ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1909
Скачиваний: 1
12. 2. Сокращение расходимостей |
691 |
Она не только конечна, но и удовлетворяет условию
|
|
(p, σ′)Γμ (p, p)u(p, σ) = |
|
(p, σ′)γ μ u(p, σ) , |
(12.2.13) |
||||||
|
u |
u |
|||||||||
что можно иначе увидеть также из (10.6.13) и (10.6.14). Наконец, L2 |
|||||||||||
вносит вклад − (Z |
3 |
− 1)(q2η |
μν |
− q q ) â Π* |
μν |
(q). Для того, чтобы фо- |
|||||
|
|
|
|
μ ν |
|
|
|||||
тонный пропагатор имел полюс с тем же вычетом, что и для свободных полей, необходимо, чтобы коэффициент при (q2ημν − qμqν) в полном выражении для Πμν(q) обращался в нуль, так что
Z3 = 1 + C, |
12.2.14) |
и тогда фотонный пропагатор конечен: |
|
Πμν (q) = (ημνq2 − qμqν )π(q2 ) . |
(12.2.15) |
До сих пор мы проверили, что расходимости, возникающие от интегрирований по области импульсного пространства, в которой все внутренние имульсы велики (и имеют общие отношения), являются полиномами по внешним импульсам, которые сокращаются при подходящем выборе контрчленов. Такие диаграммы будем называть расходящимися по индексу *. Прежде чем заключить, что все ультрафиолетовые расходимости действительно можно устранить перенормировкой, следует рассмотреть расходимости, возникающие в диаграммах высших порядков при интегрировании по областям импульсного пространства, где не все переменные интегрирования, а лишь их некоторое подмножество устремляется к бесконечности. Например, в квантовой электродинамике расходимости возникают от подинтегрирований, отвечающих расходящимся
* Появляющиеся здесь и ниже ключевые авторские термины superficially divergent (convergent) diagrams (subdiagrams) и superficial divergence (convergence) не имеют устойчивого русского эквивалента. Мы переводим их здесь как «диаграммы (поддиаграммы), расходящися (сходящиеся) по индексу». Расходимость (сходимость) диаграммы (поддиаграммы) по индексу означает, что ее индекс расходимости неотрицателен (строго отрицателен) и определяющий ее интеграл по внутренним импульсам расходится (сходится) в области, где все внутренние импульсы однородным образом устремляются к бесконечности. — Прим. ред.
692 Глава 12. Общая теория перенормировок
по индексам поддиаграммам, являющимся либо фотонными собственноэнергетическими частями P*, либо электронными собственноэнергетическими частями å*, либо электрон−электрон−фотонными вершинами Gμ. Трудности рассмотрения этих расходимостей свя-
заны с тем, что их нельзя устранить путем дифференцирования по внешним импульсам: имеются слагаемые, в которых производные действуют только на внутренние линии в тех частях диаграммы, которые не входят в расходящиеся поддиаграммы, и тем самым не уменьшают степень расходимости таких поддиаграмм. Как отмечалось в предыдущем разделе, диаграмма или сумма диаграмм действительно сходится тогда и только тогда, когда как она сама, так и все ее поддиаграммы сходятся по индексу. Но где бы ни возникла такая расходящаяся поддиаграмма, она всегда сопровождается бесконечным контрчленом. В электродинамике таковыми яв-
ляются слагаемые в (11.1.9): −(Z3 − 1)(q2hμν − qμqν) для каждого
P*μν(q), Z2δm − (Z2 − 1)(ip/ + m) для каждого å* и слагаемое (Z2 − 1)gμ для каждой вершины Gμ. Как и для диаграммы в целом, эти контр-
члены сокращают бесконечности в расходящихся поддиаграммах 1. К сожалению, в такой простой аргументации есть пробел, связанный с перекрывающимися расходимостями. Это означает, что возможна ситуация, когда две расходящиеся поддиаграммы имеют общую внутреннюю линию, так что нельзя рассматривать соответствующие расходящиеся интегралы как независимые. В квантовой электродинамике это случается только, если две электрон−электрон−фотонные вершины перекрываются внутри фотонной или элек-
тронной собственноэнергетической вставки * (см. рис. 12.2 и 12.3). Полное рассмотрение проблемы перенормировки с учетом
перекрывающихся расходимостей должно включать рецепт уст-
* Если две собственноэнергетические вставки или такая вставка и вершинная часть будут иметь общую линию, то не хватит внешних линий, чтобы прикрепить такую поддиаграмму к остальной части диаграммы. Исторически тождество Уорда (10.4.26) использовалось для того, чтобы обойти проблему перекрывающихся расходимостей в собственной энергии электрона, выразив эту энергию через вершинную функцию, в которой перекрывающихся расходимостей не возникает. Мы не будем следовать таким путем, поскольку в этом нет необходимости, кроме того, этот подход все равно не решает проблемы собственной энергии фотона или других нейтральных частиц.