Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1913

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

11.4. Собственная энергия электрона

 

 

 

 

 

669

å

*

(p) =

 

ie2 X

 

4

 

2i(p - k/ )

+ 4m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1LOOP

 

 

 

Y d

 

k

e

 

 

 

 

 

 

 

(2p)4 Z

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

L

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

´ Y

dxM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- px)2 + p2 (1 - x)

+ m2x + m2

(1 - x) - ie)2

 

 

Y

M((k

 

 

Z0

N

 

 

 

 

 

 

 

e

 

(11.4.6)

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

((k - px)2 + p2x(1 - x) + m2x + m2 (1 - x) - ie)2

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

Q

Совершая сдвиг переменной интегрирования k ® k + px и повора-

чивая контур интегрирования, получим

å

*

 

 

(p) =

-2p2e2 X1

[2i(1 - x)p + 4m

X∞

dk k

3

 

 

 

 

 

 

 

Y dx

]Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1LOOP

 

 

(2p)4 Z0

 

 

/

 

e Z0

 

 

 

 

 

L

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

O

´ M

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ p2x(1

- x) + m2x)2

(k2

+ p2x(1

- x) + m2x + m2

(1 - x))2

 

M(k2

 

P

 

N

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

 

Q

Интеграл по k тривиален:

(11.4.7)

å*

(p) =

-p2e2

X1 dx

[2i(1 - x)p + 4m

 

]

 

 

 

e

 

 

1LOOP

 

 

Y

 

/

 

 

 

 

 

(2p)4 Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F p2x(1 - x) + me2x + m2 (1 - x)I

(11.4.8)

 

 

´ lnG

 

 

 

 

J .

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

H

p

x(1 - x) + mex

K

 

Контрчлены (11.1.9) также вносят вклад в å* в виде перенормирующих слагаемых −(Z2 − 1)(ip/ + me ) + Z2δme , ãäå Z2 è dme определяются условием, что точный пропагатор S′(p), рассматриваемый как функция ip/ , должен иметь полюс при ip/ = −me с единичным вычетом. (В следующей главе мы увидим, что это условие делает å* конечнымпри m ® ¥ во всех порядках по е.) В низшем порядке находим:

dme = - å1* LOOP |ip/ = −m

e

 

 

 

 

 

 

2mep2e2 X1

 

F me2x + m2 (1 - x)I

 

(11.4.9)

=

 

 

Y dx (1

+ x) lnG

 

J

,

 

(2p)

4

2

 

 

 

Z0

 

H

me x

K

 

 

670

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Z2 - 1 = -

= - 2p2e2

(2p)4

¶ å1* LOOP

i ¶p/ |ip/ = −me

 

 

 

|

 

F m

x + m

(1 - x)I

 

X

1

 

R

- x) ln

 

2

2

 

 

-

 

dx

(1

G

e

 

 

J

 

 

2

 

Y

 

 

S

 

 

 

 

Z0

 

|

 

H

 

me x

K

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

2m

2

(1 - x)

2

(1

 

U

 

 

+ x) |

 

 

 

 

 

 

V .

x(me2x + m2 (1

 

- x)) |

 

 

 

 

 

 

W

(11.4.10) (В этом порядке нет разницы между dme è Z2dme.) Опуская слагаемые, обращающиеся в нуль при m2 ® ¥, получаем из (11.4.8)−(11.4.10):

å1* LOOP

(p) =

-p2e2

(2p)4

 

 

X1 dx

[2i(1 - x)p + 4m

] lnF

 

m2 (1 - x)

I ,

 

 

Y

/

e

G

2

2

J

Y

 

 

Z0

 

 

H p

x(1 - x) + me xK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.4.11)

 

 

 

 

 

 

2mep2e2 X1

 

 

 

F m2 (1 - x)I

 

 

 

 

 

dme

=

 

 

 

 

 

 

 

Y

dx (1 + x) lnG

 

 

 

J ,

 

 

 

(11.4.12)

 

 

 

(2p)

4

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

H mex

 

K

 

 

 

 

Z - 1

= -

 

p

 

 

 

X

 

dx

(1

- x) lnF m

 

-

 

 

I -

 

-

x2 ) U

.

 

 

 

2

 

2e2

Y

1

 

 

R

 

 

2 (1

 

 

x)

 

2(1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

S

G

 

 

 

 

J

 

 

 

V

 

(11.4.13)

 

(2p)

4

 

 

 

 

2

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

T

H

mex

 

 

K

 

 

 

W

 

 

Видно, что в точной собственно-энергетической функции слагаемые с ln m2 сокращаются, и мы приходим к выражению

å*порядок e2 (p) = å1* LOOP

 

2

e

2

X1

R

 

=

-2p

 

Y dx

|

-

 

 

 

S[i(1

 

 

 

 

(2p)4

 

Y

|

 

 

 

T

 

 

 

 

 

Z0

 

 

F 1

- xI

 

-me(1

+ x) lnG

 

 

J

- (

 

 

 

H

x2 K

 

(p) - (Z

2

- 1)(ip + m

) + Z dm

e

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

e

2

 

 

 

 

 

 

x)p + 2m

 

] lnF

 

me2 (1 - x)

 

 

 

I

 

 

e

 

 

 

 

 

2

 

J

 

 

 

/

 

 

G 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

H p

x(1 - x) + me xK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- x

 

2(1 - x

2

 

ip + m

) (1 - x) lnF

1

I -

)

 

 

 

 

 

 

/

e

 

M

 

 

 

G

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

H x2 K

 

 

x

 

 

OU

|

PV Q|W

(11.4.14)

.

Приложение

671

Все еще остается расходимость в последнем слагаемом при x → 0.

Можно проследить, что она связана с сингулярным поведением интеграла (11.4.5) по фотонному импульсу k при k2 = 0, когда при вы- числении Z2 − 1 мы берем р2 в точке p2 = −me2. Детальное обсуждение

таких инфракрасных расходимостей дано в гл. 13. Сейчас для нас самое главное, что сократились ультрафиолетовые расходимости.

* * *

Результат (11.4.9) для δme интересен сам по себе. Заметим, что δme/ me > 0, как и следовало ожидать для электромагнитной собственной энергии, обязанной своим происхождением взаимодействию заряда с собственным полем. Однако, в противоположность классиче- ским оценкам электромагнитной собственной энергии, выполненным Пуанкаре, Абрагамом и др. 9, в формуле (11.4.9) содержится только логарифмическая расходимость в пределе μ → ∞, когда сни-

мается обрезание. В этом пределе

δme

→

6meπ2e2

F

μ

I

 

 

lnG

 

J .

(11.4.15)

(2π)4

 

 

 

H me

K

 

При вычислении лэмбовского сдвига в разделе 14.3 нас будет интересовать противоположный предел μ n me. В этом случае из (11.4.9)

получаем

δm

 

→

e2μ L

−

μ

 

+ . . .

O

 

(11.4.16)

 

 

1

 

 

P

.

 

8π

2πm

 

 

e

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

e

 

Q

 

 

Приложение. Некоторые инегралы

Чтобы объединить знаменатели N пропагаторов, необходимо заменить произведение типа D1−1 D2−1... DN−1 на интеграл от функции,

содержащей линейную комбинацию D1, D2, ..., DN. С этой целью часто удобно воспользоваться формулой

672

 

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

 

 

1

 

 

1

1

1

 

 

=

(N - 1)! z0 dx1 z0 dx2 . . . z0 dxN−1

 

D D . . . D

1

2

N

 

 

 

(11.À.1)

´D1xN−1 + D2 (xN−2 - xN−1)+. . .+DN (1 - x1) −N .

Âэтой главе мы использовали частные случаи этой формулы при N = 2 и N = 3.

После объединения знаменателей, сдвига переменной интегрирования, виковского поворота и учета инвариантности относительно четырехмерных вращений, мы обычно приходим к интегралам вида

X

(k2 )n

 

 

Y d4k

 

 

,

(k2 + n2 )

m

Z

 

 

ãäå (k2 + n2)m возникает от объединения знаменателей, а (k2)n − îò

числителей пропагаторов и импульсных множителей в вершинах. Такие интегралы расходятся при 2n+4 ³ 2m, но их можно сделать

конечными, аналитически продолжая по размерности пространст- ва-времени от 4 к комплексному значению d. Для вычисления полу- чающегося интеграла используем хорошо известную формулу

X

∞

kl−1

 

= nl−2m

G(l / 2)G(m - l / 2)

 

Y

dk

 

 

 

,

(11.À.2)

(k2 + n2 )

m

 

Z0

 

 

2G(m)

 

где l = d + 2n. В разделе 11.2 использовались частные случаи этой формулы при n = 0, m = 2 и n = 1, m = 2.

Ультрафиолетовые расходимости проявляются в (11.А.2) как полюсы в множителе G(m−l/2) = G(m−n−d/2) ïðè d ® 4 и фиксирован-

ном целом n. В случае 2 + n = m этот множитель ведет себя как

F 4

− dI

 

2

 

 

GG

 

 

J

®

 

+ g ,

(11.À.3)

 

 

d - 4

H

2 K

 

 

 

ãäå g = 0,5772157... − постоянная Эйлера. Предельное поведение для

случая 2 + n > m можно найти из (11.А.3) и рекуррентных соотношений для гамма-функций.

Смотрите также файлы