ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1837
Скачиваний: 1
2.5. Одночастичные состояния |
83 |
Из уравнений (2.5.1) и (2.4.26) следует, что состояния Ψp,σ
преобразуются под действием трансляций по закону
U(1, a)Ψp,σ = e-ip×aΨp,σ .
Рассмотрим теперь, как преобразуются эти состояния под действием однородных преобразований Лоренца. Из формулы (2.4.9) следует, что в результате действия квантового однородного преобразования Лоренца U(Λ, 0) ≡ U(Λ) на состояние Ψp,σ возникает собственный вектор 4-импульса с собственным значением Λp:
PμU(Λ)Ψp,σ = U(Λ)[U−1(Λ)PμU(Λ)]Ψp,σ = U(Λ)(Λ−ρ1μPρ )Ψp,σ
= ΛμρpρU(Λ)Ψp,σ . |
(2.5.2) |
Поэтому U(Λ)Ψp,σ должно быть линейной комбинацией векторов состояний ΨΛp,σ′:
U(Λ)Ψp,σ = åCσ′σ (Λ, p)ΨΛp,σ′ . |
(2.5.3) |
σ′ |
|
Âобщем случае подходящим выбором линейных комбинаций Ψp,σ можно так выбрать метки σ, чтобы матрица Cσ′σ(Λ, p) стала блоч- но−диагональной, т. е. совокупность Ψp,σ с меткой σ, принимающей
значения внутри одного блока, сама была бы представлением неоднородной группы Лоренца. Естественно сопоставить состояния частицы конкретного типа с компонентами представления неоднородной группы Лоренца, которое неприводимо в том смысле, что его нельзя далее разложить указанным способом.
Конечно, разные сорта частиц могут соответствовать изоморф-
ным представлениям, для которых матрицы Cσ′σ(Λ, p) либо тожде-
ственны, либо совпадают с точностью до преобразования подобия.
Âнекоторых случаях удобно определить типы частиц как неприводимые представления более широких групп, включающих неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца в качестве подгруппы; например, как мы увидим, для безмассовых частиц,
взаимодействия которых сохраняют симметрию по отношению к пространственным отражениям, принято рассматривать все компоненты неприводимого представления неоднородной группы
84 Глава 2. Релятивистская квантовая механика
Лоренца, включая пространственную инверсию, как один тип частиц.
Наша задача заключается в исследовании структуры коэффициентов Cσ′σ(Λ, p) для неприводимых представлений неодно-
родной группы Лоренца. Для этого заметим, что единственными функциями pμ, остающимися инвариантными по отношению ко всем собственным ортохронным преобразованиям Лоренца Λμν, являются квадрат этого 4-вектора p2 ≡ ημνpμpν è çíàê p0 ïðè p2 ≤ 0. Таким образом, для каждого значения р2 è (ïðè ð2 ≤ 0) определенного знака р0 можно выбрать «стандартный» 4-импульс kμ è âûðà-
зить любой 4-вектор pμ из этого класса в виде |
|
pμ = Lμ ν (p)kν , |
(2.5.4) |
ãäå Lμν — стандартное преобразование Лоренца, зависящее от pμ и неявно от выбора стандартного импульса kμ. Затем можно определить состояния Ψp,σ импульса р как
Ψp,σ ≡ N(p)U(L(p))Ψk,σ , |
(2.5.5) |
ãäå N(p) − числовой нормировочный множитель, который будет
далее установлен. До этого момента мы ничего не говорили о том, как метки σ связаны с разными импульсами. Уравнение (2.5.5) за-
полняет этот пробел.
Действуя на (2.5.5) произвольным однородным преобразованием Лоренца U(Λ), находим:
U(Λ)Ψp,σ = N(p)U(ΛL(p))Ψk,σ |
|
|
= N(p)U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))Ψ |
. |
(2.5.6) |
k,σ |
|
|
Суть последнего шага — в том, что преобразование Лоренца L−1(Λp)ΛL(p) переводит k в L(p)k = p, затем в Λp и назад в k, так что
это преобразование принадлежит подгруппе однородной группы Лоренца, состоящей из лоренцовских преобразований Wμν, оставляющих kμ инвариантным:
Wμ νkν = kμ (2.5.7)
.
Эта подгруппа называется малой группой 5. Для любого W, удовлетворяющего (2.5.7), имеем:
2.5. Одночастичные состояния |
85 |
U(W)Ψk,σ = å Dσ′σ (W)Ψk,σ′ . |
(2.5.8) |
σ′ |
|
Коэффициенты D(W) явлÿются представлением малой группы, т. е. для любых элементов W, W
å Dσ′σ (W, W)Ψk,σ′ = U(WW)Ψk,σ = U(W)U(W)Ψk,σ
σ′
= U(W)å Dσ′′σ (W, W)Ψk,σ′′ = å Dσ′′σ (W)Dσ′σ′′ (W)Ψk,σ′
σ′′ σ′σ′′
и поэтому
Dσ′σ ( |
|
|
|
|
|
WW) = å Dσ′σ′′ (W)Dσ′′σ (W) . |
(2.5.9) |
||||
|
|
σ′′ |
|
||
В частности, можно применить соотношение (2.5.8) к преобразованию малой группы:
W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p) , |
(2.5.10) |
после чего (2.5.6) принимает вид:
U(Λ)Ψp,σ = N(p)å Dσ′σ (W(Λ, p))U(L(Λp))Ψk,σ′ ,
σ′
или, вспоминая определение (2.5.5),
F N(p) I |
å Dσ′σ (W(Λ, p))ΨΛp,σ′ . |
|
||||
U(Λ)Ψp,σ = G |
|
|
|
J |
(2.5.11) |
|
|
Λ |
|
||||
H N( |
|
p) K |
σ′ |
|
||
Помимо вопросов нормировки, задача определения коэффициентов Cσ′σ в законе преобразования (2.5.3) была сведена к задаче
нахождения представлений малой группы. Такой подход, заключа- ющийся в получении представлений какой-то группы типа неоднородной группы Лоренца из представлений малой группы, носит название метода индуцированных представлений 6.
В таблице 2.1 приведен удобный выбор стандартного импульса kμ и соответствующей малой группы для 4-импульсов разных
классов. Из этих шести классов 4-импульсов только для случаев а, в и е известна какая-то интерпретация в терминах физичес-
86 |
|
|
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандартный |
Малая |
|
|
|
|
|
|
импульс κμ |
группа |
|
|
à |
p2 = – M2 < 0, |
p0 > 0 |
(0,0,0,M) |
SO(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á |
p2 = – M2 < 0, |
p0 < 0 |
(0,0,0,M) |
SO(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â |
p2 = 0, |
p0 > 0 |
(0,0,κ,κ) |
ISO(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ã |
p2 = 0, |
p0 < 0 |
(0,0,κ,-κ) |
ISO(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ä |
p2 = N2 > 0 |
(0,0,N,0) |
SO(2,1) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
pμ = 0 |
|
(0,0,0,0) |
SO(3,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 2. 1. Стандартные импульсы и соответствующие малые группы для разных классов 4-импульсов. Здесь κ — произвольная положительная энер-
гия, например, 1 эВ. Тип малых групп почти очевиден: SO(3) — обычная группа вращений в трех измерениях (не содержащая пространственных инверсий), поскольку вращения — это единственные собственные ортохронные преобразования Лоренца, оставляющие частицу с нулевым импульсом в состоянии покоя. Группы SO(2,1) и SO(3,1) — группы Лоренца в (2 + 1) и (3 + 1) измерениях, соответственно. Группа ISO(2) — группа евклидовой геометрии, состоящая из вращений и трансляций в двух измерениях. Появление этой группы в качестве малой группы для случая р2 = 0 объяснено в основном тексте.
ких состояний. Нет нужды много говорить здесь о случае е, когда pμ = 0. Он соответствует вакууму, который инвариантен по отношению к действию U(Λ). В последующем изложении мы будем
рассматривать только случаи а и в, соответствующие частицам с массой М > 0 и М = 0.
2.5. Одночастичные состояния |
87 |
Полезно сделать паузу и сказать несколько слов о нормировке таких состояний. Пользуясь обычной квантово-механичес- кой процедурой ортогонализации и нормировки, можно выбрать состояния со стандартным импульсом kμ, ортонормированными
в том смысле, что
(Ψk′,σ′ , Ψk,σ ) = δ3 (k′ − k)δσ′σ . |
(2.5.12) |
(В этом соотношении возникла δ-функция, так |
êàê Ψk,σ è Ψk′,σ′ |
являются собственными состояниями эрмитова оператора с собственными значениями k и k′, соответственно.) Отсюда вы-
текает, что представление малой группы в (2.5.8) и (2.5.11) должно быть унитарным *:
D† (W) = D−1(W) . |
(2.5.13) |
Что можно сказать о скалярных произведениях для произвольных импульсов? Используя унитарность оператора U(Λ) â
соотношениях (2.5.5) и (2.5.11), получаем, что скалярное произведение равно
(Ψ |
|
, |
Ψ |
) = N(p)(U−1(L(p))Ψ |
|
, Ψ |
) |
|
|
|
|
||||||
p′,σ′ |
|
p,σ |
|
|
|
|
p′,σ′ |
|
|
k,σ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
* |
|
′ |
|
−1 |
|
|
|
′ |
* |
3 |
(k |
′ |
− k) , |
|
|
|
|
= N(p)N |
(p |
)D(W(L |
(p), p )σσ′ δ |
|
|
||||||||
ãäå k′ ≡ L−1(p)p′. |
Кроме того, k ≡ |
L−1(p)p, и дельта-функция |
|||||||||||||||
δ3(k− k′) пропорциональна δ3(p − p′). |
Ïðè p′ = p преобразование |
||||||||||||||||
малой группы |
тривиально, |
|
W(L−1(p), p) = 1, |
òàê |
что скалярное |
||||||||||||
произведение |
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(Ψp′,σ′, Ψp,σ ) = |
|
2 |
δσ′σδ |
3 |
′ |
− k). |
|
|
(2.5.14) |
|||||
|
|
|
| N(p) | |
|
(k |
|
|
||||||||||
Остается выяснить, чему равен коэффициент пропорци- |
|||||||||||||||||
ональности |
между |
δ3(k − k′) |
è δ3(p − |
p′). Заметим, |
что лоренц− |
||||||||||||
* Малые группы SO(2,1) и SO(3, 1) для p2 > 0 è pμ = 0 не имеют нетривиальных
конечномерных унитарных представлений. Поэтому, если бы существовали состояния с данным импульсом pμ ïðè p2 > 0 èëè pμ = 0, которые бы
нетривиальным образом преобразовывались под действием элементов малой группы, то таких состояний должно было быть бесконечно много.