Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Для однородных преобразований Лоренца (aμ = 0) из этих выражений просто следует, что Jμν есть тензор, а Pμ — вектор. Для чистых трансляций (Λμν = δμν) из этих формул следует, что Pρ является трансляционно−инвариантной величиной, а Jρσ — нет. В частности, изменение пространственно−пространственных компонент Jρσ в результате пространственной трансляции соответ-

ствует обычному изменению углового момента за счет переноса начала координат, по отношению к которому вычисляется угловой момент.

Далее, применим правила (2.4.8), (2.4.9) к преобразованию, которое само является бесконечно малым. Иначе говоря, выберем матрицу Λμν = δμν + ωμν, aμ = εμ, где бесконечно малые величины ωμν è εμ не связаны с предыдущими ω è ε. Пользуясь формулой (2.4.3) и сохраняя только слагаемые первого порядка по ωμν è εμ, находим,

что формулы (2.4.8) и (2.4.9) принимают вид:

Они определяют алгебру Ли группы Пуанкаре.

В квантовой механике особую роль играют те операторы, которые сохраняются, т. е. коммутируют с оператором энергии H = P0. Из формул (2.4.13) и (2.4.14) следует, что такими операторами являются 3-вектор импульса

Эти генераторы не сохраняются, и поэтому мы не приписываем физическим состояниям собственных значений K. В трехмерных обозначениях коммутационные соотношения (2.4.12), (2.4.13) и (2.4.14) можно записать в виде:

где i, j, k принимают значения 1, 2, 3, а εijk — полностью антисимметричный тензор с ε123 = +1. Видно, что коммутационные

соотношения (2.4.18) совпадают с коммутационными соотношениями для компонент оператора углового момента.

Чистые трансляции T(1, a) образуют подгруппу неоднородной группы Лоренца с вытекающим из (2.3.8) правилом группового умножения

Оно аддитивно в том же смысле, что и (2.2.24), так что, используя (2.4.3) и повторяя рассуждения, приведшие к (2.2.26),

находим, что конечные трансляции представляются в физическом гильбертовом пространстве в виде

Точно так же можно показать, что вращение Rθ íà óãîë |θ|

вокруг направления q представляется в физическом гильбертовом пространстве как

Представляет интерес сравнить алгебру Пуанкаре с алгеброй Ли группы симметрии ньютоновской механики — группы Галилея. Можно вывести эту алгебру, начав с законов преобразования группы Галилея и повторив ту процедуру, которую мы использовали для вывода алгебры Пуанкаре. Однако, так как уже выведены соотношения (2.4.18)−(2.4.24), легче получить ал-

гебру Галилея как предел алгебры Пуанкаре при малых скоростях с помощью приема, который известен как контракция Иноню−Вигнера 4, 5. Следует ожидать, что для системы частиц с

типичными массой m и скоростью v операторы импульса и момента импульса порядка P mv, J 1 . С другой стороны, оператор энергии H = M + W, где полная масса М m и энергия, не связанная с массой (кинетическая и потенциальная), W mv2. Из уравнений (2.4.18)−(2.4.24) следует, что в пределе при v n 1

коммутационные соотношения принимают вид:

[Ji, Jj] = iεijkJk, [Ji, Kj] = iεijkKk, [Ki, Kj] = 0,

[Ji , Pj ] = iεijkPk , [Ki , Pj ] = −iMδ ij ,

[Ji, W] = [Pi, W] = 0, [Ki, W] = −iPi , [Ji, M] = [Pi, M] = [Ki, M] = [W, M] = 0,

где K 1/v. Произведение трансляции x → x + a и «буста» x → x + vt должно быть преобразованием x → x + vt + a, íî ýòî

неверно для действия указанных операторов в гильбертовом пространстве:

exp(iK × v) exp(-iP × a) = exp(iMa × v / 2) expai(K × v - P × a)f .

Появление фазового множителя exp(iMaЧv/2) показывает, что это проективное представление с правилом суперотбора, запрещающим суперпозицию состояний с разными массами. В этом отношении математика группы Пуанкаре проще, чем группы Галилея. Однако нет никаких причин, препятствующих формальному расширению группы Галилея путем добавления одного или более генераторов в ее алгебру Ли, которые коммутировали бы со всеми другими генераторами и имели бы собственные значения, равные массам различных состояний. В этом случае физические состояния реализуют обычное, а не проективное представление расширенной группы симметрии. По-видимому, разница проявляется лишь в обозначениях, не считая того, что при подобной интерпретации группы Галилея нет нужды в правиле суперотбора по массе.

2.5. Одночастичные состояния

Рассмотрим теперь классификацию одночастичных состояний в соответствии с тем, как они преобразуются под действием преобразований неоднородной группы Лоренца.

Все компоненты 4-вектора энергии−импульса коммутируют

друг с другом, поэтому естественно выражать физические векторы состояний через собственные векторы 4-импульса. Вводя метку σ

для обозначения всех других степеней свободы, рассмотрим векторы состояний Ψp,σ, удовлетворяющие условию

Для произвольных состояний, описывающих, например, несколько несвязанных частиц, метка σ сама может включать как

непрерывные, так и дискретные метки. Примем как часть определения одночастичного состояния, что метка σ может быть только

дискретной, и ограничимся пока что рассмотрением такого случая. (Однако конкретное связанное состояние двух или более частиц, например, низшее энергетическое состояние атома водорода, следует рассматривать как одночастичное состояние. Оно не является элементарной частицей, но различие между составными и элементарными частицами нам сейчас не важно.)