Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

ãäå Di - параметр, характеризующий взаимодействия i-ого типа:

Этот результат можно было бы получить путем простого размерного анализа, не прибегая к рассмотрению структуры фейнмановских диаграмм. Пропагатор поля есть четырехмерный фурьеобраз среднего по вакууму от хронологического произведения пары свободных полей, так что обычным образом нормированное поле f, (массовая) размерность * которого равна Df, имеет пропагатор размерности -4 + 2Df . Поэтому, если пропагатор ведет себя как k−2+2sf ,

при k много большем массы, то поле должно иметь размерность -4 + 2Df = -2 + 2sf, èëè Df = 1 + sf. Ваимодействие типа i, включа-

þùåå nif таких полей и di производных, будет иметь размерность di + åfnif(1 + sf). Но действие должно быть безразмерно, поэтому

каждое слагаемое в плотности лагранжиана должно иметь размерность +4, чтобы сократить размерность - 4 элемента объема d4x.

Отсюда следует, что константа связи данного взаимодействия должна иметь размерность 4 - di - åfnif(1 + sf), что как раз равно параметру Di. Амплитуда в импульсном пространстве, отвечающая связной

диаграмме Фейнмана с Ef внешними линиями типа f есть фурьепреобразование по 4åfEf координатам среднего по вакууму от

хронологического произведения полей с полной размерностью åfEf(1 + sf), так что она имеет размерность åfEf(-3 + sf). В этом выражении -4 приходится на размерности дельта-функции в импульсном пространстве, а åfEf(-2 + 2sf) — на размерность пропага-

торов внешних линий, так что суммарная размерность интеграла по импульсному пространству вместе со всеми константами связи равна

* В этой главе под словом «размерность» всегда подразумевается массовая или импульсная размерность ** в степенях массы или импульса в системе единиц, где $ = с = 1. Мы используем общепринятую нормировку полей, в том смысле, что слагаемое в лагранжиане свободного поля с наибольшим числом производных (определяющее асимптотическое поведение пропагатора) имеет безразмерный коэффициент.

** Т. е. размерность такой же степени массы или импульса. Англоязычный термин dimensionality in powers of momentum имеет устойчивый русскоязычный эквивалент массовая, или импульсная, размерность. — Прим. ред.

680 Глава 12. Общая теория перенормировок

åEf (-3 + sf ) - (-4) - åEf (-2 + 2sf ) = 4 - åEf (sf + 1) .

f f f

Полная размерность всех констант связи для заданной фейнмановской диаграммы равна åiNiDi, так что размерность собственно интеграла по импульсному пространству есть 4 - åfEf(sf + 1) - åiNiDi.

Поскольку нас интересует область интегрирования, в которой все импульсы совместно стремятся к бесконечности, индекс расходимости интеграла по импульсам равен его размерности. Это и подтверждает формулу (12.1.8).

Если для всех взаимодействий параметры Di ³ 0, формула

(12.1.8) дает верхнюю границу D, зависящую только от числа внешних линий каждого типа, т. е. от физического процесса, ам-

f

Например, для простого варианта квантовой электродинамики, рассмотренного в предыдущей главе, в табл. 12.1 приведены типы слагаемых в лагранжиане. Для всех взаимодействий здесь Di ³ 0, и поэтому фейнмановская диаграмма с Eγ внешними фотон-

ными линиями и Ee внешними дираковскими линиями будет иметь индекс расходимости, ограниченный условием (12.1.10):

Таким образом, только конечное число типов диаграмм с определенными наборами внешних линий может оказаться расходящимся. Все они будут перечислены в разделе 12.2. Мы собираемся показать, что в теориях, где размерности констант связи Di ³ 0 для всех взаимодействий и где число типов расходящихся

диаграмм ограничено, все расходимости автоматически устраняются переопределением конечного числа физических констант и перенормировкой полей. По этой причине такие теории называют перенормируемыми. В разделе 12.3 мы перечислим все перенормируемые теории и обсудим значение перенормируемости как критерия отбора физических теорий.

Термин «перенормируемое» применим также к отдельным взаимодействиям. Перенормируемые взаимодействия — это те,

у которых параметр Di ³ 0, т. е. взаимодействия, константы связи

которых имеют неотрицательную размерность. Иногда различают взаимодействия с Di = 0, которые называют просто перенормируемыми, и с Di > 0, которые называют суперперенормируемы-

ми. Поскольку добавление во взаимодействие дополнительных полей или производных всегда уменьшает параметр Di, может

существовать лишь ограниченное число перенормируемых взаимодействий, содержащих поля любого данного типа. Мы видели, что в простейшем варианте квантовой электродинамики все взаимодействия перенормируемы, а слагаемые с`yy суперпере-

нормируемы.

С другой стороны, если для какого-то взаимодействия Di < 0,

индекс диаграммы (12.1.8) неограниченнно возрастает по мере добавления соответствующих вершин. Независимо от того, сколь большими мы выберем разные Ef, в конце концов при достаточ- ном количестве вершин типа i, для которых Di < 0, выражение

(12.1.8) станет положительным (или нулем), и интеграл разойдется. Подобные взаимодействия, константы связи которых имеют

Табл. 12.1. Слагаемые плотности лагранжиана квантовой электродинамики. Здесь di, niγ è nie — числа производных, полей фотонов и полей электронов,

соответственно в данном члене взаимодействия, а i — размерность соответствующего коэффициента (напомним, что sγ = 0 è se = 1/2).

отрицательную размерность, называются неперенормируемыми,* так же, как и теории, включающие любые неперенормируемые взаимодействия. Это не означает, что такие теории безнадежны; мы увидим, что бесконечности в них также можно поглотить переопределением параметров теории, с той разницей, что необходимо бесконечное число констант связи.

Следует иметь в виду, что вычисленный нами индекс диаграммы определяет структуру расходимости фейнмановских диаграмм при интегрировании только по тем областям импульсного пространства, в которых все внутренние 4-импульсы совместно стремятся к бесконечности. Однако расходимости могут возникать и от областей, в которых к бесконечности стремятся только 4-импульсы линий, принадлежащих некоторой поддиаграмме. Например, для комптоновского рассеяния в квантовой электродинамике (Ee = 2, Eγ = 2) из формулы (12.1.11) следует, что индекс расходимости D £ −1, и, действительно, диаграммы типа пока-

занной на рис. 12.1, а сходятся. Однако диаграммы рис. 12.1, б или 12.1, в логарифмически расходятся, т. к. они содержат поддиаграммы (выделенные пунктирными прямоугольниками) с D ³ 0.

Расходимости этих диаграмм объясняются аномально плохим асимптотическим поведением подынтегральных выражений в специальных (под)областях импульсного пространства. В этих областях восемь компонент двух независимых внутренних 4-импуль- сов стремятся к бесконечности таким образом, что в действительности к бесконечности стремится толькот один 4-импульс — тот, который циркулирует в петлях, вставленных либо во внутренние линии, либо в электрон-фотонную вершину *.

Было показано 2, что требование фактической сходимости амплитуды, соответствующей любой диаграмме, заключается в том, чтобы подсчет степеней приводил к значению индекса расходимости D < 0 не только для всего многократного интеграла для полной амплитуды,

* В пертурбативной статистической механике неперенормируемые взаимодействия носят название несущественных, так как они становятся менее важными в пределе низких энергий. Перенормируемые или суперперенормируемые взаимодействия называются соответственно маргинальными и существенными.

** Этот импульс можно взять в качестве независимого внутреннего импульса. — Прим. ред.