Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

ствить лоренцовское преобразование (2.3.4), а затем второе лоренцовское преобразование x′μ → x′′μ, òàê ÷òî

x′′μ = Λμρx′ρ + aμ = Λμρ (Λρνxν + aρ ) + aμ ,

(Заметим, что если обе матрицы Λμν è`Λμν удовлетворяют (2.3.5), то это же верно и для`ΛμρΛρν, так что это действительно

преобразование Лоренца. Черта используется здесь только для того, чтобы отличить одно лоренцовское преобразование от другого.) Пре-образования T(Λ,a), действующие на физические со-

стояния, удовлетворяют поэтому правилу композиции

Беря детерминант от обеих частей (2.3.5), находим, что

òàê ÷òî Λμν имеет обратную матрицу (Λ−1)νρ, в силу (2.3.5) равную

Как следует из (2.3.8), обратное преобразование к T(Λ,a) имеет вид T(Λ−1,−Λ−1a), причем тождественное преобразование равно

T(1,0).

В согласии с тем, о чем шла речь в предыдущем разделе, преобразования T(Λ, a) индуцируют унитарные линейные преобразо-

вания векторов в физическом гильбертовом пространстве

Ψ → U(Λ, a)Ψ.

Операторы U удовлетворяют правилу композиции

(Как уже отмечалось, чтобы избежать появления фазового множителя в правой части уравнения (2.3.11), необходимо в общем случае расширить группу Лоренца. Соответствующая процедура описана в разделе 2.7.)

Вся группа преобразований T(L,a) обычно называется неоднород-

ной группой Лоренца или группой Пуанкаре. Она имеет много важных подгрупп. Во-первых, преобразоваíèÿ ñ aμ = 0, причем

очевидно образуют подгруппу, называемую однородной группой Лоренца. Кроме того, из (2.3.9) следует, что либо Det L = +1, ëèáî Det L = -1. Ясно, что преобразования с Det L = +1 образуют

подгруппу как однородной, так и неоднородной группы Лоренца. Далее, выписывая 00-компоненты уравнений (2.3.5) и (2.3.6), имеем:

где проводится суммирование по индексу i, принимающему значе- ния 1, 2, 3. Видно, что либо L00 ³ +1, ëèáî L00 £ -1. Преобразования с L00 ³ +1 образуют подгруппу. Действительно, если Lμν è`Lμν — две таких матрицы L, òî

(ΛΛ)00 = Λ00Λ00 + Λ01Λ10 + Λ02Λ20 + Λ03Λ30 .

Подгруппа преобразований Лоренца с Det L = +1 è L00 ³ +1

носит название собственной ортохронной группы Лоренца. Так как невозможно с помощью непрерывного изменения параметров перескочить от преобразования с Det L = +1 к преобразованию с Det L = –1, или от преобразования с L00 ³ +1 к преобразованию

ñ Λ00 ≤ −1, то всякое лоренцовское преобразование, которое

может быть получено из единичного преобразования путем непрерывного изменения параметров, должно иметь Det Λ è Λ00

того же знака, что и само единичное преобразование, т. е. должно принадлежать собственной ортохронной группе Лоренца.

Всякое преобразование Лоренца — либо собственное и ортохронное, либо может быть записано как произведение элемента собственной ортохронной группы Лоренца и одного из дискретных преобразований P, T или P T, где P — матрица пространственной инверсии, ненулевые элементы которой равны

а T — матрица обращения времени с ненулевыми элементами

Таким образом, изучение всей группы Лоренца сводится к изуче- нию собственной ортохронной подгруппы, а также пространственной инверсии и отражения времени. Мы рассмотрим пространственную инверсию и отражение времени отдельно в разделе 2.6. До этого будем изучать только однородную или неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца.

2.4. Алгебра Пуанкаре

Как мы видели в разделе 2.2, многое о любой группе симметрии, являющейся группой Ли, можно узнать, изучая групповые элементы вблизи единицы. В случае неоднородной группы Лоренца единицей является преобразование Λμν = δμν, aμ = 0, òàê ÷òî

следует изучать преобразования, имеющие вид

с инфинитезимальными параметрами ωμν è εμ. Условие (2.3.5)

можно записать как

ωσρ ≡ ημσωμρ , ωμρ ≡ ημσωσρ .

Здесь использовано соглашение, которое будет далее применяться во всей книге, что опускание и подъем индексов осуще-

ствляются сверткой с ημν èëè ημν:

Удерживая только слагаемые первого порядка по ω â

условии (2.3.5), находим, что это условие сводится к требованию антисимметрии ωμν:

Антисимметричный тензор второго ранга в четырехмерном пространстве имеет (4×3)/2 = 6 независимых компонент, так что с учетом четырех компонент εμ неоднородное преобразование Лорен-

ца определяется 6 + 4 = 10 параметрами.

Так как U(1, 0) переводит всякий луч в себя, этот оператор должен быть пропорционален единичному оператору и может быть сделан равным ему путем выбора фазы *. Для инфинитезимального преобразования Лоренца (2.4.1) оператор U(1 + ω, ε) должен быть суммой единичного оператора 1 и слагаемых, линейных по ωρσ è ερ.

Запишем это в виде

Здесь Jρσ è Pρ — не зависящие от ω è ε операторы, а многоточие соответствует слагаемым более высокого порядка по ω è/èëè ε. Для того, чтобы оператор U(1 + ω, ε) был унитарным, операторы Jρσ è Pρ должны быть эрмитовыми:

* При отсутствии правил суперотбора возможность, что коэффициент пропорциональности зависит от состояния, на которое действует U(1, 0), может быть исключена с помощью тех же рассуждений, которые использовались в разделе 2.2, чтобы исключить возможную зависимость фаз проективных представлений групп симметрии от состояний, на которые эта симметрия действует. Если же действуют правила суперотбора, может оказаться необходимым переопределить U(1, 0), включив фазовые множители, зависящие от сектора, в котором действует этот оператор.

Как будет видно, Р1, Ð2 è Ð3 являются операторами компонент импульса, J23, J31 è J12 — операторами компонент вектора момента импульса, а Р0 — оператором энергии или гамильтонианом.*

Исследуем свойства лоренцовских преобразований операторов Jρσ è Pρ. Рассмотрим произведение

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U−1(Λ, a),

ãäå Λμν è aμ − параметры нового преобразования, не связанные с ω èëè ε. Согласно (2.3.11), произведение U(Λ−1, −Λ−1a)U(Λ, a) равно U(1,0), так что U(Λ−1, −Λ−1a) — оператор, обратный U(Λ, a). Тогда из

(2.3.11) следует, что

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U−1(Λ, a) = U(Λ(1 + ω)Λ−1, Λε − ΛωΛ−1a). (2.4.6)

В первом порядке по ω è ε имеем

U(Λ, a)[21 ωρσ Jρσ − ερPρ )U−1(Λ, a)

(2.4.7)

= 21 (ΛωΛ−1)μν Jμν − (Λε − ΛωΛ−1a)μ Pμ .

Приравнивая коэффициенты при ωρσ è ερ в обоих частях этого

равенства (и пользуясь формулой (2.3.10)), находим:

* Определение генераторов момента импульса (углового момента) диктуется коммутационными соотношениями для Jμν. Однако они не позволяют выбрать между операторами Pμ è –Pμ, так что знак слагаемого ερPρ в (2.4.3) является

предметом соглашения. Совместимость (2.4.3) с обычным определением гамильтониана Р0 показана в разделе 3.1.