Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Задачи

1. Вычислите вклады в функцию поляризации вакуума p(q2) è â

Z3 однопетлевых диаграмм, содержащих заряженные бесспиновые частицы массой ms. Какое влияние окажут эти поправки на сдвиг уровней 2s состояния в атоме водорода, если ms . Zame?

2.Пусть взаимодействие нейтрального скалярного поля j массой

mϕ с полем электронов имеет вид gj`yy. Какое влияние окажет

это взаимодействие в однопетлевом приближении на магнитный момент электрона и величину Z2?

3.Рассмотрите нейтральное скалярное поле j массой mϕ и самодействием gj3/6. Рассчитайте матричный элемент S-матрицы для скаляр-скалярного рассеяния в однопетлевом приближе-

íèè.

4.Рассчитайте в однопетлевом приближении влияние нейтраль-

ного скалярного поля из задачи 2 на поправку dme к массе элек-

трона.

Список литературы

1.Feynman, R.P., Phys. Rev., 76, 769 (1949).

2.Wick, G.C., Phys., Rev., 80, 268 (1950).

3.¢t Hooft, G. and Veltman, M., Nucl. Phys., B44, 189 (1972).

Phys. Lett., 20, 682 (1966); 21, 720 (1966); Erickson, G.W. and Liu, H.H.T., UCD-CNL-81 report (1968).

4.Uehling, E.A., Phys. Rev., 48, 55 (1935). Однопетлевая функция p(q2) впервые была вычислена при q2 ¹ 0 в работе: Schwinger,

J., Phys. Rev., 75, 651 (1949).

5.Schwinger, J., Phys. Rev., 73, 416 (1948).

6.Этот расчет (включая слагаемые, исчезающие в пределе

me n mμ) выполнен в работах: Suura, H. and Wichmann, E.,

Phys. Rev., 105, 1930 (1957); Petermann, A., Phys. Rev., 105, 1931 (1957); Elend, H.H., Phys. Lett., 20, 682 (1966); 21, 720 (1966); Erickson, G.W. and Liu, H.H.T., UCD-CNL-81 report (1968).

7.Bailey, J. et al. (CERN-Mainz-Daresbury Collaboration), Nucl. Phys., B150, 1 (1979). Эти эксперименты были выполнены путем наблюдения прецессии спина мюона в накопительном кольце.

8.Pauli, W. and Villars, F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 (1949). См. также: Rayski, J., Phys. Rev., 75, 1961 (1949).

9.См., например, в книге: Miller, A.I., Theory of Relativity — Emergence (1905) and Early Interpretation (1905-1911) (Addison Wesley, Reading, MA, 1981), Chapter 1.

12

Общая теория перенормировок

Âпредыдущей главе было показано, что вычисления в квантовой электродинамике, относящиеся к однопетлевым диаграммам, приводят к расходящимся интегралам в импульсном пространстве, однако все расходимости сокращаются, если выразить параметры теории через «перенормированные» величины вроде реально измеряемых на опыте масс и зарядов. В 1949 году Дайсон 1 обрисовал доказательство того, что аналогичное сокращение будет имет место во всех порядках теории возмущений в квантовой электродинамике. Сразу же было очевидно (и это будет показано ниже в разделах 12.1 и 12.2), что аргументы Дайсона применимы к значительно более широкому классу теорий с конечным числом сравнительно простых взаимодействий — к так называемым перенормируемым теориям. Квантовая электродинамика является лишь простейшим примером подобных теорий.

Âтечение ряда лет общепринятой была точка зрения, что любая разумная физическая теория должна иметь форму перенормируемой квантовой теории поля. Требование перенормируемости играло решающую роль при построении современной «стандартной модели» слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий. Однако, как мы увидим ниже, сокращение ультрафиолетовых расходимостей реально не зависит от перенормируемости: до тех пор, пока мы включаем в теорию каждое из бесконеч- ного числа взаимодействий, разрешенных симметриями, так называемые неперенормируемые теории становятся столь же перенормируемыми, как и перенормируемые теории.

Âнастоящее время общепризнано, что реалистические теории, используемые для описания физики при доступных энергиях, отно-

сятся к так называемым «эффективным теориям поля». Под этим понимают низкоэнергетические приближения к более фундаментальной теории, которая может вообще не быть теорией поля (см. раздел 12.3). Любая эффективная теория поля с необходимостью включает бесконечное число неперенормируемых взаимодействий. Тем не менее, как показано в разделах 12.3. и 12.4, мы полагаем, что при достаточно низких энергиях все неперенормируемые взаимодействия в этих теориях сильно подавлены. Таким образом, перенормируемые теории типа квантовой электродинамики или стандартной модели сохраняют свой особый статус в физике, хотя и по причинам, несколько отличающимся от тех, которые первоначально привели к предположению о перенормируемости этих теорий.

12.1. Индексы расходимости

Рассмотрим теорию весьма общего вида, содержащую взаимодействия разных типов, помеченные индексом i. Каждое взаимодействие можно охарактеризовать числом nif полей каждого типа f и числом di производных, действующих на эти поля.

Начнем с вычисления индекса расходимости * D произвольной связной одночастично неприводимой диаграммы Фейнмана в такой теории. Он равен числу импульсных множителей в числителе минус число таких множителей в знаменателе подынтегрального выражения плюс четыре степени на каждый независимый 4- импульс, по которому проводится интегрирование. Индекс расходимости равен фактической степени расходимости, возникающей при интегрировании по области импульсного пространства, в которой импульсы всех внутренних линий одновременно устремляются к бесконечности. Именно, подвергнем все внутренние импульсы однородному растяжению одним масштабным фактором κ; тогда

* Автор использует принятый в англоязычной литературе термин superficial degree of divergence. В переводе этого термина в опубликованных книгах существует полный разнобой (условная степень расходимости, кажущаяся степень расходимости, поверхностная степень расходимости и т. п.). Мы решили использовать введенный в книге Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова «Введение в теорию квантованных полей» термин индекс расходимости. — Прим. ред.

вклад в амплитуду от области больших импульсов, отвечающий κ → ∞, расходится при D > 0 как

Точно так же, при индексе расходимости D = 0 интеграл расходится логарифмически, а при D < 0 интеграл сходится, по крайней мере, в рассматриваемой области импульсного пространства *. Позднее мы вернемся к проблеме, когда подинтегрирования ** ведут себя хуже, чем интеграл по всей области.

Для вычисления D потребуется следующая информация о диаграмме:

If ≡ число внутренних линий поля типа f;

Ef ≡ число внешних линий поля типа f;

Заглянув в гл. 6, видим, что sf = 0 для скалярных, sf = 1/2 для дираковских и sf = 1 для векторных полей. В более общем случае можно показать, что для массивных полей типа (А,В) по отношению к лоренцовским преобразованиям sf = А + В. Не очень точно можно называть sf «спином». Однако, если отбросить те слагаемые, которые не дают вклада в силу калибровочной инвариантности, то для эффективного фотонного пропагатора ημν/k2 получаем sf = 0. Аналогичный

результат справедлив для массивного векторного поля, взаимодействующего с сохраняющимся током, при условии, что ток не зависит от векторного поля. Можно показать, что в том же смысле и для гравитонного поля gμν пропагатор имеет sf = 0.

* Фактическая степень расходимости диаграммы может оказаться меньше ее индекса расходимости. Конкретные примеры приведены ниже, в разделе 12.2. —

Ïðèì. ðåä.

** Термин «подинтегрирование» означает интегрирование по части внутренних импульсов, тех, которые отвечают некоторой поддиаграмме данной диаграммы (см. ниже). — Прим. ред.

678 Глава 12. Общая теория перенормировок

Согласно (12.1.2) полный вклад всех пропагаторов в D равен:

Кроме того, производные в каждом взаимодействии типа i вносят di импульсных множителей под интегралом, что дает общий вклад в D, равный

Наконец, следует подсчитать полное число независимых импульсных переменных интегрирования. Каждая внутренняя линия несет 4-импульс, но не все они независимы, т. к. дельтафункции, связанные с каждой вершиной, накладывают линейные связи на внутренние импульсы, за вычетом одной общей дельтафункции, выражающей закон сохранения внешних импульсов. Таким образом, элементы объема интегрирования в импульсном пространстве вносят в D слагаемое

что, конечно, есть учетверенное число независимых петель в диаграмме. Складывая выражения (12.1.3), (12.1.4) и (12.1.5), находим, что

В приведенном виде формула (12.1.6) не очень удобна, так как значение D кажется зависящим от внутренних деталей данной диаграммы. К счастью, формулу можно упростить, воспользовавшись топологическими тождествами

(Каждая внутренняя линия соединена с двумя вершинами, а каждая внешняя − только с одной.) Используя формулу (12.1.7) для

исключения If, видим, что (12.1.6) переходит в выражение вида