Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Все инфракрасные расходимости изолированы теперь в двух операторных множителях Ωα+ è Ωβ−.

Чтобы устранить эти инфракрасные расходимости, достаточ- но лишь заметить, что если бы не проекционные операторы на опасные состояния, операторы Ωβ− è Ωα+ были бы просто унитарными

операторами, преобразующими согласно формуле (13.1.16) состояния свободных частиц соответственно в «ин» и «аут» состояния. Если ограничить действие этих операторов подпространствами D(β) è D(α)

состояний, которые являются опасными для данного конечного состояния β и данного начального состояния α соответственно, то та-

кие операторы являются унитарными. Это означает, что для произвольных состояний β è α

Таким образом, вероятность перехода свободна от инфракрасных расходимостей, если произведено суммирование по подпространствам состояний, которые являются опасными для любых заданных начального и конечного состояний β è α:

å å | Tba |2 = TroΩβ− PβΩβ−†TSΩα+ PαΩα+†TS†t

Чтобы окончательно удостовериться, что это утверждение решает проблему инфракрасных расходимостей в произвольном случае, необходимо показать, что только суммы типа содержащихся в (13.4.11) являются экспериментально измеримыми. Весьма правдоподобно, что следует просуммировать по опасным конечным состояниям, чтобы получить измеримую вероятность перехода, поскольку экспериментально невозможно отличить выходящую заряженную (цветную) безмас-

совую частицу от струи безмассовых частиц с почти параллельными импульсами и той же полной энергией 7, сопровождаемую произвольным числом очень мягких квантов с тем же полным зарядом (или цветом). Суммирование по начальным состояниям вызывает больше вопросов. Вероятно, можно привести аргументы, что истинно безмассовые частицы всегда рождаются как струи, сопровождаемые ансамблем мягких квантов, однородно распределенных по некоторому объему импульсного пространства. Однако, насколько мне известно, никто еще не сумел дать полное доказательство того, что экспериментально измеримыми являются только суммы вероятностей переходов, свободные от инфракрасных расходимостей.

Эта проблема не возникает в квантовой электродинамике (с массивными заряженными частицами), где, как мы видели, для устранения инфракрасных расходимостей необходимо суммировать только по конечным состояниям. Причина такой разницы заключа- ется в том, что в электродинамике состояния a, b, c,... являются прямыми произведениями состояний (отмеченных греческими буквами) с фиксированным числом заряженных частиц и жестких фотонов и состояний, содержащих только мягкие фотоны с энергией меньшей некоторой малой величины Λ. Тогда для реакции с образо-

ванием некоторого количества мягких фотонов f, рождаемых в реакции α → β между заряженными частицами и жесткими фото-

нами, формула (13.4.5) упрощается:

где индекс 0 означает вакуум мягких фотонов, а Ω± вычисляются как

и выше, но в усеченном гильбертовом пространстве состояний только мягких фотонов, причем считается, что взаимодействие этих фотонов описывается гамильтонианом взаимодействия со всеми заряженными частицами в фиксированных состояниях, отмеченных аргументами β èëè α. Как и ранее, такие операторы унитарны в «опас-

ном» гильбертовом пространстве D мягких фотонов, так что *

* Причина, по которой не появляется никакого множителя вида (E/Λ)A,

как в формуле (13.3.11), заключается в том, что здесь мы приравниваем максимальную энергию Е состояний реальных мягких фотонов, по которым нужно суммировать, максимальной энергии Λ «опасных» состояний мягких фотонов, по которым производится суммирование при вычислении Ω±.

748 Глава 13. Инфракрасные эффекты

å| Tβf,α0 |2 = | (TS)βα |2 cΩ+ (α)† Ω− (β)Ω− (β)† Ω+ (α)h00

f D

(13.4.13)

= | (TS)βα |2 cΩ+ (α)† Ω+ (α)h00 = | (TS)βα |2 .

без всякого суммирования по начальным состояниям.

13.5. Рассеяние мягких фотонов *

Исследуя в этой главе взаимодействия мягких фотонов, мы рассматривали до сих пор только процессы, в которых мягкие фотоны испускаются или поглощаются в процессе α → β, который про-

исходит и сам по себе. Однако можно высказать ряд полезных общих утверждений относительно ситуаций, когда процесс α → β òðè-

виален, а мягкие фотоны играют существенную роль в реализации интересующей нас реакции. Рассмотрим простейший и наиболее важный пример такого рода: рассеяние мягкого фотона на массивной частице произвольного типа и спина, когда α è β − одночастич-

ные состояния. Сложность здесь в том, что главное слагаемое в амплитуде рассеяния мягкого фотона возникает не от полюсных, а от неполюсных слагаемых, связанных с полюсными слагаемыми через условие сохранения тока.

Матричный элемент рассеяния фотонов может быть представлен в виде

S(q, λ; p, σ → q′, λ′; p′, σ′) = i(2π)4 δ4 (q + p − q − p′)

ãäå q è q′ − начальный и конечный 4-импульсы фотона, р и р′ — начальный и конечный 4-импульсы мишени, λ è λ′ — начальная и конечная спиральности фотона, εν(q′,λ′) è εμ(q,λ) — соответствующие векторы поляризации фотонов, σ è σ′ — z-компоненты спинов

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении

начальной и конечной частиц-мишеней. Согласно теореме из раздела 6.4, амплитуду Mνμ можно записать в виде

(2p)-3 Msnm¢,s (q; p¢, p) = z d4x eiq×x dYp¢,s¢ , T{Jn (0), Jm (x)}Yp,s i + . . . (13.5.2)

ãäå Jμ(x) — электромагнитный ток, а точки указывают на возмож-

ные слагаемые, изображаемые диаграммой типа «чайка», типа тех, которые возникают в теории заряженных скалярных полей, когда два фотона взаимодействуют не с отдельными токами, а в одной вершине. Повторим теперь стандартные аргументы полологии, изложенные в гл. 10 и уже использовавшиеся в разделе 13.1. Вставляя полный набор промежуточных состояний между операторами токов в правой части (13.5.2), интегрируя по x и выделяя одночастичные промежуточные состояния, получим:

à Nνμ представляет вклад всех других состояний кроме одночастич-

ных и любых слагаемых, изображаемых диаграммами типа «чайка». (Формулу (13.5.3) следует понимать в смысле матричного умножения, с не выписанными явно спиновыми индексами.) Относительно Nνμ мы знаем очень мало, не считая того, что эта величина не содержит сингулярности при qμ ® 0, явно представленной первыми

двумя слагаемыми, и поэтому может быть разложена в ряд по степеням qμ.

Используем теперь условие сохранения тока (или калибровоч- ную инвариантность):