Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

в состоянии ΨA + ΨB. Например, считается общепризнанным, что

невозможно приготовить систему в виде суперпозиции двух состояний, полные угловые моменты которых, соответственно, целые и полуцелые. В таких случаях мы говорим, что между разными классами состояний действуют «правила суперотбора» 3, è ôàçû φ(T2, T1) могут зависеть от того, на какие классы действуют

операторы U(T2)U(T1) è U(T2,T1). В разделе 2.7 мы обсудим эти фазы и проективные представления несколько подробнее. Как будет видно, всякая группа симметрии, имеющая проективные представления, всегда может быть расширена (без какого либо другого изменения ее физических приложений) таким образом, что все ее представления можно будет определить как непроективные с φ = 0. Будем считать, что это уже доказано, и положим φ = 0 â

(2.2.14).

Для физики особенно важны группы, носящие название связных групп Ли. Это группы преобразований T(θ), задаваемые конечным набором действительных непрерывных параметров θa,

причем каждый элемент группы можно связать с единичным элементом некоторым путем, лежащим внутри группы. Закон группового умножения принимает вид

Как уже отмечалось, преобразования таких непрерывных групп должны представляться унитарными (но не антиунитарными) операторами U(T(θ)) в физическом гильбертовом пространстве.

Для групп Ли эти операторы могут быть представлены (по крайней мере, в окрестности единичного элемента) степенным рядом

ãäå ta, tbc = tcb и т. д. — эрмитовы операторы, не зависящие от θ.

70 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Предположим, что U(T(θ)) реализует обычное (т. е. не проективное)

представление этой груïпы преобразованèй, иными словами

Посмотрим, как выглядит это соотношение, если разложить его в ряд по степеням θa è`θa. Как следует из (2.2.16), разложение fa (θ, θ) до второго порядка должно иметь вид

ãäå fabc − действительные коэффициенты. (Наличие любых слагаемых порядка θ2 èëè`θ2 будет нарушать соотношение (2.2.16).) Тогда

уравнение (2.2.18) принимает вид:

Слагаемые порядка 1, θ,`θ, θ2 è`θ2 автоматически сокращаются в обеих частях (2.2.20), однако, собирая слагаемые с`θ θ, находим

нетривиальное условие:

Îíî ïîêàзывает, что если нам задана структура группы, т. е. функция f(θ, θ) , а следовательно, и ее квадратичные коэффициенты f abc,мы можем вычислить слагаемые второго порядка в U(T(θ)),

зная генераторы ta, возникающие в слагаемых первого порядка. Однако, должно выполняться условие самосогласованности: оператор tbc должен быть симметричным по b и c (так как он равен второй производной U(T(θ)) ïî θb è θc), так что из (2.2.21) следует,

÷òî

ãäå

представляет набор действительных констант, называемых

структур-ными константами. Такой набор коммутационных соотношений определяет алгебру Ли. В разделе 2.7 мы докажем, что коммута-ционные соотношения (2.2.22) — единственное условие, необходимое для того, чтобы процесс разложения мог быть продолжен: весь степенной ряд для U(T(θ)) можно вычислить

с помощью бесконечного набора соотношений типа (2.2.21), если нам известны слагаемые первого порядка, т. е. генераторы ta. Это не обязательно означает, что знание ta однозначно определяет операторы U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa, однако, по крайней мере, в

то удовлетворяется уравнение (2.2.18). Распространение этих результатов на все θa обсуждается в разделе 2.7.

Важным является частный случай, к кîторому мы будем вновь и вновь обращаться. Пусть функция f(θ, θ) (возможно, лишь для некоторого подмножества координат θa) является просто

суммой

Сюда относятся трансляции в пространстве−времени или

вращения вокруг фиксированной оси (но не вокруг двух по очереди). Тогда коэффициенты f abc в (2.2.19) и структурные константы (2.2.23) обращаются в нуль. Все генераторы коммутируют друг с другом:

Такая группа называется абелевой. В этом случае легко вычислить U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa. При любом целом N находим из

(2.2.18) è (2.2.24):

Переходя к пределу N → ∞ и удерживая только слагаемое первого порядка в U(T(θ/N)), получаем

2.3. Квантовые преобразования Лоренца

Эйнштейновский принцип относительности утверждает эквивалентность «инерциальных» систем отсчета. Он отличается

ется механика Ньютона, видом преобразования, связывающего координаты в разных системах отсчета. Если xμ — координаты

в одной инерциальной системе (x1, x2, x3 — декартовы пространственные координаты, x0 = t — временная координата, скорость света положена равной единице), то координаты x′μ в любой

другой инерциальной системе должны удовлетворять соотношению:

Принято правило суммирования по немым индексам: подразумевается сумма по любому индексу типа μ èëè ν в формуле (2.3.2),

появляющемуся в одном и том же слагаемом дважды, один раз вверху, другой — внизу. Эти преобразования обладают тем специ-

альным свойством, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета (в выбранных единицах она равна 1). Действительно, световая волна, распространяющаяся с единичной скоростью, удовлетворяет условию |dx/dt| = 1 или

ημνdxμdxν = dx2 − dt2 = 0,

ãäå aμ − произвольные константы, а постоянная матрица Λμν удовлет-

воряет условию:

Для дальнейшего полезно записать условия лоренцовских преобразований в иной форме. Матрица ημν имеет обратную,обозначаемую ημν, которая имеет те же компоненты, т. е. она диагональна и η00 = –1, η11 = η22 = η33 = +1. Умножая выражение (2.3.5) на ηστΛκτ и группируя

множители, имеем

ημνΛμρ (Λνσ Λκ τ ηστ ) = Λκ ρ = ημνηνκ Λμρ .

Умножая это равенство на матрицу, обратную ημνΛμρ, получаем:

Λνσ Λκ τ ηστ = ηνκ (2.3.6)

.

Эти преобразования образуют группу. Если сначала осуще-

*Существует более широкий класс преобразований координат, известных как конформные преобразования, для которых ημνdx′μdx′ν пропорционально, хотя в общем случае не равно, ημνdxμdxν, и которые также оставляют

инвариантной скорость света. Показано, что конформная инвариантность в двух измерениях имеет огромное значение в теории струн и статистической механике, но физический смысл таких конформных преобразований в четырехмерном пространстве−времени до сих пор неясен.