Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1910

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

12. 2. Сокращение расходимостей

693

Рис. 12.2 Некоторые диаграммы четвертого порядка для собственной энергии фотона в квантовой электродинамике, содержащие перекрывающиеся расходимости. Линии со стрелками отвечают электронам, волнистые линии − фотонам. Крестиками отмечены вклады контрчленов

Рис. 12.3. Некоторые диаграммы четвертого порядка для собственной энергии электрона в квантовой электродинамике, содержащие перекрывающиеся расходимости. Волнистые линии — фотоны, остальные линии — электроны. Крестиками отмечены вклады контрчленов

ранения ультрафиолетовых расходимостей по индексу не только для полной диаграммы, но и для всех ее поддиаграмм, а также доказательство, что такой рецепт (по крайней мере формально) осуществляется путем перенормировки масс, полей и констант связи. Тогда теорема 2 утверждает, что все функции Грина перенормированных полей, выраженные через перенормированные массы и константы связи, являются конечными. Первое доказательство того, что перенормировка полей, масс и констант связи делает как полную диаграмму, так и все ее поддиаграммы сходящимися по индексу, было дано Саламом 5. Более детальный рецепт устранения ультрафиолетовых расходимостей был предложен Боголюбовым и Парасюком 6 и подправлен Хеппом 7, причем

694 Глава 12. Общая теория перенормировок

они показали эквивалентность своего рецепта перенормировке полей, масс и констант связи. Наконец, Циммерман 8 доказал, что этот рецепт действительно устраняет все расходимости по индексу как в полной диаграмме, так и во всех ее поддиаграммах, и с помощью теоремы, доказанной в 2, пришел к выводу, что перенормированные фейнмановские интегралы в импульсном пространстве сходятся.

Коротко рецепт БПХЦ для устранения расходимостей по индексу требует, чтобы мы рассмотрели все возможные способы (их называют лесами) поместить полную диаграмму и/или ее поддиаграммы в ящики, которые могут находиться один внутри другого, но не перекрываться. (Ниже приведен пример.) Для каждого леса мы определяем вычитательное слагаемое, заменяя подынтегральное выражение для каждой поддиаграммы внутри ящика, имеющей индекс расходимости D, (начиная с самых внутренних ящиков и двигаясь наружу) на первые D + 1 слагаемых его разложения в ряд Тейлора по импульсам, входящим или выходящим из этого ящика *. Фейнмановская амплитуда с вычитаниями определяется исходными диаграммами минус все вычитательные слагаемые, в том числе, и слагаемое для леса, состоящего из единственного ящика, окружающего всю диаграмму.

Довольно легко показать, что вычисленная таким образом фейнмановская амплитуда с вычитаниями совпадает с той, которую мы получили бы, заменив все поля, массы и константы связи

âисходном лагранжиане на их перенормированные аналоги. Разница между этой процедурой и тем способом перенормировки, который был использован в гл. 11, заключается в том, что перенормированные поля, константы связи и массы определены через амплитуды, взятые в необычной точке нормировки **, в которой все 4-импульсы обращаются в нуль. (В этом смысле обсуждавшиеся

* В указанном виде рецепт применим как к неперенормируемым, так и к перенормируемым теориям. Для последних этот рецепт означает, что не следует делать никаких вычитаний, если только ящик не содержит одну из конечного числа диаграмм, отвечающих перенормируемым слагаемым

âлагранжиане.

**Англоязычный термин renormalization point стандартно переводится как точка нормировки (в этой точке перенормированная амплитуда принимает заданные значения). — Прим. пер.

12. 2. Сокращение расходимостей

695

в начале данного раздела одномерные расходящиеся интегралы являются простейшим примером выделения расходящихся слагаемых методом БПХЦ.) Однако в выборе такой точки нормировки нет ничего особенного; если фейнмановская амплитуда становится конечной, будучи записанной в терминах необычным образом перенормированных величин, то ее можно записать и в терминах обыч- ным образом перенормированных полей, констант связи и масс, не вводя при этом новых бесконечностей.

На практике нет необходимости пользоваться вычитательной процедурой БПХЦ. Замена полей, масс и констант связи их перенормированными аналогами (определенными в любой удобной точке нормировки) автоматически приводит к появлению контрчленов, сокращающих все бесконечности. Вместо того, чтобы доказывать, что вычитательная процедура БПХЦ действительно делает все интегралы сходящимися, рассмотрим один пример, показывающий, как работает схема перенормировок даже при наличии перекрывающихся расходимостей.

Рассмотрим вклад четвертого порядка в фотонную собственноэнергетическую вставку Π*μν(q), показанную на рис. 12.2. (В этом

случае леса состоят из диаграмм, которым отвечают полный интеграл по р и р′, подинтеграл только по р и подинтеграл только по р′ *.) С учетом соответствующих контрчленов для вершинных

частей и перенормировки поля фотона этот вклад имеет вид:

*

= −

 

e4

 

X

 

 

4

 

X

4

 

 

′

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 Y d

pY d

p

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

[Πμν (q)]перекр.

(2π)

 

 

 

 

(p − p′)

− iε

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× TrnS(p′)γ νS(p′ + q)γ ρS(p + q)γ μS(p)γ ρs

 

 

 

−

 

 

 

ie2

 

X

 

4

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

S(p + q)γ

 

 

 

(12.2.16)

2

1)

2

 

 

 

 

 

Y

 

d p Tr

n

ν

μ

s

 

− 2(Z

 

 

(2π)4

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

S(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− (Z

− 1)

перекр.

(q2η

μν

− q

μ

q

ν

),

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå S(p) ≡ [−ip/ + m] / [p2 + m2 − iε], (Z −1)

2

− слагаемое второго по-

рядка по е в (Z2 − 1), (Z3

−

 

 

 

 

 

 

2

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)перекр.

 

логарифмически расходя-

щаяся константа четвертого порядка по е, сокращающая слагаемые второго порядка по qλ â [Π*μν(q)]перекр.. Множитель 2 во втором

* В данном случае имеется пять лесов, но только три крестика. — Прим. ред.

696

Глава 12. Общая теория перенормировок

слагаемом возникает из-за того, что каждой из двух вершин в диаграмме второго порядка собственной энергии фотона соответствует перенормировочный контрчлен Z2 − 1. Заметим, что пер-

вое слагаемое можно понимать либо как результат вставки в фотонную собственноэнергетическую часть, даваемую интегралом по р, вместо левой вершины поправки к ней, т. е. вершинной части третьего порядка, которая дается интегралом по р′, ëèáî êàê ðå-

зультат вставки в фотонную собственноэнергетическую часть, даваемую интегралом по р′, вместо правой вершины поправки к

ней, даваемой интегралом по р. Однако нельзя рассматривать первое слагаемое как вставку двух независимых поправок к вершинам, т. к. в диаграмме есть только один фотонный пропагатор.

Чтобы понять, как обращаться с бесконечностями в (12.2.16), заметим, что

[(Z

− 1)

 

+ R

]γ

 

=

ie

2

X

d

4

p

′

γ

 

S(p′)γ

 

S(p′)γ ρ

, (12.2.17)

 

 

 

 

 

 

 

2

μ

 

 

Y

 

 

 

 

ρ

μ

2

 

2

 

 

(2π)4

 

− iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z p′2

 

 

 

 

 

 

ãäå R2 − конечный остаток. (В силу лоренц-инвариантности интеграл справа пропорционален γμ. Разность между этим интегралом и (Z2 − 1)2γμ равна полной перенормированной электрон−электрон−

фотонной вершине во втором порядке по е при нулевых значениях импульсов электрона и фотона, и поэтому конечна.) Это поволяе переписать (12.16) в виде:

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

e4

 

 

X

4

 

 

X

4

p

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Πμν (q)]перекр.

 

 

 

 

 

Y d

 

 

pY d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2π)8 Z

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

L

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× M

 

 

 

 

 

2

− iε

TrnS(p

)γ νS(p

+ q)γ S(p + q)γ μS(p)γ ρs

 

 

 

 

 

 

 

N(p − p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

1

 

 

 

 

TrnS(p′)γ νS(p′)γ ρS(p + q)γ μS(p)γ ρs

 

p′2

 

− iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

O

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)γ νS(p

 

+ q)γ S(p)γ μS(p)γ ρsP

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

− iε

TrnS(p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

− 2R

 

 

 

ie2

X d4p Tr

γ

 

S(p + q)γ

 

S(p)

 

 

 

 

 

ν

μ

 

 

 

2

 

(2π)4

Y

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

(Z

 

− 1)

 

 

 

 

(q2η − q

 

 

q

 

) .

 

 

 

 

(12.2.18)

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

перекр.

 

 

 

μν

 

 

 

μ

 

 

ν

 

 

 

 

 

12. 2. Сокращение расходимостей

697

Рассмотрим сначала интегрирование только по р′. Каждое из

первых двух слагаемых логарифмически расходится, однако их разность конечна. Третье слагаемое также логарифмически расходится (при калибровочно инвариантной регуляризации), но расходимость в этом слагаемом (в противоположность двум первым) имеет вид полинома второго порядка по q с конечным остатком. Эта остающаяся расходимость сокращается со слагаемым −(Z3 − 1)(q2ημν − qμqν),

которое уничтожает все слагаемые второго порядка в разложении Π*μν(q). Таким образом, подинтегрирование по р′ приводит к конеч-

ному результату. Из симметрии выражения (12.2.16) следует,

чтоточно таким же образом дает конечный результат подинтегрирование по р. Общего вида подинтегрирования по р и р′ при фикси-

рованном значении ap + bp′ (a è b − произвольные ненулевые кон-

станты) явно сходятся, а результат совместного интегрирования по р и р′ приводится к конечному ответу с помощью включения контр- члена −(Z3 − 1)(q2ημν − qμqν). Таким образом, интеграл (12.2.18) и лю-

бой его подинтеграл удовлетворяют требованиям сходимости по индексу, и поэтому согласно теореме 2, сформулированной в предыдущем разделе, все выражение действительно сходится.

** *

Âэлектродинамике существует естественное определение перенормированных констант связи, масс и полей. Однако так бы-

вает не всегда. Например, рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля ϕ(x) с лагранжианом

L = − 21 ∂λϕ ∂λϕ − 21 m2ϕ2 −

1

gϕ4 .

(12.2.19)

24

В однопетлевом приближении матричный элемент скаляр−

скалярного рассеяния согласно фейнмановским правилам имеет вид

S(q q → q′q′ ) =

1 2 1 2

−i(2π)

4

δ

4

′

′

− p1 − p2 )

 

 

(p1

+ p2

(2π)6 (16E′E′ E E )1/2

1 2 1 2

F(q q → q′q′ ) ,

1 2 1 2

(12.2.20)

ãäå

698 Глава 12. Общая теория перенормировок

−i(2π)

4

 

 

 

 

′ ′

 

4

 

 

1

 

−i(2π)

4

g

 

2 L

−i

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(q1q2 → q1q2 ) = −i(2π)

 

g + 2

 

 

 

π

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 )

X

L

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× Y d4kM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ k)2

+ m2 − iε

 

 

 

 

− k)2 + m2 − iε

 

 

 

Y

M

(q

1

 

(q

2

 

 

 

Z

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

′

 

O

 

 

 

 

 

 

 

(12.2.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+(q2 → −q1) + (q2 → −q2 )P ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

è q1, q2, q′1, q′2 − входящие и выходящие 4-импульсы. Объединяя

знаменатели и обычным способом поворачивая контур интегрирования по k0, получаем:

 

g2

 

X∞

 

3

X1

 

 

2

 

2

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

F = g −

 

 

Y

k

 

dk Y

dx {

k

 

+ m

 

− sx(1 − x)

 

 

 

2

 

 

 

 

16π

 

Z0

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ k2 + m2 − tx(1 − x) −2 + k2 + m2 − ux(1 − x) −2 }, (12.2.22)

ãäå s, t è u − мандельстамовские переменные

s = −(p

+ p )2

,

t = −(p

− p′ )2

,

u = −(p

− p′ )2

,

(12.2.23)

1

2

 

1

1

 

1

2

 

 

связанные соотношением s + t + u = 4m2, à x − фейнмановский

параметр, вводимый при объединении знаменателей. Совершая ультрафиолетовое обрезание при k = Λ, приходим к выражению (при Λ . m)

F = g −

 

g2

 

 

X1

R

F

 

 

Λ2

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

Y dxSlnG

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

32π

2

 

 

 

2

− sx(1

 

 

 

 

 

 

Z0

T

H m

 

− x)K

 

 

 

 

F

 

 

Λ2

 

 

 

I

 

 

F

 

Λ2

I

U

 

+ lnG

 

 

 

 

 

 

J

+ lnG

 

 

 

 

J

− 3V .

(12.2.24)

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

H m

 

 

− tx(1 − x)K

 

 

H m

 

− ux(1 − x)K

W

 

Мы можем определить перенормированную константу gR как значение F в любой точке s, t, u, при условии, что мы остаемся в области, где F действительна. Например, предположим, что с целью сохранить симметрию между скалярами, мы выбираем

Смотрите также файлы