Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

в электростатическом поле атома; второй эффект — релятивистская «томасовская прецессия», связанная (даже в отсутствие магнитного момента) с круговым движением вращающегося электрона 14. Вместе эти два эффекта приводят к подъему уровня с полным угловым моментом j = l + 1/2 до значения, определяемого формулой Зоммерфельда (1.1.7) при k = l + 1 = j + 1/2, в то время как уровень с j = l − 1/2 опускается до

значения, даваемого той же формулой при k = l = j + 1/2. Таким образом, оказалось, что энергия зависит только от n и j, но не от l отдельно:

По случайности теория Зоммерфельда давала правильную величину расщепления в водороде (j + 1/2 принимает, как и k, только целые значения от 1 до n), однако совершенно неправильным образом приписывала различным уровням значения орбитального момента l. Кроме того, в согласии с экспериментом предсказывалась мультиплетность уровней тонкой структуры в водороде, равная 2 для j = 1/2 и 2(2j + 1) для j > 1/2 (в соответствии со значениями l, равными j ± 1/2).

Несмотря на эти успехи, все еще не существовало последовательной релятивистской теории, с самого начала включавшей спин электрона. Такую теорию построил в 1928 году Поль Дирак. Однако он не пытался просто создать релятивистскую теорию вращающегося электрона. Дирак подошел к задаче, поставив вопрос, кажущийся в наши дни очень странным. В начале своей статьи 1928 года 15 он спрашивает, «почему Природа выбрала именно эту модель электрона, вместо того, чтобы удовлетвориться точечным зарядом». Для нас сегодня это звучит примерно так же, как вопрос о том, почему бактерия состоит из одной клетки. Cпин $/2 — просто одно из свойств, определяющих именно электрон, и отличающее эту частицу от множества других известных в наши дни частиц с разными спинами. Однако в 1928 году не возбранялось верить, что все вещество состоит из электронов и похожих на них частиц, но с положительным зарядом, входящих в состав атомного ядра. Поэтому в духе того времени можно так переформулировать вопрос Дирака: «Почему фундаментальные составляющие вещества должны иметь спин $/2?»

Для Дирака ключом к ответу на этот вопрос было требование положительности вероятностей. Было известно 16, что плотность вероятности для нерелятивистского уравнения Шредингера равна |y|2,

причем она удовлетворяет уравнению непрерывности вида:

так что интеграл от |y|2 по пространству не зависит от времени. С

другой стороны, единственные выражения для плотности вероятности r и плотности тока J, которые можно построить из решений

релятивистского уравнения Шредингера, и которые удовлетворяют закону сохранения

где N — произвольная константа. Невозможно считать r плотно-

стью вероятности, так как и при наличии, и в отсутствие внешнего потенциала j плотность r не имеет определенного знака. Процити-

руем воспоминания Дирака 17 по этому поводу:

«Вспоминаю, что как-то в Копенгагене Бор спросил меня, над чем я работаю, и я рассказал, что пытаюсь построить удовлетворительную релятивистскую теорию электрона. Бор ответил: “Но ведь это уже сделали Клейн и Гордон!” Поначалу такой ответ меня крайне обескуражил. Казалось, что Бор вполне удовлетворен решением Клейна, меня же оно совершенно не устраивало из-за возникающих при этом отрицательных вероятностей. Но я не сдался и продолжал поиск теории, в которой были бы только положительные вероятности».

Как утверждает Георгий Гамов 18, Дирак нашел решение проблемы однажды вечером в 1928 году, когда он сидел, уставившись

в огонь камина в колледже св. Иоанна в Кембридже. Дирак понял, что уравнение Клейна−Гордона (или релятивистское уравнение Шре-

дингера) приводит к отрицательным вероятностям потому, что плотность ρ в уравнении закона сохранения (1.1.10) содержит производ-

ные волновой функции по времени. Это, в свою очередь, вытекает из того, что волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка по времени. Задача, таким образом, заключалась в том, чтобы заменить это волновое уравнение другим уравнением, куда бы входили производные по времени первого порядка, как в нерелятивистском уравнении Шредингера.

Предположим, что волновая функция электрона является многокомпонентной величиной ψn(x), удовлетворяющей волновому урав-

нению вида

ãäå Í − некоторая матричная функция пространственных произ-

водных. Поскольку уравнение линейно по производным по времени, то для построения лоренц-инвариантной теории мы должны предположить, что оно также линейно и по пространственным производным, иными словами, H имеет вид

ãäå α1, α2, α3 è α4 — постоянные матрицы. Из (1.1.13) можно полу-

чить уравнение второго порядка:

(Здесь принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам: i, j принимают значения 1, 2, 3 или x, y, z.) Но это уравнение должно согласовываться с релятивистским уравнением Шредингера для свободного поля (1.1.4), выражающим просто релятивистскую связь между энергией и импульсом. Поэтому матрицы α è α4

должны удовлетворять условиям: