ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1928
Скачиваний: 1
608 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
|
Этот результат не так тривиален, как кажется, так как он применим не к отдельным диаграммам, а только к суммам диаграмм, в которых вершины токов вставлены во все возможные места.
Особенно важное применение формула (10.5.2) находит при вычислении фотонного пропагатора. Точный фотонный пропагатор, обозначаемый обычно ′μν(q), имеет вид
′ |
μν (q) + μρ (q)M |
ρσ |
(q) σν (q) , |
(10.5.10) |
μν (q) = |
|
ãäå Mρσ пропорционален матричному элементу (10.5.1) с двумя токами *, α è β − вакуумные состояния, и μν − свободный фотонный
пропагатор, который в общей лоренц-инвариантной калибровке имеет вид
μν (q) ≡ |
ημν − ξ(q2 )qμqν / q2 |
. |
(10.5.11) |
||
q2 |
− iε |
||||
|
|
|
|||
Из (10.5.2) имеем qμMμν = 0, òàê ÷òî
|
μ |
′ |
μ |
|
q ν (1 |
− ξ(q2 )) |
|
|
q |
|
μν (q) = q |
|
μν (q) = |
|
|
. |
(10.5.12) |
|
|
q2 − iε |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
С другой стороны, по аналогии с тем, как это делалось для скалярного и спинорного полей в разделе 10.3, можно выразить точный фотонный пропагатор через сумму ∏*(q) диаграмм с двумя внешни-
ми фотонными линиями, которые (в противоположность М) однофотонно неприводимы:
′(q) = (q) + (q) ∏* (q) (q) + (q) ∏* (q) (q) ∏* (q) (q) + . . .
= |
|
(q)−1 − ∏* (q) |
|
−1 |
(10.5.13) |
|
|
||||
|
|
|
, |
или, иными словами,
* Напомним (см. начало раздела), что последнее утверждение верно только для теорий типа спинорной электродинамики, где взаимодействие линейно по Aμ. Однако важное для дальнейшего условие поперечности (10.5.2) для Mρσ(q) верно для любой теории. — Прим. ред.
10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент |
609 |
||||
|
|
|
|
|
|
′ |
*ρσ |
(q) |
′ |
(10.5.14) |
|
μν (q) = μν (q) + μρ (q) ∏ |
|
σν (q) . |
|
||
Для того, чтобы удовлетворить (10.5.2), необходимо выполнение равенства
qρ ∏*ρσ (q) = 0 . |
(10.5.15) |
Отсюда, совместно с лоренцовской инвариантностью, вытекает, что поляризационный оператор ∏*(q) должен иметь вид
∏*ρσ (q) = cq2 ηρσ − qρqσ hπ(q2 ) . |
(10.5.16) |
Тогда из представления (10.5.13) получаем следующий вид точного пропагатора:
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
ημν − ξ(q2 )qμqν / q |
2 |
|
(10.5.17) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
μν (q) = |
|
[q2 − iε][1 − π(q2 )] |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
|
= ξ |
|
|
2 |
|
− π |
2 |
|
+ π |
|
2 |
|
|
(10.5.18) |
|
ξ |
) |
(q |
)[1 |
)] |
(q |
) . |
|||||||||||
(q |
|
|
|
(q |
|
|
|
|
|
||||||||
Далее, поскольку поляризационный оператор ∏*(q) содержит вкла-
ды только от однофотонно неприводимых диаграмм, можно ожидать, что эта величина не имеет полюса при q2 = 0. (Важным исключением является случай нарушенной калибровочной симметрии, обсуждаемый в томе II.) В частности, из отсутствия полюса при q2 = 0 в слагаемом, пропорциональном qμqν â ∏*(q) вытекает, что у функции π(q2) также нет такого полюса, и в результате полюс в
точном пропагаторе (10.5.17) остается в точке q2 = 0. Это указывает на то, что фотон не приобретает массы за счет радиационных поправок.
Для перенормированного электромагнитного поля радиационные поправки также не изменяют калибровочно инвариантную часть вычета в фотонном полюсе в (10.5.17), так что
π(0) = 0 . |
(10.5.19) |
Это условие приводит к определению константы перенормировки электромагнитного поля Z3. Напомним, что лагранжиан электроди-
610 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
|
намики, выраженный через перенормированное поле (10.4.17), имеет вид
L = - 14 Z3 (¶μ Aν - ¶νAμ )(¶μ Aν - ¶νAμ ) + LM dYl , [¶μ - iZ3qlAμ ]Yl i .
Тогда функция p(q2) в однофотонно неприводимой амплитуде имеет
âèä
π(q2 ) = 1 − Z |
3 |
+ π |
LOOP |
(q2 ) , |
(10.5.20) |
|
|
|
|
ãäå pLOOP определяет вклад петлевых диаграмм. Отсюда вытекает,
÷òî
Z3 = 1 + πLOOP(0) . |
(10.5.21) |
На практике, чтобы сделать p(0) равным нулю, нужно просто
вычислить вклад петель и вычесть константу.
Наконец, формула (10.5.18) показывает, что при q2 ¹ 0 калиб-
ровочное слагаемое в фотонном пропагаторе изменяется за счет радиационных поправок. Исключением является случай калибровки
~
Ландау, когда x = x = 1 äëÿ âñåõ q2.
10.6.Электромагнитные формфакторы
èмагнитный момент
Пусть мы хотим вычислить процесс рассеяния частицы на внешнем электромагнитном поле (или электромагнитном поле другой частицы) в первом порядке теории возмущений по этому полю, но во всех порядках по всем другим взаимодействиям данной частицы (включая электромагнитное). Для этого необходимо знать сумму вкладов всех фейнмановских диаграмм с одной входящей и одной выходящей линией частицы, каждая из которых находится на массовой поверхности, и одной фотонной линией, которая может быть и на массовой поверхности, и вне нее. Согласно теореме раздела 6.4, такая сумма определяется одночастичным матричным элементом электромагнитного тока Jμ(x). Посмотрим, что определяет общий вид этого
матричного элемента.
В силу трансляционной инвариантности одночастичный матричный элемент электромагнитного тока имеет вид
10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент |
|
|
611 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ′ |
σ′ , Jμ |
(x)Y |
σ |
|
= exp(i(p - p¢) × x) |
Y ′ |
σ′ , Jμ |
(0)Y |
σ |
|
. |
(10.6.1) |
|
d p , |
|
p, |
|
i |
d |
p , |
|
p, |
|
i |
|
|
|
Условие сохранения тока ¶μJμ = 0 в этом случае означает, что |
|||||||||||||
|
|
(p¢ - p)μ dYp′,σ′ , Jμ (0)Yp,σ i = 0 . |
|
|
|
|
(10.6.2) |
||||||
Кроме того, полагая m = 0 и интегрируя по всем x, находим |
|
|
|||||||||||
dYp′,σ′ , QYp,σ i = (2p)3 d3 (p - p¢)dYp′,σ′ , J0 (0)Yp,σ i . |
|
|
|
|
|||||||||
Используя формулу (10.4.8), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dYp,σ′ , J0 (0)Yp,σ i = (2p)−3 qdσσ′ , |
|
|
|
|
(10.6.3) |
|
|||||
ãäå q − заряд частицы.
В нашем распоряжении есть и ограничения на матричные элементы токов, накладываемые лоренц-инвариантностью. Чтобы получить их, рассмотрим простейшие случаи: спин 0 и спин 1/2. Представленный ниже анализ является примером полезной техники вычислений, используемой и для других токов, например, для токов полулептонных слабых взаимодействий.
Ñïèí íóëü
В случае спина нуль требование лоренц-инвариантности приводит к следующему общему виду одночастичного матричного элемента тока:
dYp′ , Jμ (0)Yp i = q(2p)−3 (2p¢0 )−1/2 (2p0 )−1/2 J μ (p¢, p) , (10.6.4)
ãäå ð0 è ð′0 энергии на массовой поверхности (p0 = p2 + m2 ), à Jμ(p′,p) — 4-вектор, являющийся функцией двух 4-векторов p′μ è pμ. (Для удобства дальнейших выкладок мы выделили из J множи-
тель, равный заряду частицы q.) Очевидно, что самый общий вид такой функции − это линейная комбинация p′μ è pμ или, эквивалентно, p′μ + pμ è p′μ − pμ, со скалярными коэффициентами. Однако значения скаляров р2 è ð′2 фиксированы: р2 = ð′2 = −m2, так что скалярные переменные, которые можно построить из p′μ è pμ,