ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1926
Скачиваний: 1
10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент |
617 |
|
|
|
|
ãäå B = Ñ ´ A − магнитное поле. В пределе медленно меняющегося
внешнего магнитного поля матричный элемент гамильтониана взаимодействия принимает вид
dYp′,σ′ , H¢Yp,σ i = - |
qF(0) |
(J( 21 ) )σ′σ × Bd3 (p - p¢) . |
(10.6.22) |
|
m |
||||
|
|
|
Магнитный момент m произвольной частицы со спином j определя-
ется утверждением, что матричный элемент оператора взаимодействия частицы со слабым статическим медленно меняющимся магнитным полем имеет вид
dYp′,σ′ , H¢Yp,σ i = - m |
(J( 21 ) )σ′σ × Bd3 (p - p¢) . |
(10.6.23) |
j |
|
|
Соответственно формула (10.6.22) дает следующее выражение для магнитного момента частицы с зарядом q, массой m и спином 1/2:
m = |
qF(0) |
. |
(10.6.24) |
|
|||
|
2m |
|
|
Это выражение содержит как частный случай знаменитый результат Дирака 7: для частицы спина 1/2 m = q/2m без учета радиацион-
ных поправок.
Отметим без доказательства, что формфакторы F(k2) è G(k2) протона можно измерить при k2 > 0 путем сравнения экспериментальных данных по рассеянию электронов на протонах с формулой Розенблюта 8 для дифференциального сечения рассеяния в лабораторной системе:
ds |
= |
e4 |
|
|
cos2 |
(q 2) L |
+ |
2E0 |
|
2 |
(q 2) |
O−1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin |
|
P |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d |
|
4(4p) |
2 |
2 |
|
sin |
4 |
|
M |
|
m |
|
|
|
|
W |
|
|
E0 |
|
|
(q 2) N |
|
|
|
|
|
Q |
|||
R |
2 |
|
k2 |
|
|
U |
´ ScF(k2 ) + G(k2 )h |
|
+ |
|
c2F2 |
(k2 )tg2 |
(q 2) + G(k2 )hV , |
|
4m2 |
|||||
T |
|
|
|
|
W |
10.7. Представление Челлена–Лемана |
619 |
|
|
|
|
где сумма берется по любому полному набору состояний. (Сумма по n включает интегралы по непрерывным и суммы по дискретным переменным.) Выбирая эти состояния как собственные состояния 4-вектора импульса Pμ, на основании трансляционной инвариантно-
сти получаем, что
á0| F(x)| nñ = exp(ipn × x)á0| F(0)| nñ,
án| F† (y)| 0ñ = exp(-ipn × y)án| F† (0)|0ñ , |
(10.7.2) |
|
и поэтому
F(x)F† (y) = å expbipn × (x - y)g| á0| F(x)| nñ|2 . |
(10.7.3) |
|
0 |
n |
|
|
|
|
Удобно переписать это выражение, введя спектральную функцию. Заметим, что сумма ån d4 (p - pn )| á0| F(x)| nñ|2 есть скалярная функция 4-вектора pμ и поэтому может зависеть только от р2 è (ïðè p2 £ 0)
от знака p0. На самом деле, для всех промежуточных состояний в (10.7.3) p2 £ 0 è ð0 > 0, так что сумма принимает вид
åd4 (p - pn )| á0| F(0)| nñ|2 = (2p)−3 q(p0 )r(-p2 ), |
(10.7.4) |
n |
|
ãäå r(−p2) = 0 äëÿ p2 > 0. (Множитель (2p)–3 выделен из r для удобства дальнейших выкладок.) Спектральная функция r(−p2) î÷å-
видно действительна и положительна. С учетом данного определения выражение (10.7.3) можно переписать в виде
cF(x)F†(y)h0 = (2p)−3 z d4p exp[ip × (x - y)]q(p0 )r(-p2 )
∞
= (2p)−3 z d4pz dm2 exp[ip × (x - y)]q(p0 )r(m2 )d(p2 + m2 ) . (10.7.5)
0
Меняя порядок интегрирования по pμ è m2, можно представить
последнее выражение в виде
620 |
|
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
F(x)F† (y) |
0 |
= z dm2r(m2 )D+ (x - y; m2 ) , |
(10.7.6) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ãäå D+ — знакомая нам функция |
|
||
D+ (x - y; m2 ) º (2p)−3 z d4p exp[ip × (x - y)]q(p0 )d(p2 + m2 ) . (10.7.7) |
|||
Совершенно аналогично можно показать, что |
|
||
|
|
∞ |
|
F† (y)F(x) |
0 |
= z dm2r(m2 )D+ (y - x; m2 ) , |
(10.7.8) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где вторая спектральная функция определена соотношением |
|
||
åd4 (p - pn )| á0| F† (0)| nñ|2 = (2p)−3 q(p0 )r(-p2 ). |
(10.7.9) |
||
n |
|
|
|
Используем теперь требование причинности, заключающееся в том, что коммутатор [F(x),F†(y)] обращается в нуль, если точки x и y разделены пространственноподобным интервалом. Среднее по вакууму от коммутатора имеет вид
|
|
∞ |
[F(x)F† (y)] |
0 |
= z dm2 dr(m2 )D+ (x - y; m2 ) - r(m2 )D+ (y - x; m2 )i .(10.7.10) |
|
|
0 |
Как указывалось в разделе 5.2, если интервал между x и y пространственноподобен, функция D+(x − y) не обращается в нуль,
но является четной. Поэтому для того, чтобы выражение (10.7.10) обратилось в нуль при произвольных пространственноподобных интервалах, необходимо выполнение условия
r(m2 ) = r(m2 ) . |
(10.7.11) |
Это частный случай СРТ-теоремы, доказанной здесь без обращения к теории возмущений: для любых состояний с p2 = −m2, имеющих квантовые числа оператора F, должны найтись соответствующие состояния с p2 = −m2, имеющие квантовые числа оператора F†.