Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 434

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

22

 

=

X

'

 

(Q0)' (q0) exp

 

i

E

 

(t

;

T 0)

 

 

m

 

~

m

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ f'm(q)g { ¯®«­ë© ­ ¡®à ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ £¨¨). ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬:

(1.91)

(®¯¥à â®à í­¥à-

 

j

 

X

 

n

n

 

;

~

 

n

 

;

 

 

 

 

 

< qt

QT >=

 

'

 

(q)' (Q) exp

 

 

i

E

 

(t

 

T )

 

(1.92)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

!

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¤áâ ¢«ïï (1.91) ¨ (1.92) ¢ (1.90) ¨ § ¬¥­ïï ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ T 0

 

T 0e;i ¨ T

 

T e;

(\¯®¢®à 稢 ï" ®áì ¢à¥¬¥­¨ ­

¯à®¨§¢®«ì­ë© 㣮« < =2 ¢ ª®¬¯«¥ªá­®©

¯«®áª®áâ¨, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­

¨á.1-5), ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¥¤¥«ã T 0 ! 1 ¨ T ! ;1.

®£¤

§ áç¥â ä ªâ®à \§ âãå ­¨ï" ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©

¬¯«¨â㤥 ¯¥à¥å®¤ (1.90)

¯à®¨á室¨â ã­¨ç⮦¥­¨¥ ¢ª« ¤®¢ ®â ¢á¥å á®áâ®ï­¨© á En > 0; Em > 0, ®áâ ¥âáï

⮫쪮 ¢ª« ¤ ®â E0 = 0, â.¥. ¢ª« ¤ ⮫쪮 ®â ®á­®¢­®£® á®áâ®ï­¨ï (ã஢­ï) ­ 襩

ç áâ¨æë ¢ ¯®«¥ V (q) 2. ®£¤

¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

lim

 

< Q0T 0

 

QT >J = ' (Q)'0(Q0) exp

 

 

i

E0

(T 0

 

T )

 

 

j

;~

;

 

T0!1e;i T!;1e;i

 

 

 

 

Z

0

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq0

dq'

(q0t0)

< q0t0

qt >J '

(qt) (1.93)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

¨«¨

 

 

 

Z

 

 

Z

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq0

dq'

(q0t0) < q0t0

qt >J

'

 

 

(qt) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

 

lim

 

 

 

< Q0T 0jQT >J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.94)

 

T0

e;i T

 

e;i ' (Q)'0 (Q ) exp

;

i

E

(T

 

 

;

T )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

!;1

 

 

 

0

 

0

 

~

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥¢ ï ç áâì §¤¥áì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©

¬¯«¨âã¤ã ¯¥à¥å®¤

 

 

(¢ ¯а¨бгвбв¢¨¥ ¨бв®з-

­¨ª ), ãá।­¥­­ãî ¯® ®á­®¢­®¬ã á®áâ®ï­¨î (\¢ ªãã¬ã") á¨á⥬ë. ¥¯¥àì ¬®¦­®

áç¨â âì, çâ® ¨ t0

! 1

 

! ;1

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

, t

 

 

¨ ¢¢¥á⨠¤«ï ­ 襩 ãá।­¥­­®© ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥-

室 (1.94) ®¡®§­ 祭¨¥ < 0; 1j0;

;1

> , ¯®¤à §ã¬¥¢ ï, çâ® ®­

®¯¨áë¢ ¥â ¯¥à¥å®¤

\¢ ªã㬠- ¢ ªãã¬" §

¡¥áª®­¥ç­ë© ¨­â¥à¢ « ¢à¥¬¥­¨. ­ ¬¥­ â¥«ì ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨

(1.94) ¥áâì ¯à®áâ® ç¨á«®. ®í⮬㠬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

 

 

 

 

 

< 0;

1j

0;

;1

>J

 

lim

lim

< Q0T0

j

QT >J

 

Z[J ]

(1.95)

 

 

 

T0!1e;i T!;1e;i

 

 

 

 

£¤¥ ¢¢¥«¨ ä㭪樮­ « ¨áâ®ç­¨ª :

 

 

 

 

 

 

i

T0

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

Z[J] =

 

lim

lim

Q(t) exp

(~ ZT

JQ]

(1.96)

 

[L(Q; Q) +

 

 

T0

!1e;i T!;1e;i N Z D

 

 

 

)

 

¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¢¬¥á⮠⮣®, ç⮡ë \¯®¢®à 稢 âì" ¢à¥¬¥­­ãî ®áì ¢ ª®¬¯«¥ªá- ­®© ¯«®áª®áâ¨, ¤«ï ¢ë¤¥«¥­¨ï ¢ª« ¤ ®¤­®£® ⮫쪮 ®á­®¢­®£® á®áâ®ï­¨ï ¬®¦­®

2 íâ¨å à áá㦤¥­¨ïå ¢ ¦­®, ç⮠ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï í­¥à£¨¨ ¢á¥£¤ ¬®¦­® 㯮à冷ç¨âì: E0 < E1 < E2 < ::: < En < :::, â ª çâ® ®¯¨á ­­ ï ¯à®æ¥¤ãà ¢á¥£¤ ¢ë¤¥«ï¥â ¢ª« ¤ á®áâ®ï­¨ï á ­ ¨¬¥­ì襩 í­¥à£¨¥©, ª®â®àãî ¬®¦­® ¢á¥£¤ ¯®«®¦¨âì à ¢­®© ­ã«î (­® ¬®¦­® ¨ á®åà ­¨âì ¢ ®¬ ¢¨¤¥, ª ª ¤ îéãî ­ ¨¬¥­¥¥ ã¡ë¢ î騩 ¢ª« ¤). ஬¥ ⮣®, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¯à®æ¥- ¤ãॠ¬®¦­®, ¢ ª®­æ¥ à áá㦤¥­¨©, ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã ! +0, çâ®¡ë ­¥ á¬ãé âìáï ®â ¯®­ïâ¨ï \ª®¬¯«¥ªá­®£®" ¢à¥¬¥­¨.

 

23

¤®¯¨á âì ¬ «¥­ìªãî ®âà¨æ ⥫ì­ãî ¬­¨¬ãî ¤®¡ ¢ªã ª £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ã ­ 襩 á¨- á⥬ë (1.17), ª®â®àãî 㤮¡­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ;12 i"q2(" ! +0). ®£¤ ¢á¥ ᮡá⢥­- ­ë¥ §­ 祭¨ï í­¥à£¨¨ ¯à¨®¡à¥âãâ ¬ «ë¥ ¬­¨¬ë¥ ¤®¡ ¢ª¨, çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ¢ ¯à¥¤¥«¥ T 0 ! 1; T ! ;1 ª ⮬㠦¥ íä䥪âã íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®£® ¯®¤ ¢«¥­¨ï ¢ª« ¤®¢ ®â En > 0 3 . ä㭪樨 £à ­¦ L íâ® íª¢¨¢ «¥­â­® ¤®¡ ¢«¥­¨î +12 i"q2 . ®£¤ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

 

 

 

 

i

1

 

1

 

 

Z[J] = N Z Dq(t) exp

 

 

Z;1 dt L(q; q) + ~Jq + 2i"q2 " ! +0

(1.97)

~

ª §ë¢ ¥âáï, çâ® â ª ®¯à¥¤¥«¥­­ë© ä㭪樮­ « Z [J] ®¡« ¤ ¥â æ¥«ë¬ à冷¬ ¯®-

«¥§­ëå ¨ ¨­â¥à¥á­ëå ᢮©áâ¢.

 

 

 

 

 

áᬮâਬ ¢¬¥áâ®

¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤

< qf tf qiti > ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ®¯¥-

à â®à ª®®à¤¨­ âë < qf tf jq^(tn1)jqiti >, £¤¥ tf

> tn1j> ti. ® ¨§¢¥áâ­ë¬ ­ ¬ ®¡é¨¬

¯à ¢¨« ¬ ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

Z

 

 

 

 

 

 

 

j

j

 

 

 

 

j

j

 

 

< qf tf

q^(tn1) qiti >=

 

dq1:::dqn < qf tf

qntn >< qntn

qn;1tn;1 > :::

 

 

 

::: < qn1tn1jq^(tn1)jqn1;1tn1;1 > ::: < q1t1jqiti >

(1.98)

祢¨¤­®, çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< qn1tn1jq^(tn1)jqn1;1tn1;1 >= q(tn1) < qn1tn1jqn1;1tn1;1 >

(1.99)

£¤¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠q(tn1) 㦥 ­¥ ®¯¥à â®à,

c-ç¨á«® (ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥). «¥¥

¬ë ¬®¦¥¬ ¯®¢â®à¨âì ¢á¥ à áá㦤¥­¨ï, ¯à®¢¥¤¥­­ë¥ ¢ëè¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â (1.15) ª

(1.24) ¨ § ¯¨á âì (1.98) ¢ ¢¨¤¥ 䥩­¬ ­®¢áª®£® ¨­â¥£à «

¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬:

 

j

j

 

Z

2 ~

 

 

 

tf

 

;

 

 

 

 

 

~ Zti

 

 

 

< qf tf

q^(t1 ) qiti

>=

 

DqDp

q(t1) exp

 

i

 

dt[pq

 

H(p; q)]

 

(1.100)

 

 

 

 

 

 

ãáâì ⥯¥àì ­ã¦­® ­ ©â¨ ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â < qf tf jq^(tn1)^q(tn2 )jqiti >. ᫨ tn1 > tn2, â® ¬®¦­® § ¯¨á âì:

j

j

Z

j

j

 

 

< qf tf

q^(tn1)^q(tn2) qiti >=

 

dq1:::dqn < qf tf

qntn >< qntn

qn;1tn;1

> :::

::: < qn1tn1jq^(tn1)jqn1;1tn1;1 > ::: < qn2tn2jq^(tn2)jqn2;1tn2;1 > ::: < q1t1jqiti >

(1.101)

çâ® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¤ ¥â ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¢¨¤ :

j

j

Z

2 ~

 

 

 

tf

 

;

 

 

~ Zti

 

< qf tf q^(t1)^q(t2 ) qiti >=

 

DqDp

q(t1)q(t2) exp

 

i

 

dt[pq

 

H(p; q)] (1.102)

 

 

 

 

 

 

¤¥áì ¨¬¥«®áì ¢ ¢¨¤ã, çâ® t1 > t2. ᫨ à áᬮâà¥âì ⥯¥àì á«ãç © t2 > t1, â® ¬ âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ª®®à¤¨­ âë ¢ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨ t1 ¨ t2 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.98)

¯®¬¥­повбп ¬¥бв ¬¨ ¨ нв® ¢ла ¦¥­¨¥, б ­¨¬ ¨ ¨­в¥£а « ¢ ¯а ¢®© з бв¨ (1.102), б¢¥¤¥вбп ª < qf tf jq^(t2)^q(t1)jqiti >. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¨­â¥£à « ¯®

3 §ã¬¥¥âáï, ¢¢¥¤¥­¨¥ §¤¥áì ª®®à¤¨­ â­®© § ¢¨á¨¬®á⨠12 q2 ᮢ¥à襭­® ­¥áãé¥á⢥­­® ¤«ï íâ¨å à áá㦤¥­¨©. ¤®¡á⢮ ¢¢¥¤¥­¨ï ¨¬¥­­® â ª®© § ¢¨á¨¬®á⨠áâ ­¥â ïá­® çãâì ¯®§¦¥.

24

 

âà ¥ªâ®à¨ï¬, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.102) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ®â åà®­®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à â®à®¢ < qf tf jT [^q(t1)^q(t2)]jqiti >, £¤¥ ®¯¥à â®à T -㯮à冷祭¨ï ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ ®¯à¥¤¥«¥­ ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

T [A(t1)B(t2)] =

A(t1)B(t2)

¯à¨

t1 > t2

 

 

 

 

(1.103)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(t2 )A(t1)

¯à¨

t2 > t1

 

 

 

 

 

®¡é¥¬ á«ãç ¥, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DqDp

 

 

 

 

 

 

 

i

 

tf

 

 

 

 

< qf tf T [^q(t1)^q(t2 ):::q^(tn)] qiti

>=

 

 

q(t1)q(t2):::q(tn) exp

 

 

 

dt[pq

 

H(p; q)]

Z

 

~

Zti

;

 

 

 

j

 

 

 

j

 

 

 

2 ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.104)

 

çâ® ¤ ¥â ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï á।­¥£® ®â åà®­®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à -

 

â®à®¢ ç¥à¥§ ä㭪樮­ «ì­ë© ¨­â¥£à «. «ï á«ãç ï, ª®£¤ £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ § ¤ ç¨

 

§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (1.17), ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¤ «ì­¥©è¨¥ ã¯à®é¥­¨ï ¨ § ¯¨á âì:

 

 

 

< qf tf jT [^q(t1 )^q(t2):::q(tn)]jqiti >= N Z Dqq(t1)q(t2):::q(tn) exp

i

tf

 

 

 

 

 

Zti

dtL

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.105)

 

§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樮­ «

 

 

Z [J] (1.97) «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥£® ä㭪樮­ «ì­ ï

 

(¢ ਠ樮­­ ï) ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ¨áâ®ç­¨ªã J ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z[J]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= iN Z Dq(t)q(t1) exp

 

Z;1 dt L(q; q) + ~Jq +

2i"q2

 

(1.106)

 

 

 

 

J(t1)

~

 

 

®¡é¥¬ á«ãç ¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nZ[J ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

= inN Z Dq(t)q(t1):::q(tn) exp

 

Z;1 dt

L(q; q) + ~Jq + 2i"q2

 

 

J(t1)::: J (tn)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.107)

 

®« £ ï §¤¥áì J = 0, ¯®«ã稬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nZ [J]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

jJ=0 = inN Z

 

Dq(t)q(t1):::q(tn) exp

 

Z;1 dt L(q; q_) +

2i"q2

 

 

 

 

J(t1)::: J(tn)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.108)

 

ᯮ¬¨­ ï ⥯¥àì, çâ® ç«¥­

 

i

"q2

¯®§¢®«ï¥â ¢ë¤¥«¨âì ¨§ ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨ç¥áª¨å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á।­¨å ¢ª« ¤ ®á­®¢­®£® á®áâ®ï­¨ï, ¨ ¨á¯®«ì§ãï (1.105), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã

 

¢ëà ¦¥­¨î ¤«ï \¢ ªã㬭®£®" á।­¥£® ®â åà®­®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à -

 

â®à®¢:

 

 

 

 

 

nZ[J]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jJ=0 in < 0; 1jT [^q(t1):::q^(tn)]j0; ;1 >

 

 

(1.109)

 

 

 

 

 

 

 

J(t1)::: J(tn)

 

 

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®£®ªà â­®¥ ä㭪樮­ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ Z[J] ¯® ¨áâ®ç- ­¨ªã J \£¥­¥à¨àã¥â" á।­¨¥ ®â T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ª¢ ­â®¢ëå ®¯¥à â®à®¢, ¯à¨ç¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë© ¨áâ®ç­¨ª, ¢ ª®­æ¥ ª®­æ®¢, ¯à®áâ® ¯®« £ ¥âáï à ¢­ë¬ ­ã«î. ®- í⮬ã ä㭪樮­ « Z[J ] ¬®¦­® ­ §ë¢ âì ¯à®¨§¢®¤ï騬 ä㭪樮­ «®¬ ¤«ï íâ¨å á।­¨å. ®¤­® ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ â ª¨å á।­¨å ¢ ¢¨¤¥ ä㭪樮­ «ì- ­ëå ¨­â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬.

ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¨¬¥­­® ¢ ªãã¬­ë¥ á।­¨¥ T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ¯®«¥¢ëå ®¯¥- à â®à®¢ ®¯à¥¤¥«ïîâ ­ ¡®à ä㭪権 ਭ ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¥à¥å®¤ ®â ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ª ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ᢮¤¨âáï ª ®¡®¡é¥­¨î ­ á«ãç ©

 

25

б¨бв¥¬л б ¡¥бª®­¥з­л¬ з¨б«®¬ бв¥¯¥­¥© б¢®¡®¤л, ª®£¤ ®¯¥а в®ал ª®®а¤¨­ в § - ¬¥­повбп ¯®«¥¢л¬¨ ®¯¥а в®а ¬¨ ¢ ª ¦¤®© в®зª¥ ¯а®бва ­бв¢ { ¢а¥¬¥­¨. ®- н⮬г бв ­®¢¨вбп пб­л¬, зв® а бᬮва¥­­го д®а¬г«¨а®¢ªг ª¢ ­в®¢®© ¬¥е ­¨ª¨ ­ ®б­®¢¥ ¨­в¥£а «®¢ ¯® ва ¥ªв®а¨п¬, ¬®¦­® ¨б¯®«м§®¢ вм ¤«п ­¥¯®ба¥¤бв¢¥­­®£® ¯®бва®¥­¨п ª¢ ­в®¢®© в¥®а¨¨ ¯®«п б ¨б¯®«м§®¢ ­¨¥¬ д®а¬ «¨§¬ дг­ªж¨®­ «м- ­ле ¨­в¥£а «®¢ ¯® ¯®«¥¢л¬ ¯¥а¥¬¥­­л¬. ¬¥­­® нв® ¨ ¡г¤¥в ­ и¥© § ¤ з¥© ¢ б«¥¤гой¨е £« ¢ е.

26

 

« ¢ 2

- : -

ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï ᪠«ïà- ­ëå ¯®«¥©.

¥à¥©¤¥¬ ª ®¡á㦤¥­¨î ä㭪樮­ «ì­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¢ ਠ­â ⥮ਨ ᢮¡®¤­®£® ᪠«ïà­®£® ¯®«ï '(x), ¢§ ¨¬®- ¤¥©áâ¢ãî饣® á ¨áâ®ç­¨ª®¬ J(x). ¥¯®á।á⢥­­® ®¡®¡é ï à áá㦤¥­¨ï, ¯à®¢¥- ¤¥­­ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 « ¢¥, ¬®¦¥¬ ¢¢¥á⨠¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ «:

Z[J] = Z D'(x ) exp i Z d4x[L(') + J (x)'(x) + i2"'2(x)] < 0; 1j0; ;1 >J (2.1)

¯à®¯®à樮­ «ì­ë© ¬¯«¨â㤥 ¯¥à¥å®¤ ¢ ªã㬠{ ¢ ªãã¬. ¤¥áì L(') { « £à ­- ¦¨ ­ «¥©­ { ®à¤®­ , ¨ ¬ë ¯¥à¥è«¨ ®â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ç - áâ¨æë ª ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ ª®­ä¨£ãà æ¨ï¬ ¯®«ï1¢ ¯à®áâà ­á⢥

1 ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¯®«ï à áᬠâਢ ¥âáï ⮫쪮 ®¤­ ¯®«¥¢ ï ª®­ä¨£ãà æ¨ï ¢ ¯à®áâà ­- á⢥ { ¢à¥¬¥­¨, ¨¬¥­­® â , ª®â®à ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨ï¬ £à ­¦ (¯à¨­æ¨¯ã ­ ¨¬¥­ì- 襣® ¤¥©á⢨ï). ⫨稥 ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ⮬, çâ® ¢ ­¥© \à ¡®â îâ" ¢á¥ ¬ë᫨¬ë¥ ª®­- 䨣ãà 樨, ­® ª ¦¤ ï ¨§ ­¨å ¢å®¤¨â ¢ ⥮à¨î á \¢¥á®¬" expfiSg, £¤¥ S { ª« áá¨ç¥áª®¥ ¤¥©á⢨¥.

27

28 :

 

D

 

! D

4

{ ¢à¥¬¥­¨:

 

q(t)

 

'(x ). ¬ëá« â ª®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ. §-

¡¨¢ ¥¬ ¯à®áâà ­á⢮ { ¢à¥¬ï ­ ¬ «¥­ìª¨¥ ç¥âëà¥å¬¥à­ë¥ ªã¡¨ª¨ ®¡ê¥¬®¬ , ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª®â®àëå § ¬¥­ï¥¬ ¯®«¥ ­ ª®­áâ ­âã (á।­¥¥ §­ 祭¨¥ ¢­ãâਠªã¡¨ª ): ' '(xi; yj; zk; tl ). ந§¢®¤­ë¥ ¯®«ï ¢ëà ¦ ¥¬ ç¥à¥§ ª®­¥ç­ë¥ à §­®áâ¨:

@'

1

 

 

@xi ji;j;k;l

['(xi + ; yj; zk; tl) ; '(xi; yj; zk; tl)]

(2.2)

¨ â. ¤. ¬¥­ïï ­ ¡®à (i; j; k; l) ®¤­¨¬ ¨­¤¥ªá®¬ n, ­ã¬¥àãî騬 ï祩ª¨ (ªã¡¨ª¨), § ¯¨è¥¬:

 

 

 

L('n; @ 'n) = Ln

 

 

 

(2.3)

᫨ «î¡®© ¨§ ¨­¤¥ªá®¢ (i; j; k; l) ¯à¨­¨¬ ¥â N, â® ¨­¤¥ªá n ¯à¨­¨¬ ¥â N4 §­ 祭¨©

¨ ¤¥©á⢨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

N4

 

 

 

 

 

 

 

S =

d4xL

=

X

4Ln

 

 

 

(2.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

®£¤ ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « Z[J ] ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤:

 

 

 

 

 

Z

N4

 

 

 

<

N4

 

 

i

 

=

 

 

Y

 

 

 

X

 

 

 

 

Z[J ] = lim

 

 

d'n exp

i

 

 

4( n + 'nJn +

 

"'2 )

9

(2.5)

N!1

 

n=1

 

 

 

8 n=1

 

L

2 n

 

çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â á¬ëá« ä®à¬ «ì­®£®:¢ëà ¦¥­¨ï (2.1), ¢¢®¤ï ¢ â;¥®à¨î ¯®­ï⨥

ä㭪樮­ «ì­®£® ¨­â¥£à «

¯® ¯®«ï¬ (¢¬¥áâ® âà ¥ªâ®à¨© ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨).

ëç¨á«¨¬ Z[J ] ¤«ï ᢮¡®¤­®£® ¯®«ï, ª®£¤

 

 

 

 

 

 

L ! L0 =

1

(@ '@ ' ; m2'2)

2

{ « £à ­¦¨ ­ «¥©­ { ®à¤®­ . ®£¤ :

Z0[J] = Z D' exp i Z d4x 12 (@ '@ ' ; (m2 ; i")'2 + 'J )

(2.6)

(2.7)

«ì­¥©è¨¥ à áç¥âë ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¨ ­¥ ¢ëç¨á«ïï ä㭪樮­ «ì­ë© ¨­â¥£à « ¢ ®¬ ¢¨¤¥. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ®ç¥¢¨¤­ë¬ ⮦¤¥á⢮¬ @ ('@ ') = @ '@ ' + '@ @ ' ¨ § ¯¨è¥¬:

Z d4x@ '@ ' = Z d4x@ ('@ ') ; Z d4x'2'

(2.8)

®£¤ ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯® ⥮६¥ ãáá

¢ ¯®¢¥àå­®áâ-

­ë© ¨­â¥£à «, ª®â®àë© ¬®¦­® áç¨â âì à ¢­ë¬ ­ã«î ¯à¨ ¢ë¡®à¥ í⮩ ¯®¢¥àå­®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(£¤¥ ¯®« £ ¥¬ ' ! 0). ®£¤ :

Z d4x@ '@ ' = ;Z d4x'2'

(2.9)

¨ ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

Z0 [J] = Z D' exp ;i Z

d4x 2

'(2

+ m2

; i")' ; 'J

(2.10)

 

1

 

 

 

 

:

29

®¤ç¥àª­¥¬, çâ® ¯®«¥ ' ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ (¯¥à¥¬¥­­ ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï!) ¨ ¢®¢á¥ ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î «¥©­ { ®à¤®­ . ¤¥« ¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­®© ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï:

'(x) ! '0(x) + '(x)

¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᮮ⭮襭¨¥¬ (ª®â®à®¥ ¢ë¢®¤¨âáï ­ «®£¨ç­® (2.9)):

Z d4x'0[2 + m2 ; i"]' = Z d4x'(2 + m2 ; i")'0

®£¤ ¨¬¥¥¬:

Z

1

 

+ m2 ; i")' ; 'J ! Z

1

 

 

d4x 2

'(2

d4x 2

'(2

+ m2 ; i")'+

 

+ '(2 + m2 ; i")'0 +

1

'0(2

+ m2 ; i")'0 ; 'J ; '0J

 

2

¢®â ⥯¥àì ¯®âॡ㥬, çâ®¡ë ¯®«¥ '0 (x) 㤮¢«¥â¢®àï«® ãà ¢­¥­¨î «¥©­ ¤®­ á ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

{ ®à-

 

(2 + m2 ; i")'0(x) = J(x)

(2.14)

®£¤ ¨­â¥à¥áãî騩 ­ á ¨­â¥£à « ᢮¤¨âáï ª:

 

Z

1

1

 

d4x 2'(2 + m2 ; i")' ; 2'0J

(2.15)

¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (2.14) ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 

 

 

'0(x) = ;Z

d4y F (x ; y)J (y)

(2.16)

£¤¥ F (x ; y) { 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à ᪠«ïà­®£® ¯®«ï, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãà ¢­¥­¨î (㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥¬ãáï ­ ¬ ¢ « ¢¥ 4 ç á⨠I):

 

 

 

(2 + m2 ; i") F (x) = ; (x)

(2.17)

®¤áâ ¢«ïï (2.16) ¢ (2.15) ¢¨¤¨¬, çâ® ¯®ª § ⥫ì íªá¯®­¥­âë ¢ (2.10) à ¢¥­:

 

1

 

 

1

 

 

 

; i 2 Z

d4x'(2 + m2 ; i")' + 2 Z d4xd4yJ(x) F (x ; y)J(y)

(2.18)

ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ 2 :

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

Z0[J] = exp ;

 

 

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) Z D' exp ;

 

Z dx'(2 + m2 ; i")'

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.19)

® ¨­â¥£à « ¯® D' ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®áâ® ç¨á«® (®­ ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¬ë᫨¬ë¬

ª®­ä¨£ãà æ¨ï¬ ¯®«ï ')! ¡®§­ 稬 íâ® ç¨á«® N. ®£¤ ®ª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

Z0[J ] = N exp ;

 

Z dxdyJ (x) F (x ; y)J(y)

(2.20)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2 «¥¥, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¢áî¤ã ¯¨è¥¬ dx ¢¬¥áâ® d4x ¨ â.¯.

Смотрите также файлы