x0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) (x0)

 

t0 < t

 

 

(6.90)

 

 

 

 

 

; (x0) (x)

 

 

t0 > t

 

 

®£¤ ¯¥а¢л¥ ¨ ¢в®ал¥ б« £ ¥¬л¥ ¢ (6.88) ¨ (6.89) ®¡к¥¤¨­повбп ¢ ¥¤¨­®© § ¯¨б¨:

< 0

j

T

0 0 >

 

+ 0 < 0

j

T

0

 

0 >

 

(6.91)

2

 

j

1

2

 

 

j

 

1

 

в¬¥в¨¬, зв® ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б ®¯а¥¤¥«¥­¨¥¬ (6.90) ¯а®¨§¢¥¤¥­¨п ®¯¥а в®а®¢ ¯а¨ t < t0 ¨ t > t0 ¡¥агвбп б а §­л¬¨ §­ ª ¬¨. н⮬ ®в«¨з¨¥ ®¯а¥¤¥«¥­¨п T - ¯а®¨§¢¥¤¥­¨п ¤«п д¥а¬¨¥¢бª¨е ®¯¥а в®а®¢ ®в ¢¢¥¤¥­­®£® ¢ли¥, зв® б¢п§ ­® б ­- в¨ª®¬¬гв ж¨¥© нв¨е ®¯¥а в®а®¢, ¢ ®в«¨з¨¥ ®в ª®¬¬гв¨агой¨е ¡¨«¨­¥©­ле д®а¬, ¢е®¤пй¨е ¢ £ ¬¨«мв®­¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п.

¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à (äã­ªæ¨î à á¯à®áâà ­¥­¨ï) ¨«¨ äã­ªæ¨î ਭ , ª ª ¡¨á¯¨­®à ¢â®à®£® à ­£ á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :

G(x ; x0) = ;i < 0jT (x) (x0)j0 >

(6.92)

®£¤ ¨­â¥à¥áãî騩 ­ á í«¥ªâà®­­ë© ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

< 2

Tj (x)j (x0)

1 > i

G(x

;

x0)

 

+ +i 0 G(x0

;

x)

 

(6.93)

 

j

j

2

 

 

1

2

 

1

 

®á«¥ 㬭®¦¥­¨ï ­ ä®â®­­ë© ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â (6.81) ¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® d4xd4x0 ®¡ ç«¥­ ¢ (6.93) ¤ îâ ®¤¨­ ª®¢ë© १ã«ìâ â, â ª çâ®:

S

 

=

;

ie2

Z

d4x

Z

d4x0

 

(x) G(x

;

x0)

 

(x0)[A

(x)A

 

(x0) + A

(x0)A

 

(x)]

 

fi

 

 

 

 

2

 

 

1

2

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.94)


138

 

¨á. 6-7

®¤бв ¢«пп ¤«п н«¥ªва®­­ле ¨ д®в®­­ле ¢®«­®¢ле дг­ªж¨© ¯«®бª¨¥ ¢®«­л ¨ ¢л¤¥«пп, в¥¬ ¦¥ б¯®б®¡®¬, зв® ¨ ¢ли¥, -дг­ªж¨о, б®®в¢¥вбв¢гойго § ª®­г б®- еа ­¥­¨п 4-¨¬¯г«мб , ¯®«гз ¥¬ ¬¯«¨вг¤г а бб¥п­¨п ¢ ¢¨¤¥:

M

 

=

;

4 e2u

 

[( e )G(p

 

+ k

)( e

) + ( e

)G(p

1 ;

k

)( e )]u

 

(6.95)

 

fi

 

 

2

2

1

1

1

1

 

2

2

1

 

£¤¥ e1 ¨ e2 { 4-¢¥ªв®ал ¯®«па¨§ ж¨¨ д®в®­®¢, G(p) { н«¥ªва®­­л© ¯а®¯ £ в®а ¢ ¨¬¯г«мб­®¬ ¯а¥¤бв ¢«¥­¨¨. ¢ б« £ ¥¬ле нв®£® ¢ла ¦¥­¨п ¯а¥¤бв ¢«повбп д¥©- ­¬ ­®¢бª¨¬¨ ¤¨ £а ¬¬ ¬¨, ¯®ª § ­­л¬¨ ­ ¨б.6-7.

室ï騬 «¨­¨ï¬ (­ ç «ì­ë© ä®â®­) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì p4 e, ¢ëå®- ¤ï騬 (ª®­¥ç­ë© ä®â®­) { ¬­®¦¨â¥«ì p4 e. ­ãâ७­ïï ᯫ®è­ ï «¨­¨ï ®â¢¥ç ¥â ¢¨àâã «ì­®¬ã í«¥ªâà®­ã, 4-¨¬¯ã«ìá ª®â®à®£® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ª®­®¬ á®åà ­¥­¨ï 4- ¨¬¯ã«ìá ¢ ¢¥à設 å. ⮩ «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì iG(f). ®â«¨ç¨¥ ®â 4-¨¬¯ã«ìá ॠ«ì­®© ç áâ¨æë, ª¢ ¤à â 4-¨¬¯ã«ìá ¢¨àâã «ì­®£® í«¥ªâà®­ ­¥ «¥-

¦¨â ­ ¥£® ¬ áᮢ®© ¯®¢¥àå­®áâ¨, â.¥.

­¥ à ¢¥­ m2. áᬠâਢ ï ¨­¢ ਠ­â f2 ¢

á¨á⥬¥ ¯®ª®ï í«¥ªâà®­ , «¥£ª® ¯®ª §

âì, çâ®:

 

f2 = (p1 + k1)2 > m2

f02 = (p1 ; k2)2 < m2

(6.96)


 

139

«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à.

©¬¥¬áï ⥯¥àì ï¢­ë¬ ¢ëç¨á«¥­¨¥¬ ¯à®¯ £ â®à®¢ (ä㭪権 ਭ ᢮¡®¤­ëå ç - áâ¨æ). ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î (6.92) í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à ¥áâì:

 

 

 

 

G(x ; x0) = ;i < 0jT

(x) (x0)j0 >

 

 

(6.97)

®¤¥©áâ¢ã¥¬ ­

­¥£® á¯à ¢ ®¯¥à â®à®¬ p

m, £¤¥ p = i@ . ®áª®«ìªã ᢮¡®¤­®¥

¯®«¥ (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î ¨à ª

;

 

p ; m) (x) = 0, â® ¬ë ¯®«ã稬 ¢

(

 

१ã«ìâ ⥠­ã«ì ¢® ¢á¥å â®çª å x § ¨áª«î祭¨¥¬ â¥å, ¢ ª®â®àëå t = t0. ¥«® §¤¥áì

¢ ⮬, çâ® G(x

; x0) áâ६¨âáï ª à §«¨ç­ë¬ ¯à¥¤¥« ¬ ¯à¨ t ! t0

+ 0 ¨ t ! t0 ; 0,

¯®áª®«ìªã ᮣ« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î (6.92) í⨠¯à¥¤¥«ë ᮮ⢥âá⢥­­® à ¢­ë:

 

;

i < 0

j

(rt) (r0t) 0 >

¨

+ i < 0

j

(r0t)

(rt)

0 >

(6.98)

 

 

j

 

 

 

 

 

j

 

 

â ª çâ® ¯à¨ t = t0 äã­ªæ¨ï ਭ ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ë© à §àë¢. â® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥- ­¨î ¢ ¯à®¨§¢®¤­®© @G=@t ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ç«¥­ á -ä㭪樥©:

@G

 

@

 

 

 

@t = ;i < 0jT @t (x0)j0 > + (t ; t0)[Gjt!t0+0 ; Gjt!t0;0]

(6.99)

¬¥ç ï, çâ® ¢ p

;

m ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® t ¢å®¤¨â ¢ ¢¨¤¥ i 0

@

, ¨¬¥¥¬ ¯®í⮬ã:

 

 

 

@t

 

( p ; m)G(x ; x0) = (t ; t0) 0 < 0j (rt); (r0t)

+ j0 >

(6.100)

ëç¨á«¨¬ áâ®ï騩 §¤¥áì ­â¨ª®¬¬ãâ â®à. ¥à¥¬­®¦ ï ¯®«¥¢ë¥ ®¯¥à â®àë, § ¤ ­- ­ë¥ ¢ ¢¨¤¥ (6:72) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ª®¬¬ãâ 樮­­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¤«ï ap ¨ bp, ¯®«ã稬:

 

 

(r; t);

(r0t)

+ =

X

[ p(r) p(r0) +

;p(r) ;p(r0)]

(6.101)

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥

p(r) { ¯«®áª¨¥ ¢®«­ë (¡¨á¯¨­®àë) ¡¥§ ¢à¥¬¥­­®£® ¬­®¦¨â¥«ï. ® ᮢ®ªã¯-

­®áâì ¢á¥å â ª¨å ä㭪権 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®«­ë© ­ ¡®à, â ª çâ®:

 

 

 

X

 

(r)

 

(r0) +

 

 

(r)

 

(r0)] =

(r

 

r0)

 

 

 

[

p

;p

;

(6.102)

 

 

p

 

 

p

 

 

 

;p

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ ik { ᨬ¢®« à®­¥ª¥à

¯® ᯨ­®à­ë¬ ¨­¤¥ªá ¬. 㬬 , áâ®ïé ï ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨

(6.101) ®â«¨ç ¥âáï ®â (6.102) § ¬¥­®©

­

0, â ª çâ®:

 

 

 

 

 

 

 

 

(rt); (r0t)

+

= 0 (r

;

r0)

 

 

(6.103)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¤áâ ¢«ïï (6.103) ¢ (6.100) ¯®«ã稬 ®ª®­ç ⥫쭮:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p ; m)G(x ; x0) = (x ; x0)

 

(6.104)

ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î ¨à ª á - ä㭪樥© ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨, â.¥. ¤¥©á⢨⥫쭮 ï¥âáï ä㭪樥© ਭ ¤«ï í⮣® ãà ¢­¥­¨ï7.

7 ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® á ¢¥«¨ç¨­ iG(x1 ; x2) ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¢¥¤¥­­®© ¢ëè¥ ¢ « ¢¥ 4 䥩- ­¬ ­®¢áª®© ä㭪樥© K+(2; 1)



140

 

áᬮâਬ á­®¢ äãàì¥-®¡à § ä㭪樨 ਭ :

 

G(p) = Z d4 e;ip G( )

(6.105)

ëç¨á«ïï äãàì¥-ª®¬¯®­¥­âë ®â ®¡¥¨å áâ®à®­ ãà ¢­¥­¨ï (6.104), ­ ©¤¥¬:

 

( p ; m)G(p) = 1

(6.106)

¥è ï íâ® ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ãç ¥¬ १ã«ìâ â, ª®â®àë© ­ ¬ ¨§¢¥á⥭ ¥é¥ ¯® « ¢¥ 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(p) =

p + m

(6.107)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 ; m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¬¯®­¥­âë 4-¢¥ªâ®à

p ¢ G(p) п¢«повбп ­¥§ ¢¨б¨¬л¬¨ ¯¥а¥¬¥­­л¬¨, ®­¨ ­¥ б¢п-

§ ­ë ᮮ⭮襭¨¥¬ ⨯ p2

 

p2

;

p2

= m2. ᫨ § ¯¨á âì §­ ¬¥­ ⥫ì (6.107)

2

 

 

2

2

 

0

 

 

 

 

¢ ¢¨¤¥: p0 ; (p

 

+ m

), â® ¢¨¤­®, çâ® G(p) ª ª äã­ªæ¨ï p0 ¯à¨ § ¤ ­­®¬ p ¨¬¥¥â

¤¢ ¯®«îá

¯à¨ p0 =

", £¤¥ " =

p

p2 + m2

. ®£¤ , ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® dp0 ¢

¨­â¥£à «¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G( ) = Z

 

d4p

 

 

 

1

 

Z d3peipr Z dp0eip0 G(p) ( = t ; t0)

 

 

 

e;ip G(p) =

 

(6.108)

 

(2 )4

(2 )4

¢®§­¨ª ¥â ¯à®¡«¥¬ ®¡å®¤ íâ¨å ¯®«îᮢ, â ª¦¥ §­ ª®¬ ï ­ ¬ 㦥 ¯® « ¢¥ 4.

ਬ¥­¨¬ á­®¢

¨á¯®«ì§®¢ ¢è¨©áï â ¬ ¯®¤å®¤ ¥©­¬ ­ . ¥à­¥¬áï ª ®¯à¥¤¥«¥-

­¨î (6.97). ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ­¥£®

 

-®¯¥à â®àë ¢ ¢¨¤¥ (6.72), § ¬¥ç ï, çâ® ®â«¨ç­ë ®â

 

 

 

 

 

 

< 0japap+j0 >= 1

< 0jbpb+p j0 >= 1

(6.109)

®£¤ ¯®«ã稬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­ã«ï ¢ ªãã¬­ë¥ á।­¨¥ ⮫쪮 ®â á«¥¤ãîé¨å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï

¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(x

;

x0) =

;

i

 

 

(rt) (r0t0) =

i

 

 

e;i"(t;t0)

p(r) p(r0)

(6.110)

 

 

 

p

 

 

 

;

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

X

 

 

 

¯à¨ t ; t0 > 0. ®®â¢¥âá⢥­­®:

 

 

 

 

 

 

 

G(x ; x0) = i

 

p

(r0t0) (rt) = i

p

ei"(t;t0)

;p(r) ;p(r0)

(6.111)

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

X

 

 

¯à¨ t ; t0 < 0. ¨¤¨¬, çâ® ª ª ¨ « ¢¥ 4 ¯à¨ t ; t0 > 0 ¢ª« ¤ ¢ G ¤ îâ ⮫쪮

í«¥ªâà®­ë, ¯à¨ t ; t0 < 0 { ⮫쪮 ¯®§¨âà®­ë. à ¢­¨¢ ï (6.110) ¨ (6.111) á

(6.108) ¢¨¤¨¬, çâ® ¨­â¥£à «

Z dp0e;ip0

 

 

(6.112)

¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ (6.108) ¤®«¦¥­ ¨¬¥âì ¬­®¦¨â¥«ì e;i" ¯à¨ > 0 ¨ ei" ¯à¨ < 0.

⮣® ¬®¦­® ¤®¡¨âìáï, ¥á«¨ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ (6.112) ®¡å®¤¨âì ¯®«îá

p0 = " ¨

p0 = ;" ᮮ⢥âá⢥­­® ᢥàåã ¨ á­¨§ã ¢ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠¯¥à¥¬¥­­®© p0, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.6-8. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ > 0 ­ã¦­® (¤«ï á室¨¬®áâ¨!) § - ¬ª­ãâì ¯ãâì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®á⨠¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠p0, в®£¤ §­ з¥­¨¥ ¨­в¥£а « (6.112) ¡г¤¥в ®¯а¥¤¥«пвмбп ¢лз¥в®¬ ¢ ¯®«об¥ p0 = +". ਠ< 0 § ¬ëª ¥¬ ª®­âãà ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ ¨­â¥£à «