Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

инвариантный интеграл от произвольной скалярной функции f(p) по 4-импульсам с -p2 = M2 ³ 0 è ð0 > 0 (т. е. для случаев а и в в

таблице) равен

z d4p d(p2 - M2 ) q(p0 )f(p) = z d3pdp0 d((p0 )2 - p2 - M2 ) q(p0 ) f(p, p0 )

X f(p, p2 + M2 )

=Y d3p

Y +

Z M2 p2 2

(q(p0) - ступенчатая функция: q(x) = 1 ïðè x ³ 0, q(x) = 0 ïðè

Òàê êàê ð¢ и р связаны соответственно с k¢ и k лоренцовским

преобразованием L(p), имеем:

p0δ3 (p′ − p) = k0δ3 (k′ − k)

и поэтому

Иногда выбирают нормировочный множитель N(p) просто равным единице, N(p) = 1, но в этом случае нужно следить за множителями p0/k0 в скалярных произведениях. Я предпочитаю более привычное соглашение

Рассмотрим два представляющих физический интерес слу- чая: частицы с массой M > 0 и частицы нулевой массы.

Случай положительной массы

В данном случае малой группой является трехмерная группа вращений. Ее унитарные представления могут быть разложены в

прямую сумму неприводимых унитарных представлений 7 D(j′) (R)

σ σ

размерности 2j + 1, где j = 0, 1/2, 1, … Последние можно построить из стандартных матриц бесконечно малых вращений Rik = δik + Θik, ãäå Θik = −Θki — бесконечно малые величины:

Здесь σ пробегает значения j, j − 1, …, −j. Для частицы массой M > 0

и спина j уравнение (2.5.11) принимает вид:

где элемент малой группы W(Λ, p) (вигнеровское вращение 5) опреде-

ляется формулой (2.5.10):

W(Λ, p) = L−1(Λp)ΛL(p).

Чтобы рассчитать результат этого вращения, следует выбрать «стандартный буст» L(p), который переводит 4-импульс kμ = (0, 0, 0, M) в 4-импульс pμ. Удобно выбрать его в виде

Lik(p) = δik + (γ − 1)p$ ip$ k ,

всех р. Для доказательства заметим, что можно записать буст

получается просто вращение на некоторый угол θ вокруг третьей оси:

(а следовательно и многочастичные состояния) преобразуются по отношению к вращениям так же, как и в нерелятивистской квантовой механике. Это еще одно хорошее известие, поскольку весь аппарат сферических гармоник, коэффициентов Клебша−

Гордана и т. п. можно целиком перенести из нерелятивистской квантовой механики в релятивистскую теорию.

Масса нуль

Прежде всего, следует установить структуру малой группы. Рассмотрим произвольный элемент малой группы Wμν, ãäå Wμνkν = kμ è kμ = (0,0,1,1) − стандартный 4-импульс для данного случая. Действуя на времениподобный 4-вектор tμ = (0, 0, 0, 1), ýòî

лоренцовское преобразование должно дать 4-вектор Wt, длина которого и скалярное произведение с вектором Wk = k такие же, как и для вектора t:

(Wt)μ (Wt)μ = tμtμ = −1,

(Wt)μ kμ = tμkμ = −1 .

Любой 4-вектор, удовлетворяющий второму условию, может быть записан в виде

(Wt)μ = (α, β, ζ,1 + ζ) ,