Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

В применении к (13.5.3) эти условия приводят к желаемому условию на Nνμ:

qμNνμ (q; p¢, p) = -Gν (p¢, p¢ + q)G0 (p + q, p) + G0 (p¢, p¢ - q)Gν (p¢ - q, p) .

(13.5.8) Заметим также, что Mνμ удовлетворяет условию «кросс-симметрии»:

и так как полюсные слагаемые в (13.5.3) очевидно ему удовлетворяют, это же верно и для Nνμ:

Мы воспользуемся этими соотношениями для нахождения первых членов в разложении Nνμ по степеням импульсов.

Прежде всего, следует что-то сказать о разложении одночастичных матричных элементов тока Gμ(p¢,p) по степеням импульсов р и р¢. Инвариантность относительно пространственного отражения

(если, конечно, она имеет место) требует, чтобы разложение G0 è Gi (i = 1,2,3) содержало слагаемые соответственно только четного или нечетного порядка по импульсам. Согласно формуле (10.6.3), слагаемое нулевого порядка по импульсам в G0σ¢,σ равно edσ¢,σ, ãäå

е — заряд частицы. Тогда из условия сохранения тока вытекает, что во втором порядке по импульсам

Следовательно, слагаемые в G первого порядка по импульсам имеют вид e(p¢ + p)dσ¢,σ/2m плюс возможное слагаемое первого порядка, ортогональное к (р¢ - р). Из инвариантности относительно вра-

щений вытекает, что это слагаемое должно быть пропорционально (р¢ - ð) ´ Jσ¢,σ, ãäå J - знакомая спиновая матрица заряженной час-

тицы. Суммируя все результаты, имеем следующее разложение:

где «1» — единичная спиновая матрица, а слова «квадратичные» и «кубичные» означают порядок отброшенных слагаемых по степеням малых импульсов р и р′. Коэффициент μ/j в (13.5.2) действителен, т. к. ток эрмитов. Если коэффициенты записаны в указанном виде (j − спин заряженной частицы), то μ − величина, известная как магнит-

ный момент частицы.

Обратимся теперь к Nνμ и рассмотрим разложение равенства (13.5.8) по степеням малых импульсов qμ, p è ð′. Полагая n = 0 в (13.5.8), видим, что qμN0μ по крайней мере квадратично по этим ма-

лым величинам. Не существует постоянного вектора, ортогонального qμ, òàê ÷òî N0μ должно быть по крайней мере первого порядка по малым импульсам. Тогда из условия кросс−симметрии (13.5.10) вы-

текает, что Ni0 также должно быть по крайней мере первого порядка по малым импульсам. Полагая μ = i в (13.5.8) и учитывая (13.3.12),

получаем:

Òàê êàê Gi − по меньшей мере первого порядка по малым им-

пульсам, то так же ведут себя полюсные слагаемые в формуле (13.5.3) для Gik. Таким образом, в нулевом порядке остается единственное

неполюсное слагаемое Nik:

С помощью этого выражения можно вычислить сечение рассеяния мягких фотонов. Но нет нужды реально проводить это вычисление. Ведь теперь мы знаем, что амплитуда рассеяния фотонов в пределе нулевого импульса зависит только от массы и заряда частицы-ми- шени и квадратична по заряду. Поэтому мы можем немедленно использовать результаты любого расчета сечения рассеяния фотонов на частицах любого спина во втором порядке теории возмущений,

например, результат (8.7.42) для дифференциального сечения рассеяния фотонов в квантовой электродинамике:

Теперь видно, что эта формула универсальна и верна в низкоэнергетическом пределе для частиц-мишеней массой m и зарядом е произвольного типа и спина, даже если эти частицы составные и сильновзаимодействующие, например, атомные ядра. Гелл-Манн, Гольдбергер и Лоу8 показали, что эти результаты можно расширить и получить следующее за главным слагаемое в разложении амплитуды рассеяния мягких фотонов, выразив его через массу, заряд и магнитный момент частицы-мишени.

13.6. Приближение внешнего поля*

Интуитивно очевидно, что тяжелая заряженная частица вроде ядра атома приближенно может рассматриваться как источник классического внешнего поля. В этом разделе мы покажем, как обосновать такое приближение, и выскажем соображения о границах его применимости.

Рассмотрим фейнмановскую диаграмму или ту ее часть, где с проходящей через всю диаграмму от начального до конечного состояний линии тяжелой заряженной частицы испускаются N лежащих вне массовой поверхности фотонов с 4-импульсами q1, q2, ..., qN и поляризационными индексами μ1, μ2, ..., μN. Сумма всех таких

диаграмм или поддиаграмм (без N фотонных пропагаторов) приводит к амплитуде

=G ms1¢,,sm2 ,...,mN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ,

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении

где матричный элемент вычислен с учетом всех взаимодействий, в которых может принимать участие тяжелая частица, включая сильные ядерные взаимодействия. Такая амплитуда имеет кратный полюс при q1, q2, ..., qN ® 0, возникающий от слагаемых в матричных

элементах произведения токов, в которых промежуточные состояния содержат точно такую же тяжелую частицу, как начальное и конечное состояния. Когда все компоненты q1, q2, ..., qN малы по сравнению со всеми энергиями и импульсами, связанными с динамикой (возможно, составной) тяжелой частицы, этот кратный полюс доминирует в (13.6.1). С помощью методов раздела 10.2 находим *:

à “+ перестановки” означают, что производится суммирование по

всем перестановкам N фотонов. Для применений к атомным системам важно заметить, что (13.6.1) годится для частиц произвольного спина, имеющих, как атомные ядра, и сильные, и электромагнитные взаимодействия.

* В теории возмущений знаменатели происходят от знаменателей пропагаторов:

в то время как числители пропагаторов содержат множители åuu†, приво-

дящие вместе с матрицами в вершинах испускания фотонов к матричным элементам (13.6.3). Матрица G μ отличается от матрицы Gμ из предыдущего

раздела множителем 2р0.

Отметим также, что для частиц произвольного спина и заряда Ze матричные элементы электрического тока между состояниями с одинаковыми 4-импульсами имеют вид *

Важно, что все матрицы (13.6.5) коммутируют, так что их произведение может быть вынесено за скобки в сумме по перестановкам:

+перестановки .

Âстаршем порядке по q дельта-функцию можно записать в виде:

d4 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p) =

p0d3 (p¢ + q1 +. . .+qN - p)d(p × (q1 + q2 +. . .+qN )) .

(13.6.7)

К счастью, оказывается, что результат суммирования в этом случае значительно проще чем отдельные слагаемые. При p×(q1 + q2 + ... + qN) = 0 находим:

* Легче всего это доказывается следующим образом. Во-первых, в той системе отсчета, где частица покоится, из требования инвариантности относительно вращений следует, что пространственные компоненты матрич- ных элементов тока обращаются в нуль, а временная компонента пропорциональна δσ′,σ, и более никуда зависимость от σ′ è σ не входит. Во-вто-

рых, константа пропорциональности находится из (10.6.3), после чего преобразование Лоренца приводит к (13.6.4).